Mười bài toán để áp dụng đạo hàm

37

Qua những trang sách giáo khoa

M. Gelfand, V. Berman

Mười bài toán để áp dụng tùy ý

bài toán được đề xuất được gửi đến học sinh lớp chín. lời giải của họ đòi hỏi sự hiểu biết về ý nghĩa hình học và vật lý của một ý nghĩa tùy ý, cũng như khả năng đánh giá các thuộc tính của hàm từ biểu đồ của nó.

Bài toán 1. Mỗi Hình 1, a—i hiển thị đồ thị thời gian $t$ tọa độ $x(t)$ và tốc độ $v(t)$ của một điểm vật chất chuyển động theo định luật bậc hai $x(t) = pt^2 + qt + r$ dọc theo đường tọa độ. Đồ thị tám tốc độ không chính xác. Xác định chính xác cái nào. Những sai lầm mắc phải là gì? Tìm hình vẽ đúng.

Gợi ý. Lợi dụng $v(t) = x'(t) = 2pt + q$ nên đồ thị vận tốc là một đường thẳng, tiếp tuyến của góc nghiêng với trục $t$ bằng $2p$. Điểm $t = -\frac{q}{2p}$, tại đó đường này cắt trục $t$, là điểm cực trị của hàm $x(t)$.

Bài toán 2. Mỗi Hình 2, a-d trình bày sơ đồ biểu đồ về sự phụ thuộc thời gian của tọa độ $x(t)$ và gia tốc $a(t)$ của một điểm vật chất di chuyển dọc theo đường tọa độ theo quy luật tương tự như trong bài toán 1. Được biết, đã xảy ra lỗi khi xây dựng một số đồ thị gia tốc. Xác định hình ảnh nào

Hình 1.

Hình 2.

38

Cái nào đúng và cái nào không. Những sai lầm mắc phải là gì? Vẽ đồ thị chính xác.

Gợi ý. Nếu $x(t) = pt^2 + qt + r$ thì $a = v'(t) = 2p$ (xem “Đại số và phần đầu của phân tích 9”, đoạn 53), tức là đồ thị gia tốc trong trường hợp này là một đường thẳng song song với trục $t$ và đi qua điểm $(0; 2p)$.

Bài toán 3. Trong mỗi hình 3, $a - b$ Biểu đồ thời gian so với thời gian được hiển thị bằng màu đen. $t$ tăng tốc $a(t)$ điểm vật chất/đường thẳng chuyển động. Học sinh này đã cố gắng, dựa trên biểu đồ này, để xây dựng một trong những biểu đồ tốc độ có thể $v(t)$ chuyển động của cùng một điểm (đường màu đỏ). Tuy nhiên, anh đã mắc sai lầm khi làm như vậy. Giúp học sinh tìm ra những sai lầm mình đã mắc phải. Vẽ đồ thị vận tốc đúng

Gợi ý. Sử dụng các dấu hiệu đơn điệu của hàm số (xem “Đại số và phần đầu của phép phân tích 9”, đoạn 54).

Bài toán 4. Một điện tích chạy qua tiết diện của dây dẫn. Biểu đồ điện tích $q$ theo thời gian được hiển thị trong Hình 4, $a$. Là

39

Hình 6.

Hình 7.

Gợi ý. Lợi dụng $v(t) = x'(t)$ và $x'(t)$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $x$ tại điểm $t$. Tất cả những gì còn lại là tìm $tg\alpha$ (xem Hình 6).

Nó có thể được xây dựng khác nhau. Đầu tiên, xác định các tham số $p, q$ và $r$ của phương trình $x(t) = pt^2 + qt + r$, biểu diễn sự phụ thuộc của tọa độ $x$ vào thời gian $t$, sử dụng tính chất parabol đi qua các điểm $(0; 3)$ và $(3; 7\frac{1}{2})$, đồng thời hoành độ của đỉnh của parabol này là $-\frac{q}{2p}$. Tiếp theo hãy tìm $x'(2)$.

Bài tập 7. Một bánh đà được giữ bằng phanh, quay một góc $\varphi = \varphi(t)$ radian trong $t$ giây. Sử dụng đồ thị của hàm $\varphi$ (xem Hình 7), từ đồ thị ước tính vận tốc góc $\omega$ chuyển động quay của mặt phẳng tối đa tại thời điểm $t = 3$ s.

Gợi ý. Vì $\omega = \varphi'(t)$, bài toán bao gồm việc tìm, từ một biểu đồ đã cho của hàm $\varphi$, giá trị của giá trị tùy ý của nó tại một điểm vật lý $(t = 3)$. Để tìm giá trị $\omega(3)$, hãy dựng một tiếp tuyến với đồ thị này của hàm $\varphi$ tại điểm có hoành độ 3 (việc này có thể thực hiện “bằng mắt”, áp dụng một đường thẳng

thẳng với đồ thị), rồi xác định tiếp tuyến của góc tạo bởi tiếp tuyến này với hướng dương của trục $t$.

Bài 8. Hình 8 vẽ đồ thị vận tốc $v = v(t)$ của một điểm vật chất chuyển động thẳng. Có thể sử dụng biểu đồ này để xây dựng biểu đồ gia tốc $a = a(t)$ của cùng một điểm không?

Gợi ý. Vì $a = v'(t)$, đồ thị gia tốc mong muốn là tập hợp các điểm có dạng $(t, v'(t))$. Lưu ý rằng đồ thị vận tốc trong Hình 8 là một đường cong liên tục có tiếp tuyến tại mỗi điểm.

Bài tập 9. Hình 9 là đồ thị khối lượng của một thanh không đồng nhất theo chiều dài của nó. Sử dụng biểu đồ này, hãy cố gắng xác định mật độ tuyến tính của thanh tại điểm $l = 4$ m.

Gợi ý. Mật độ tuyến tính của thanh $t$ tại điểm $l_0$ theo định nghĩa là giới hạn

$$\tau = \lim_{l \to l_0} \tau_{cp} = \lim_{l \to l_0} \frac{m(l) - m(l_0)}{l - l_0} = m'(l_0).$$

(Về phần kết xem trang 52)