Десять задач на применение производной

37

По страницам школьных учебников

М. Гельфанд, В. Берман

Десять задач на применение произвольной

Предлагаемые задачи адресованы девятиклассикам. Для их решения требуется понимание геометрического и физического смысла произвольной, а также умение судить о свойствах функций по ее графику.

Задача 1. На каждом из рисунков 1, а—и изображены графики зависимости от времени $t$ координаты $x(t)$ и скорости $v(t)$ материальной точки, движущейся по квадратическому закону $x(t) = pt^2 + qt + r$ вдоль координатной прямой. Восемь издевяты графиков скорости неверные. Установите, какие именно. В чем состоит допущенные ошибки? Найдите правильный рисунок.

Указание. Воспользовитесь тем, что $v(t) = x'(t) = 2pt + q$, поэтому графиком скорости является прямая, тангенс угла наклона которого к оси $t$ равен $2p$. Точка $t = -\frac{q}{2p}$, в которой эта прямая пересекает ось $t$, является точкой экстремума функции $x(t)$.

Задача 2. На каждом из рисунков 2, а—г схематически изображены графики зависимости от времени координаты $x(t)$ и скорения $a(t)$ материальной точки, движущейся вдоль координатной прямой по такому же закону, как и в задаче 1. Известно, что при построении некоторых графиковускорения допущены ошибки. Установите, какие из рисунков-

Рис. 1.

Рис. 2.

38

Ков правильны, а какие нет. В чем заключаются допущенные ошибки? Нарисуйте правильные графики.

Указание. Если $x(t) = pt^2 + qt + r$, то $a = v'(t) = 2p$ (см. «Алгебра и начала анализа 9», п. 53), то есть графиком ускорения в данном случае является прямая, параллельная оси $t$ и проходящая через точку $(0; 2p)$.

Задача 3. На каждом из рисунков 3, $a - b$ черным цветом изображен график зависимости от времени $t$ ускорения $a(t)$ движущейся прямойной/materialной точки. Ученик попытался, опираясь на этот график, построить один из возможных графиков скорости $v(t)$ движения той же точки (линии красного цвета). Однако при этом он допустил ошибки. Помогите ученику найти допущенные им ошибки. Нарисуйте правильные графики скорости.

Указание. Воспользовитесь признаками монотности функции (см. «Алгебра и начала анализа 9», п. 54).

Задача 4. Через поперечное сечение проводника протекает заряд. График зависимости заряда $q$ от времени представлен на рис. 4, $a$. Ис

39

Рис. 6.

Рис. 7.

Указание. Воспользовитесь тем, что $v(t) = x'(t)$, а $x'(t)$ — это угловой коэффициент касательной к графику функции $x$ в точке $t$. Осталось найти $tg\alpha$ (см. рис. 6).

Можно построить и иначе. Вначале определите параметры $p, q$ и $r$ уравнения $x(t) = pt^2 + qt + r$, выражающего зависимость координаты $x$ от времени $t$, пользовать тем, что парабола проходит через точки $(0; 3)$ и $(3; 7\frac{1}{2})$, и тем, что абсцисса вершины этой параболы равна $-\frac{q}{2p}$. Далее найти $x'(2)$.

Задание 7. Маховик, задерживаемый тормозом, за $t$ секунд поворачивается на угол $\varphi = \varphi(t)$ радианов. Используя график функции $\varphi$ (см. рис. 7), оцените по графику угловую скорость $\omega$ вращения maxовика в момент времени $t = 3$ с.

Указание. Поскольку $\omega = \varphi'(t)$, задача состоит в нахождении по данному графику функции $\varphi$ значения ее произвольной в физированной точке $(t = 3)$. Чтобы найти значение $\omega(3)$, построите касательную к данному графику функции $\varphi$ в точке с абсциссой 3 (сделать это можно «на глаз», прикладывая ли-

нейку к графику), а затем определите тангенс угла, образованного этой касательной с положительным направлением оси $t$.

Задание 8. На рисунке 8 изображен график скорости $v = v(t)$ прямолинейно движущейся материальной точки. Можно ли, использую этот график, построить график ускорения $a = a(t)$ той же точки?

Указание. Так как $a = v'(t)$, искомый график ускорения — это множество точек вида $(t, v'(t))$. Прините во внимание, что график скорости, изображенный на рисунке 8,— непрерывная кривая, имеющая касательную в каждой точке.

Задание 9. На рисунке 9 изображен график зависимости массы неоднородного стержня от его длины. Используя данной график, попробyte определить линейную плотность стержня в точке $l = 4$ м.

Указание. Линейная плотность стержня $t$ в точке $l_0$ — это, по определению, предел

$$\tau = \lim_{l \to l_0} \tau_{cp} = \lim_{l \to l_0} \frac{m(l) - m(l_0)}{l - l_0} = m'(l_0).$$

(Окончание см. на c. 52)