Bài toán M596—M600; F608—F612

20

Bài toán

M596—M600; F608—F612

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi tin tức của chương trình giảng dạy ở trường. Những nhiệm vụ khó khăn hơn sẽ được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau khi tạo một nhiệm vụ, chúng tôi thường chỉ ra ai đã đề xuất nhiệm vụ đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những vấn đề này đều được công bố lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 2 năm 1980 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Sự cố «Kvant» Số 12-79” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M596, M597” hoặc “F607”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Kèm theo một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản (hoặc chu kỳ bài toán), hãy phân thành hai bản sao trong một phong bì riêng cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (trên phong bì, đánh dấu: “Vấn đề «Kvant», một vấn đề mới trong vật lý” hoặc “… một vấn đề mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ, số trường và lớp bạn đang theo học.

M596. Một nhận dạng năm từ với các cơ sở $A_1A_2A_3A_4A_5$ và $B_1B_2B_3B_4B_5$ được đưa ra. Tất cả các cạnh của đáy và tất cả các đoạn $A_iB_j(i, j=1, 2, 3, 4, 5)$ đều được tô màu đỏ hoặc xanh lục sao cho trong mỗi tam giác có các đỉnh ở các đỉnh của lăng kính, các cạnh được tô màu thì có hai cạnh có màu khác nhau. Chứng minh rằng tất cả 10 cạnh của các đáy đều được tô màu giống nhau.

Olympic Toán quốc tế lần thứ XXI, 1979

M597. Hãy đặt
$$x_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}.$$
a) Chứng minh sự tồn tại của giới hạn
$$\gamma = \lim_{n \to \infty} (x_n - \ln n).$$
b) Chứng minh rằng với mọi $n$, $m \in N$
$$\gamma < x_n + x_m - x_{nm} \subseteq 1.$$
b) Tìm $\gamma$ đến 0,1 gần nhất.

V. Yasinsky

M598. Cho một mặt phẳng $P$, một điểm $P$ trên mặt phẳng này và một điểm $Q$ bên ngoài mặt phẳng $P$. Tìm tất cả các điểm $n$ trong mặt phẳng $P$ sao cho tỷ lệ $(|QP| + |PR|)/|QR|$ là lớn nhất.

Olympic Toán quốc tế lần thứ XXI, 1979

M599. a) Số $4^{56} + 6^{54}$ tận cùng bằng bao nhiêu số 0?
b) Hãy chỉ ra số thú vị nhất
$$1978^{1979}1980 + 1980^{1979}1978.$$
P. Gusyatikov

M600. Hai đại lượng chuyển động dọc theo hai đường tròn cắt nhau. Mỗi người di chuyển quanh vòng tròn riêng của mình với tốc độ không đổi. Sau khi đồng thời rời khỏi một trong các giao điểm của chúng và thực hiện mỗi vòng một vòng, các đại lượng lại gặp nhau tại thời điểm này. Chứng minh rằng trên mặt phẳng chứa các đường tròn, tồn tại một điểm cố định sao cho khoảng cách từ đó đến độ lớn luôn bằng nhau nếu chúng di chuyển:
a) theo một hướng (ngược chiều kim đồng hồ);
b) theo các hướng khác nhau.

N. Vasiliev, I. Sharien

$^*) a^{bc}$ có nghĩa là $a^{(bc)}$

21

F608. Một tàu vũ trụ có khối lượng $M=12$ t di chuyển quanh Mặt trăng theo quỹ đạo tròn ở độ cao $h=100$ km. Để chuyển sang quỹ đạo ứng dụng, động cơ phản lực được bật trong thời gian ngắn. Tốc độ của khí thoát ra khỏi tên lửa là $u=10^4$ m/s. Bán kính của Mặt trăng là $R_\perp=1,7 \cdot 10^3$ km, gia tốc trọng trường trên bề mặt Mặt trăng là $g_\perp=1,7$ m/s$^2$.

1. Phải tiêu tốn bao nhiêu nhiên liệu để khi bật động cơ hãm tại điểm $A$ trên quỹ đạo của tàu vũ trụ, nó sẽ đáp xuống Mặt Trăng tại điểm $B$ (Hình 1)?

2. Trong phiên bản thứ hai của ứng dụng, con tàu tại điểm $A$ được cấp một xung theo hướng tâm Mặt trăng để đưa con tàu vào quỹ đạo chạm vào Mặt trăng tại điểm $C$ (Hình 2). Cần tiêu thụ bao nhiêu nhiên liệu trong trường hợp này?

Olympic Vật lý Quốc tế X1, 1979

F609. Bộ phận được làm bằng nhôm được cân trên cân phân tích sử dụng quả cân bằng đồng. Trong một lần cân, không khí trên cân khô và trong lần cân khác thì ướt, áp suất hơi nước trong đó bằng $p_B=15,2$ mm Hg. Nghệ thuật. Áp suất bên ngoài ($p=760$ mm Hg) và nhiệt độ ($t=20^\circ\text{C}$) của không khí trong cả hai trường hợp đều như nhau.

Bạn có thể nhận thấy sự khác biệt về khối lượng của bộ phận ở mức nào nếu độ nhạy của chúng là $m_0=0,1$ mg? Mật độ của nhôm $\rho_1=2,7$ g/cm$^3$, đồng thau $\rho_2=8,5$ g/cm$^3$

Olympic Vật lý Quốc tế X1, 1979

F610. Trong thí nghiệm của Liên Xô-Pháp về vị trí quang học của Mặt trăng, bức xạ xung từ laser ruby ​​​​ở bước sóng $\lambda=0,69$ µm được hướng bằng một telexcol có đường kính gương $D=2,6$ m lên bề mặt mặt trăng. Một tấm phản xạ được lắp đặt trên Mặt trăng, hoạt động giống như một tấm gương hoàn hảo với đường kính $d=20$ cm, phản chiếu ánh sáng chính xác theo hướng ngược lại. Ánh sáng phản xạ được thu lại bởi cùng một kính viễn vọng và tập trung vào bộ tách sóng quang.

1. Trục quang học của telexcol phải được đặt ở mức độ chính xác nào trong thí nghiệm này?

2. Bỏ qua sự mất mát ánh sáng trong bầu khí quyển Trái đất và trong kính thiên văn, hãy ước tính phần năng lượng ánh sáng laser sẽ được ghi lại bởi bộ tách sóng quang sau khi phản xạ từ Mặt trăng.

3. Có thể ghi lại xung ánh sáng phản xạ bằng mắt thường nếu độ nhạy ngưỡng của mắt được lấy bằng $n=100$ lượng tử ánh sáng và năng lượng phát ra từ tia laser trong quá trình phát xung bằng $E=1$ J?

4. Đánh giá lợi ích thu được từ việc sử dụng gương phản xạ. Giả sử rằng bề mặt của Mặt trăng tán xạ $\alpha=10\%$ ánh sáng tới đồng đều thành một góc đặc bằng 2π.