Hãy xây dựng một hình bầu dục

5

Nếu tiêu điểm lớn hơn tiêu điểm vô hạn thì đường cong là hình elip; nếu mức tiêu điểm được loại bỏ đến vô cực lớn thì đường cong là một hyperbol. Rõ ràng, trường hợp thứ nhất tương ứng với sự phản xạ của các tia song song vào tiêu điểm, khi tốc độ ánh sáng không thay đổi khi phản xạ từ bề mặt; trường hợp thứ hai là sự khúc xạ của các tia song song vào tiêu điểm của vật thể có chiết quang lớn hơn không gian xung quanh; thứ ba là sự khúc xạ của một chùm tia song song vào một môi trường kém chiết quang hơn.

Descartes đã mô tả các hình bầu dục của ông trong Hình học, đồng thời đề xuất một phương pháp xây dựng chúng, nhưng chỉ trong một phần trường hợp, và phương pháp của ông hóa ra lại kém đơn giản hơn phương pháp của ông Maxwell. Một minh họa về tính chất quang học của hình bầu dục được Newton đưa ra bằng cách sử dụng các hàm sin và bởi Huygens (trong Chuyên luận về ánh sáng của ông). Nhưng hầu như không ai nghi ngờ rằng có một cách dễ dàng và thanh lịch như vậy để xây dựng các hình bầu dục bằng cách sử dụng ghim và chỉ trong mọi trường hợp khi đo thứ tự của các thủ thuật. Ví dụ, trong Hình 2

Một đường cong có tiêu điểm bậc hai và bậc ba xác định hình dạng mặt cắt ngang của bề mặt của một vật thể xếp chồng lên nhau có chiết suất 1,5, thích hợp cho các tia phát ra từ điểm f hội tụ tại điểm F.

Đối với các đường cong phức tạp có ba tiêu điểm trở lên, ngày nay chúng ta không thể giải thích vật lý rõ ràng cho chúng, nhưng phương pháp xây dựng đường cong thỏa mãn phương trình này

$$mr + nr' + pr'' + \dots = const,$$

do tính đơn giản của nó nên nó được quan tâm độc lập. Và nếu, theo ông Maxwell, chúng ta coi các hình bầu dục của Descartes là trường hợp giới hạn của các đường cong hình bầu dục với nhiều tiêu điểm, thì chúng ta có một cách khái quát hóa sâu hơn cùng loại như của Montiocles *, người đã đề xuất coi mặt cắt hữu hạn là một trường hợp đặc biệt của các hình bầu dục của Descartes.

*) Jean-Etienne Montucla là một nhà khoa học, thợ cơ khí người Pháp thế kỷ 18 và là tác giả của bộ sách nhiều tập “Lịch sử của các khoa học chính xác”.

Hãy xây dựng một hình bầu dục

Đối với những người quan tâm đến công việc của J. Maxwell (trang 3), chúng tôi trình bày ở đây một số bài toán hình học để xây dựng các hình bầu dục bằng nhiều phương tiện kỹ thuật khác nhau. Để thực hiện các bức vẽ, ngoài bút chì, la bàn và thước kẻ, bạn sẽ cần một tấm bảng phẳng, ghim hoặc đinh mỏng, một sợi chỉ dày và một thanh kim loại dài mỏng (bạn có thể sử dụng một đoạn dây cứng thẳng) có một chiếc vòng trượt tự do dọc theo nó. Và đối với lời giải bài toán - sự khéo léo! (Tuy nhiên, những người đam mê vẽ thiếu kiên nhẫn có thể xem lời giải ở trang 63.)

Để khởi động, hãy bắt đầu bằng cách lặp lại các cách xây dựng của Maxwell: gắn một tờ giấy vẽ vào bảng bằng đinh bấm, cắm hai chiếc ghim vào đó và quấn sợi chỉ như trong Hình 2 trên trang. 4, và vẽ hình bầu dục Descartes loại thứ nhất m:n = 2:3. (Nếu sợi chỉ của bạn tuột khỏi bút chì, chúng tôi khuyên bạn nên tạo một lỗ tròn ở đầu sợi để sợi chỉ không bị tuột ra ngoài.)

Bài 1. Nêu cách dựng điểm nằm trên hình bầu dục Descartes loại 1 chỉ dùng compa và thước. Kiểm tra nó bằng thực nghiệm bằng cách xây dựng một số điểm theo hướng Maxwell của hình bầu dục Descartes loại 2:3.

Bài 2. Hãy chỉ ra cách vẽ tiết diện của một thấu kính phẳng-lồi (xem hình) có độ dày d (dọc theo trục), lấy tiêu điểm nguồn điểm A (nằm dọc theo trục cách mặt lồi một khoảng l₁) đến điểm B (cách mặt phẳng một khoảng l₂), nếu chiết suất của vật liệu chế tạo thấu kính là 1,5 hoặc 2. (Ở đây, ngoài sợi dây và chốt, bạn thanh có vòng sẽ hãy sẵn sàng!)

A. Mitrofanov