Узоры и... арифметика

34

С. Дворянинов

Узоры и…
арифметика

Рисунок, который вы видите перед собой (рис. 1), получен с помощью несложного устройства, называемого спироэграфом. И хотя спироэграф продается в магазинах игрушек, он интересен не только школьникам младших классов, но и старшеклассникам, да и люди постарше. С его помощью можно вычерчивать разнообразные кривы. Наверное, многие после того как получат несколько прекрасных рисунков, захотят разобраться — как же они получаются?

Спироэграф состоит из набора колес и двух колес с зубцами одного размера. Они изготовлены из произвольной пластмассы. Колеса имеют 24, 32, 52, 60, 63, 72 и 80 зубцов. На внутренней стороне одного колца 96 зубцов, на внешней — 144; на другом колце соответствен 105 и 150 зубцов. В каждом колесе и колце имеется несколько небольших отверстий. Чтобы привести спироэграф в действие, надо одной рукой прижать колцо к бумаге или закрепить его булавками на планшетке, колесо поместить внутри колца (или вне него) и совместить их зубцы (рис. 2). Затем следует уkreпить острие шариковой ручки в одном

Рис. 1

35

из ответный в колесе и врашать колесо без просkalzbывания по колъцу. При этом острие ручки будет вычерчивать на бумаге некоторую кривую. После нескольких оборотов кривая замкнется. Почему это так, мы сейчас обьясим.

Пусть $R$ — радиус колца, $r$ — радиус колеса, $\varphi$ — расстояние от центра колеса до ответия, в котором укреплена ручка. При врашении колеса острие ручки будет дивгаться по листу бумаги в некоторой колъевой области. Ее внешний радиус $R_{\text{внешн.}} = R - r + \varphi$, внутриний — $R_{\text{внутр.}} = R - r - \varphi$. Из последней формулы видно, что если, например, $r = \frac{3}{4}R$, $\varphi = \frac{1}{4}R$, то кривая окажется уже не в колъце, а в круге, так как при этом $R_{\text{внутр.}} = 0$.

Пусть на колце имеется $N$ зубцов, на колце — $n$. Предположим, что после того, как колесо совершило $K$ оборотов вокруг центра и $k$ оборотов по колъцу, оно вернулось в исходное положение, а острие ручки оказалось в начальной точке. При этом вычерчиваемая кривая замкнулась, и при дальнейшем врашении колеса новой кривой не получится — острие ручки будет повторять уже пройденный путь. Нетрудно сообщать, что в момент, когда кривая замкнулась, выполняется равенство

$$Kn = kN = D. \quad (*)$$

Поскольку для любых натуральных чисел $N$ и $n$ найдет числа $K$ и $k$, удовлетворяющие равенству (), всякая вычерчиваемая с помощью спирографа кривая окажется замкнутой. При этом числа $K$ и $k$ — это такие наименьшие целые, при которой выполнен равенство (), а $D$ — наименьшее общее кратное чисел $N$ и $n$. На основе этого можно было бы так считать НОК двух чисел $m$ и $M$: сделать колесо с $m$ зубцами, колъю — с $M$ и, врашая колесо внутри колъца до тех пор, пока кривая не замкнется, считать, сколько оборотов сделает колесо вокруг собственного центра (число $K$), или сколько оборотов — по колъцу (число $k$). Затем по формуле (*) вычисляется величины $D = \text{НОK}(m, M)$.

При данных $N$ и $n$ вид кривой зависит от $\varphi$. На рисунках 3 и 4 $N = 96$, $n = 60$, $K = 8$, $k = 5$, но на рисунке 3 величины $\varphi$ больше, чем на рисунке 4. Постепенно увеличивая или уменьшая $\varphi$, то есть используя разные ответия в колесе, можно проследить как деформаруются получаемые кривые при изменении величины $\varphi$.

Число $K$ легко определять по рисунку — оно совпадает с количеством самых удаленных от центра колца точек кривой. На рисунках 3 и 4 эти точки занутерованы в порядке их прохождения.

При вычерчивании кривых лучше поступать наоборот. В тех случаях, когда $N$ и $n$ немного общих делителей (например, $N = 105$, $n = 72$), для получения замкнутой кривой колесо должно сделать большее количество оборотов. Чтобы определить момент, когда кривая замкнется, следует заранее сосчитать число $K$ ировно столько раз прокатить колесо по колъцу.

Знакомые с irrationalными числами могут представить себе идеальный спирограф — в нем на колесе и колъце нет зубцов, но колесо

36

двигается по кольцу без просkal-
зывания. Пусть $l$ — длина окружности колеса, $L$ — длина окружности кольца, по которой перемещается колесо. Если числа $l$ и $L$ не совпадаемыми (например, число $l$ — рациональное, $L$ — irrationalное), то вычерчиваемая кривая никогда не замкнется, потому что ни при каких натуральных $K$ и $k$ равенство $Kl=kL$, соответствующей (*), не может быть выполнено. Однако след от острия ручки имеет конечную ширину, а потому после достаточно большого количества оборотов колеса мы получим на бумаге целиком закрашенное кольцо. Сходная картина возникнет при больших взаимно простых числах $N$ и $n$ (например, 105 и 52). Если же предположить, что след от острия ручки — это идеальная математическая линия, то получающая при несовизмеримых $l$ и $L$ кривая будет расположена в соответствующей кольцевой области всюду плотно (то есть траектория движения острия ручки к любой точке внутри области подходит как уголно близко). Подобные траектории возникают в разных математических задачах и изучаются, например, в теории дифференциальных уравнений.

В тех случаях, когда величина $q$ близка к $r$, описываемые спирографом траектории близки к известным кривым, имеющим специальные названия*). Когда колесо катится по внутренней стороне кольца, получается зипоцклопда. В частности, при $N=96$, $n=24$ получается астрода (рис. 5). Если колесо катится по кольцу из внеш или по другому колесу, то вычерчиваемая кривая близка к эпццклопде (при $q$ близком к $r$; рис. 6). Кардиоид (рис. 7) получается при использовании двух одинаковых колес. Если же заставить колесо катиться без просkalзывания по прямой, а величины $q$ взять по-прежнему близкой к $r$, то получится кривая, похожая на циклопду.

И в заключение — несколько советов тем, кто сам захочет смастерить спирограф. Кольцо можно вырезать из плотной резины или линолеума, колеса — из оргстекла, произной пластмассы или изготовить их других материалов, у которых достаточно большой коэффициент трения. Следует только заранее расчитать отношение $L:l$; например, можно взять относение равным 4:3, 3:1, 7:5. В колесах на разных расстояниях от центра следует просверлить несколько ответственный по диаметру стержня ручки.

*) Более подробно об этих кривых можно прочесть в следующих номерах «Кванта»: 1975, № 8, № 12; 1977, № 12.