Приближение к экстремуму

Квант 1981, №1 с. 21, 22, 24, 25 Тег LMZA

Л. Курляндик

Понятие произвольной, которое вы изучаете в школе, дает простой способ нахождения наибольших и наименьших значений функции $y=f(x)$ от одной переменной $x$ . Однако в задачах приходится порой нахождение наибольшее или наименьшее значения выражений, зависит от нескольких переменных. Способы, связанные с применением произвольной, здесь значительное сложнее и в школе не изучаются, поэтому большешую ценность прибретают элементарные методы решения таких задач. Об одном из таких методов, предложенном в 1884 году немецким математиком Р. Штурмом, почти речь в статье.

Начнем с двух задач.

Задача 1. Какой из n-угодных, вписанных в данной круге, имеет наибольшую площадь?

Задача 2. Сумма n чисел равна 1. При каких значениях этих чисел сумма их квадратов принимает наименьшее возможное значение?

На рисунке 1 и 2 показаны триггеры ABC, причем $|AB| > |BC|$ . Посмотрим, что произойдет с площадью этого треугольника, если, не изменяя положения точки A и C, переместить точку B по дуге AC так, чтобы длины сторон AB и BC были близкими, то есть уменьшилась их разность. Пусть точка $B'$ на дуге AC такова, что $|AB'| = |CB|$ . Чтобы слизить длины стороны AB и BC, нужно заменить точку B любой точкой других BB’. При этомлина выcisоты BH треугольника ABC увеличится и, следовательно, увеличится его площадь.

Это наблюдается показывает, что неправильный n-угодник не является решением задачи 1. Действительно, если $|AB|$ и $|BC|$ — неравные соседние стороны этого n-угодника (рис. 2), то, заменив вершину B какой-либо точкой других BB’, мы увеличим площадь треугольника ABC и получим вписанный n-угодник большей площади.

Переход к задаче 2, выясним, что произойдет с суммой квадратов двух чисел, если слизить эти числа, не изменяя их суммы. Пусть $a, b$ — данные числа, $a < b$ , и пусть $0 < \varepsilon < b - a$ . Тогда

$(a + \varepsilon)^2 + (b - \varepsilon)^2 = a^2 + b^2 - 2\varepsilon(b - a - \varepsilon) < a^2 + b^2.$

Мы видим, что сумма квадратов уменьшилась. Это наблюдается показывает, что набор n чисел (с суммой 1), среди которых есть два неравные числа, не является решением задачи 2. Действительно, слизив неравные числа, мы, не изменив суммы всех чисел, уменьшим сумму их квадратов.

Может показаться, что задачи 1 и 2 решения: решением задачи 1 является правильной $n$ -угольник, вписанный в данной круг, а решением задачи 2 является набор чисел $(1/n, 1/n, \dots, 1/n)$ . На самом деле пока доказано лишь, что ни один $n$ -угольник, отличный от правильного, не является решением задачи 1 или один набор $n$ - чисел, отличный от $(1/n, 1/n, \dots, 1/n)$ , не является решением задачи 2. Но остается неисследованной еще одна логическая возможность: никакой $n$ -угольник не является решением задачи 1, никакой набор $n$ - чисел не является решением задачи 2. Доказательство существования математического объекта с заданным свойством часто оказывается довольно трудным. Но решение любой задачи упрощается, если известен возможность ответ, а именно так обстоит дело в задачах 1 и 2.

Решение задачи 1.

Докажем, что площадь любого вписанного в данной круг $n$ -угольника не больше площади вписанного в этот круг правильного $n$ -угольника. (Это как раз означает, что правильный $n$ -угольник является решением задачи 1; в предыдущем рассужdenнии мы установили лишь то, что неправильный $n$ -угольник не является решением.)

Заметим, что, если заменить вершину $B$ вписанного $n$ -угольника точкой $B'$ (рис. 2), получится вписанный $n$ -угольник той же площади, отличной от исходного многоугольника порядком следования двух соседних сторон. Произведя такой операцию нужно число раз, мы можем поменять местами любые две стороны вписанного $n$ -угольника, не изменив его площадь.

Пусть $P$ — вписанный в данной круг $n$ -угольник, отличный от правильного. Наименьшая сторона этого $n$ -угольника стягиваетдугу, угловая вершина которой меньше, чем $360^\circ/n$ , а наиболее сторона стягиваетдугу, большего, чем $360^\circ/n$ . Переставим стороны $n$ -угольника так, чтобы наиболее и наиболее стороны оказались рядом. На рисунке 3 это стороны $AB$ и $BC$ . Отложим на дуге $AC$ дугу $AB_1$ , угловая вершина которой равна $360^\circ/n$ . Заменив вершину $B$ точкой $B_1$ , мы получим вписанный $n$ -угольник $P_1$ , площадь которого больше $n$ -угольника $P$ .

При этом в многоугольнике $P_1$ есть, по крайней мере, одна сторона, стягивающаядугу величины $360^\circ/n$ , то есть равная стороне правильного вписанного $n$ -угольника. Если многоугольник $P_1$ не является правильным, то,prodелав с ним описанную операцию, мы приdem к вписанному $n$ -угольнику $P_2$ большешей площади, в котором еще, по крайней мере, одна сторона равна стороне правильного вписанного $n$ -угольника. Через конечное число шагов мы приdem к вписанному вписанному $n$ -угольнику, и площадь его, тем самым, больше всего площади многоугольника $P$ .

Решение задачи 2.

Пусть сумма чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ равна 1. Если не все эти числа равны между собой, то наименьшее из них меньше 1/n, а наибольшее больше 1/n. Пусть $a_1 < 1/n, a_2 > 1/n$ . Заменив число $a_1$ на 1/n, а число $a_2$ на $a_1 + a_2 - 1/n$ , мы «сблизим» $a_1$ и $a_2$ , не изменив их суммы и, следовательно, уменьшим сумму квадратов. Таким образом, мы получим новый набор чисел с суммой 1, и сумма квадратов чисел этого набора меньше суммы квадратов чисел исходного набора. При этом в новом наборе есть, по крайней мере, one число, равное 1/n. Если в этом наборе не все числа равны 1/n, то,prodелав с ним описанную операцию, мы приdem к набору с суммой 1, но еще меньше суммой квадратов, в котором еще, по крайней мере, one число, равное 1/n. Через конечное число шагов мы приdem к набору $(1/n, 1/n, \dots, 1/n)$ с суммой квадратов, меньшей, чем в исходном наборе. Таким образом, набор чисел $(1/n, 1/n, \dots, 1/n)$ является решением задачи 2.

Если для произвольного числа $S$ среди наборов $n$ чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ с суммой $S$ искать такой, в котором сумма квадратов членов минимального, то проделанные рассужdenя привели бы нас к набору $(\frac{S}{n}, \frac{S}{n}, \dots, \frac{S}{n})$ . Таким образом, для произвольных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ справедливо нера-

Действительно, если не все данные числа равны между собой, то наименьшее из них меньше $A$ , а наиболее — больше $A$ . Пусть, скажем, $a_1 < A, a_2 > A$ . Заменив $a_1$ на $A$ , а $a_2$ на $a_1 + a_2 - A$ , мы, сохраив сумму этих чисел, сглазим их. При этом среднее арифметическое $A$ не изменится, а среднее геометрическое $\Gamma$ увеличится (см. заготовку I). Если в новом наборе чисел есть неравные, то проделаем ту же операцию. Так как на каждом шаге увеличивается количество чисел, равных $A$ , через конечное число шагов все числа станут равными, и мы приедем к набору, для которого среднее арифметическое равно среднему геометрическому. Так как при этом на каждом шаге просто среднее геометрическое и не изменялось среднее арифметическое, в исходном наборе чисел среднее арифметическое больше среднего геометрического.

Упражнение 1. Используя заготовку I, выясните, на какие 25 натуральных слагаемых $n_1, n_2, \dots, n_{25}$ следует разить число 1981, чтобы произведение $n_1! n_2! \dots n_{25}$ было наименьшим.

Упражнение 2. Используя заготовку II, доказите для положительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ и натурального числа $k$ наравенство

$\frac{a_1^k + a_2^k + \dots + a_n^k}{n} \geq \left( \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \right)^k.$

Используя заготовку III, мы доказем теперь наравенство, которое носит имя знаменного ученого XVIII века Христина Гюйгена: если $x_1, x_2, \dots, x_n$ — положительные числа, то

$\left( 1 + x_1 \right) \left( 1 + x_2 \right) \dots \left( 1 + x_n \right) \geq \geq \left( 1 + \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} \right)^n.$

При слияении положительных чисел $a$ и $b$ с фиксированным произведением сумма $a + b$ уменьшается, значит, уменьшается и произведение $(1 + a)(1 + b)$ , равное $1 + ab + a + b$ .

Положим $\Gamma = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$ . Если средние чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ есть неравные, то наименьшее из них меньше $\Gamma$ , а наиболее — больше $\Gamma$ . Заменим $x_1$ на $\Gamma$ , а $x_2$ на $\frac{x_1 x_2}{\Gamma}$ . При этом $x_1$ и $x_2$ сохранием произведение, и потому

*) Эта задача predлагалась на XII Весоизной математической олимпиде. В «Кванте», 1979, № 7, изложено ее решение, отличное от разбиреемого в статье.

ваться внутри отрезка $[a; b]$ . В конце концов мы приdem к ситуации, когда каждое из чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ , за исключением, быть может, одного, будет равно $a$ или $b$ .

Левую часть неравенства можно теперь рассматривать как функцию одной переменной, определяную на отрезке $[a; b]$ . Покажите, что эта функция принимает набольшее значение на одном из концов отрезка $[a; b]$ , и проверьте, что это значение не превыходит правой части неравенства.

Упражнения

Какой из $n$ -угольников, вписанных в данной полукруг (так, что одна из сторон совпадает с диаметром), имеет набольшую площадь?
Докажите, что средние трехугольников данной площади наименьший перimeter имеет равный треугольник.
Выясните, как ведет себя произведение $(1 + \frac{1}{a}) (1 + \frac{1}{b})$ при слияении положительных чисел $a$ и $b$ .

Докажите, что если сумма положительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ равна 1, то

$(1 + \frac{1}{x_1}) (1 + \frac{1}{x_2}) \dots (1 + \frac{1}{x_n}) \geq (n+1)^n.$

Выясните, как ведет себя сумма $(a + \frac{1}{a})^2 + (b + \frac{1}{b})^2$ при слияении положительных чисел $a$ и $b$ .

Докажите, что если сумма положительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ равна 1, то

$(x_1 + \frac{1}{x_1})^2 + (x_2 + \frac{1}{x_2})^2 + \dots + (x_n + \frac{1}{x_n})^2 \geq \frac{(n^2+1)^2}{n}.$

Исследуйте поведение дроби $(1-a)(1-b)/ab$ при слияении положительных, меньших 1, чисел $a$ и $b$ , сумма которых равна 1.

Докажите, что если сумма положительных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ равна 1, то

$(1-x_1)(1-x_2) \dots (1-x_n)/x_1x_2 \dots x_n \geq (n-1)^n.$

Исследуйте поведение суммы $\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b}$ при фиксированном произведении положительных чисел $a$ и $b$ .

Докажите неравенства:

a) если числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ больше 1, то

$\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} + \dots + \frac{1}{1+x_n} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n}}.$

если положительные числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ меньше 1, то

$\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} + \dots + \frac{1}{1+x_n} \leq \frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n}}.$

Числа $a, \beta, \gamma, \delta$ принадлежат промежуточку $]0; \frac{\pi}{2}[\, a+\beta+\gamma+\delta=\pi$ . Доказите, что $tg\alpha+tg\beta+tg\gamma+tg\delta \geq 4$ .
Положительные числа $a, \beta, \gamma, \delta$ таковы, что $a+\beta+\gamma+\delta=\pi$ . Доказите, что $\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\sin\delta \leq \frac{1}{4}$ .
a) $a, b, c, d$ — положительные числа. Докажите неравенство

$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geq \sqrt{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}.$

$x_1, x_2, \dots, x_n$ — положительные числа, $k$ — натуральное число, $k \geq 2$ . Докажите неравенство

$\sqrt{\frac{x_1^k+x_2^k+\dots+x_n^k}{n}} \geq \sqrt{\frac{x_1x_2\dots x_n}{n}}.$

Какие $n$ чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ следует встать между положительным числам $a$ и $b$ ( $a<b$ ), чтобы дробь

$\frac{(a+x_1)(x_1+x_2)(x_2+x_3)\dots(x_n+1+x_n)(x_n+b)}{x_1x_2\dots x_n}$

приняла наименьшее возможное значение?

Сумма нескольких неотрицательных чисел равна 3, а сумма квадратов этих чисел больше 1. Докажите, что из этих чисел можно выбрать три числа, сумма которых больше 1.