Những quả bóng khác thường

60

Ba báo cáo tại lễ hội Batumi

Để tham gia tích cực vào Lễ hội các nhà toán học trẻ, một số trường đã được trao đăng ký «Kvant» cho năm 1981 (xem «Kvant» Số 9). Trong số đó có trường Tbilisi số 96. Ngôi trường này không phải là trường toán mà là trường trung học giáo dục. Một bảo tàng toán học đã được thành lập tại trường và mở cửa. câu lạc bộ toán học, học sinh xuất bản tạp chí toán học. Báo cáo của các học sinh lớp 8 của trường này (trưởng nhóm - giáo viên toán L. A. Shteingari và O. E. Shamanlov) được chuẩn bị rất kỹ lưỡng và kỹ lưỡng. Chúng tôi xin gửi đến quý vị bản tóm tắt ngắn gọn về những báo cáo này do L.A. Shteingari gửi.

Cắt các hình thành các mảnh đồng nhất

Ta sẽ nói rằng hình $F$ được cắt thành các phần $A$ và $B$ nếu $A \cup B = F$ và $A \cap B = \emptyset$ (cắt thành ba phần, thành bốn phần, v.v. được định nghĩa tương tự).

Trong Hình 1, đường thẳng được cắt thành hai phần bằng nhau (A là phần nối của các đoạn “màu đỏ” không có đầu bên trái, B là phần nối của các đoạn “màu xanh” không có đầu bên trái). Prima có thể dễ dàng cắt thành bất kỳ số lượng miếng đồng nhất nào.

Một tia (cả có và không có điểm bắt đầu), một đường tròn, một đường cong hình sin, một mặt phẳng và một góc có thể được cắt thành hai phần bằng nhau.

Nhưng đoạn này không thể cắt thành hai phần bằng nhau (giả sử điều ngược lại; khi đó $A$ được ánh xạ lên $B$ bằng phép đối xứng tâm hoặc tịnh tiến song song; sử dụng định lý Weierstrass về sự tồn tại của một giới hạn, người ta có thể đi đến mâu thuẫn).

Cũng không thể cắt hình tròn và hình vuông thành hai phần bằng nhau.

(Người nói nói rằng anh ta không biết cách tìm ra bằng hình vẽ,

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.