Решения задач М611—М615; Ф618—Ф622

28

Решения задач
M611—M615; Ф618—Ф622

М611. На хорде АВ окружности с центром О берется произвольная точка M. Через точки A, M и O проводится окружность, пересекающая первую окружность в точках A и C. Докажите, что $|MB| = |MC|$.

Пусть $\widehat{ABC} = \beta$. Тогда $\widehat{AOC} = 2\beta$, так как $\widehat{ABC}$ и $\widehat{AOC}$ — вписанный и соответственно центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дуг AC данной (черной — см. рисунок) окружности.

С другой стороны, $\widehat{AMC}$ и $\widehat{AOC}$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дуг AC построенной (голубой) окружности (расположенную в нечерной окружности). Поэтому $\widehat{AMC} = 2\beta$.

$AMC$ — внешний угол треугольника MBC. Значит, $\widehat{MCB} = \widehat{AMC} - \widehat{MBC} = \beta$. Из $\widehat{MCB} = \widehat{AMC}$ следует $|MB| = |MC|$.

Это решение годится (в отличие от некоторых решений, присланных читателями) для любого расположения точки M на [AB], кроме того случая, когда M совпадает с серединой хорды AB. В этом последнем случае голубая окружность касается черной, точки A и C слияются и равенство $|MB| = |MC|$ превращается в равенство $|MB| = |MA|$.

Подумайте, останется ли доказанное утверждение верным, если M взять на продолжении отрезка AB.

Н. Васильев

М612. Возрастющая последовательность натуральных чисел ($a_n$) такова, что $a_{n+1} \leq 10a_n$. Докажите, что если все числа $a_n$ записьят рядом (без пробелов и запятых), то полученная последовательность цифр не будет перiodичной.

Допустим, что у нас получилась периодическая последовательность цифр и что длина перiodа (количество цифр в нем) равна T. Легко видеть, что число $a_{n+1}$ может быть «длиннее» числа $a_n$ не более чем на один разряд (и, разумеется, не короче). Поскольку последовательность ($a_n$) — возвращающая, в ней есть числа любой длины, большей, чем длина $a_1$. Поэтому в ней неверняя найдется число $a_m$, длина которого $kT$ кратна перiodу (см. рисунок). Первые $kT$ цифр числа $a_{m+1}$ должны совпадать с цифрами числа $a_m$, поэтому у $a_{m+1}$ есть еще один разряд ($a_{m+1} > a_m$), и в нем обязательно стоит нуль ($10a_m \geq a_{m+1}$). Но тогда первая цифра в записи $a_m$ — нуль, что, конечно, невозможно.

Заметим, что если условие $a_{n+1} \leq 10a_n$ заменить чуть-чуть более слабым: $a_{n+1} \leq 10a_n + 1$ или $a_{n+1} \leq (10 + \varepsilon)a_n$, где $\varepsilon$ — произвольное положительное число, то полученная последовательность цифр может оказаться периодической.

И. Клумова

М613. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники ADB, BEC и CFA ($|AD|/|DB| = = |BE|/|EC| = = |CF|/|FA| = k$, $ADB = BEC = CFA = \alpha$). Докажите, что a) середины отрезков AC, DC, BC и EF — вершины параллелограмма; b) у этого параллелограмма два целых именуются a, а отношение длины сторона равно k.

Обозначим через $\vec{a}'$ вектор, получащийся из вектора $\vec{a}$ поворотом на угол a против часовой стрелки. (Известно, что $(k\vec{a})' = k\vec{a}'$ для любого числа $k$, $(\vec{a} + \vec{b})' = \vec{a}' + \vec{b}'$, и вообще, для любого числа слагаемых, $(\vec{a} + \vec{b} + \dots + \vec{c})' = \vec{a}' + \vec{b}' + \dots + \vec{c}'$.) Введем векторы $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{EB} = \vec{b}$, $\vec{FC} = \vec{c}$ (см. рисунок).

По условию $\vec{DB} = \frac{1}{k}\vec{a}'$, $\vec{EC} = \frac{1}{k}\vec{b}'$, $\vec{FA} = \frac{1}{k}\vec{c}'$.

Поскольку $\vec{AD} + \vec{DB} + \vec{BE} + \vec{EC} + \vec{FC} + \vec{FA} = 0$, $\vec{a} + \frac{1}{k}\vec{a}' - \vec{b} + \frac{1}{k}\vec{b}' - \vec{c} + \frac{1}{k}\vec{c}' = 0$, то есть $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \frac{\vec{a}' + \vec{b}' + \vec{c}'}{k} = \frac{1}{k} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})'$.

Обозначив $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ через $\vec{u}$, получим $\vec{u} - \frac{1}{k}\vec{u}' = 0$. (*)

Поскольку векторы $\vec{u}$ и $\vec{u}'$ неколлинеарны ($\alpha \neq 0$ и $\alpha \neq 2\pi$), равенство (*) возможно тогда, когда $\vec{u} = \vec{0}$. Поэтому $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.

29

Далее так как $Q$ — середина $[DC]$ и $P$ — середина $[AC]$ (см. рисунок), $\overrightarrow{QP} = \frac{1}{2} \vec{a}$. Аналогично $\overrightarrow{QR} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DB}$. Из $(PQ) \parallel (AD)$ и $(QR) \parallel (BD)$ следует $PQR = \alpha$.

Наконец,

$$\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{RC} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FS} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} - \vec{c} + \frac{1}{2} \overrightarrow{FE} =$$

$$= \frac{1}{2} \left( -\vec{b} + \frac{1}{k} \vec{b}' \right) - \vec{c} + \frac{1}{2} \left( \vec{c} - \frac{1}{k} \vec{b}' \right) = -\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{a}}{2} = \overrightarrow{QP}$$

Таким образом, четырехугольник $PQRS$ — параллелограмм с углом $PQR$, равным $\alpha$, и отношением длины сторона $|PQ|/|RQ| = |AD|/|DB| = k$.

Л. Купцов

**M614. Для каждого натурального $n$ через $S(n)$ обозначим сумму цифр всех натуральных чисел от 1 до $n$ (в десятичной записи):

$S(1) = 1, S(2) = 3, S(3) = 6, \dots, S(9) = 45, S(10) = 46, S(11) = 48, S(12) = 51, \dots$

а) Найдите $S(100)$.

б) Докажите, что $S(10^k - 1) = 45k \cdot 10^{k-1}(*)$ для всех $k = 1, 2, \dots$

в) Докажите, что для двумя натурального числа $\overrightarrow{ab}$

$$S(\overrightarrow{ab}) = 5a^2 + ab + 41a + b(b+1)/2.$$

е) Найдите аналогичную формулу для трехначных чисел.

д) Вычислите сумму $S(1980)$.

Выведем общую формулу для $S(\overrightarrow{a_k a_{k-1} \dots a_1})$. Представим эту сумму в виде $a_k + 1$ слагаемых, отдельно вычислив ее для чисел с $k$-м разрядом 0, 1, …, $a_k - 1$ и $a_k$ соответственно.

Первые $a_k$ слагаемых однозначно: в них на цифры, стоящие в менших, чем $k$, разрядах, никаких ограничений не накладываются. Если $k$-й разряд равен $b$ (причем $0 \leq b \leq a_k - 1$), то сумма цифр всех таких чисел равна $10^{k-1} \cdot b + S(10^{k-1} - 1)$ (вклад от $k$-й цифры и от остальных цифр соответственно). $(a_k + 1)$-е же слагаемое (когда $k$-м разряде стоит цифра $a_k$) выглядает так: $a_k \cdot (\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1} + 1) + S(\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1})$ (снова вклад от $k$-й цифры и остальных разрядов соответственно).

Okончательно для $S(\overrightarrow{a_k \dots a_1})$ получаем

$$S(\overrightarrow{a_k \dots a_1}) = a_k \cdot (\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1} + 1) + S(\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1}) +$$

$$+ 10^{k-1}(0 + 1 + \dots + (a_k - 1)) + a_k \cdot S(10^{k-1} - 1) =$$

$$= a_k \cdot (\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1} + 1) + S(\overrightarrow{a_{k-1} \dots a_1}) + 5 \cdot 10^{k-2}a_k(a_k - 1) +$$

$$+ a_k \cdot S(10^{k-1} - 1).$$

Осталось вычислить $S(10^{k-1} - 1)$. Если воспользоваться уже выведенной формулой, получим

$$S(10^{k-1} - 1) = 9 \cdot 10^{k-2} + S(10^{k-2} - 1) + 5 \cdot 10^{k-3} \cdot 9 \cdot 8 +$$

$$+ 9 \cdot S(10^{k-2} - 1) = 10 \cdot S(10^{k-2} - 1) + 45 \cdot 10^{k-2}.$$

Если считать уже доказанным, что

$$S(10^{k-2} - 1) = 45(k - 2) \cdot 10^{k-3},$$

получим формулу

$$S(10^{k-1} - 1) = 45(k - 1) \cdot 10^{k-2},$$

позному достаточно доказать (*) (см. п. 6) условия для $k = 1$.

Имеем $S(10 - 1) = 45 \cdot 1 \cdot 10^\circ = 45$ — формула (*) верна. Итак, $S(10^k - 1) = 45k \cdot 10^{k-1}$ — мы доказали утверждение 6) задачи.

Для двумя значениями этого дает

$$S(\overrightarrow{a_2 a_1}) = a_2(a_1 + 1) + S(a_1) + 5a_2(a_2 - 1) +$$

$$+ 45a_2 = a_2(5a_2 + a_1 + 41) + \frac{a_1(a_1 + 1)}{2} -$$

— см. пункт в задачи.

Для трехзначных чисел

$$S(\overrightarrow{a_3 a_2 a_1}) = a_3((\overrightarrow{a_2 a_1} + 1) + 900 + 50(a_3 - 1)) + S(\overrightarrow{a_2 a_1}) =$$

$$= a_3(50a_3 + \overrightarrow{a_2 a_1} + 851) + a_2(5a_2 + a_1 + 41) + \frac{a_1(a_1 + 1)}{2}.$$

(B частности, $S(100) = 901$).

Наконец,

$$S(1980) = 980 + 1 + 45 \cdot 3 \cdot 10^2 + S(980) =$$

$$= 13500 + 981 + 9(450 + 80 + 851) + 8(40 + 41) = 27558.$$

И. Клумова

31

ем $F = 10$ см. Точку смесили на расстояние $h = 5$ см в плоскости, перpendикулярной.elавной оптической оси. На сколько и куда надо смесить линзу, чтобы избрание светящейся точки вернулось в старое положение?

перемещать в направлении, противоположном направлению перемещения точки.

При смесении точки $A$ в точку $A'$ оптический центр линзы надо смесить из точки $O$ в точку $O'$ такую, чтобы точки $A', B, O'$ лежали на одной прямой. В новом положении линзы ее оптическая ось $N'N'$ должна быть паралелна прямой $NN$.

Из рисунка видно, что расстояние $x$, на которой надо смесить оптический центр линзы, удовлетворяет условияю

$$\frac{x}{h} = \frac{f}{d-f} \Rightarrow x = \frac{hf}{d-f}.$$

Незвесное значение $f$ найдем по формуле рассеивающей линзы:

$$\frac{1}{d} - \frac{1}{f} = -\frac{1}{F} \Rightarrow f = \frac{dF}{d+F}.$$

Таким образом,

$$x = \frac{hF}{d} = 1,25 \text{ см.}$$

А. Изеренин, С. Манида, В. Саулит

Ф620. Если в центр квадратного стола поставить предмет массой, большей $m$, пожки стола сломаются. Найти множество точки стола, куда можно поставить предмет массой $m/2$, не боясь поломки стола.

Чтобы ножки стола не ломались, сила, действующая на каждую ножку, не должна быть больше $m/4$ (это следует из условия задачи). Посмотрим, какая сила $f_1$ действует на ножку $I$ (рис. 1), когда на столе стоит груз массы $m/2$ в точке с координатами $x, y$ (за начало отсчета принята точка $I$).

Пусть $f_2, f_3, f_4$ — силы, действующие на ножки $II, III, IV$ соответственно. Очевидно, что действие сил $f_1$ и $f_2$ эквивалентно действию силы $f_{1-2} = f_1 + f_2$, приложенной в точке $A$ с координатами {0; $y$}, а действие сил $f_3$ и $f_4$ эквивалентно действию силы $f_{3-4} = f_3 + f_4$, приложенной в точке $B$ с координатами { $l$; $y$} (длина стороны стола равна $l$). Запишем условия равновесия стола:

$$f_{1-2} + f_{3-4} = \frac{mg}{2},$$

$$f_{1-2} x = f_{3-4} (l - x).$$

Отсюда

$$f_1 + f_2 = f_{1-2} = \frac{mg}{2} \frac{l-x}{l}.$$

С другой стороны, $f_1 y = f_2 (l - y)$, откуда

$$f_1 = f_2 \frac{l-y}{y}.$$

Из (1) и (2) находится

$$f_1 = \frac{mg}{2} \frac{(l-x)(l-y)}{l^2}.$$

Чтобы ножка не сломалась, должно выполнять условия

$$f_1 = \frac{mg}{2} \frac{(l-x)(l-y)}{l^2} < \frac{mg}{4},$$

то есть груз массы $m/2$ может стоять в точке, координаты которой связаны соотношениям

$$y > l \left(1 - \frac{l}{2(l-x)}\right).$$

График функции $y(x) = l \left(1 - \frac{l}{2(l-x)}\right)$ изображен толь-

32

Ф621. Конеч нити, намотанной на катушку, перекинуть через бытный в стену звездь (см. рисунок). Нить тянут с постояной скоростью v. С какой скоростью движется центр катушки в тот момент, когда нить составляет угол а с вертикалью? Внешний радиус катушки равен R, внутренний — r.

Если нить тянут так, как показано на рисунке, катушка будет катиться вправа, вращаясь при этом по часовой стрелке вокруг движения и линейной скорости вращательного движения с угловой скоростью ω на направление нити равна v:

$$v_0 \sin \alpha - \omega r = v$$

(v₀ — модуль искомой скорости). Из-за отсутствия проскальзывания катушки по горизонтальной поверхности сумма проекций соответствующих скоростей для точки C равна нулю:

$$v_0 - \omega R = 0.$$

Полученные уравнения дают

$$v_0 = v \frac{R}{R \sin \alpha - r}.$$

Очевидно, что при R \sin \alpha = r (это соответствует случаю, когда точки A, B и C лежат на одной прямой) выражение для v₀ теряет смысл. Заметим также, что найденное выражение описывает движение катушки как вправо (когда точка B находится слева от прямой AC и R \sin \alpha > r), так и вплево (когда точка B находится справа от прямой AC и R \sin \alpha < r).

С. Кротов

Ф622. Когда и во сколько раз больше абсолотная влажность воздуха (плотность воздуха) в нюбре при температуре t₁ = 0°С и влажности 95% или в нюле при t₂ = 35°С и влажности 40%, если давление насыщенного пара при t₁ = 0°С равно p₁ = 6 · 10²Па, а при t₂ = 35°С равно p₂ = 5,5 × 10³Па?

Давление водыных паров при относительной влажности α равно

$$p = \alpha p_H,$$

где p_H — давление насыщенных паров при данной температуре. Плотность водыных паров (абсолотную влажность) найдем из уравнения газового состояния:

$$pV = \frac{m}{\mu} RT \Rightarrow \varrho = \frac{m}{V} = \frac{\mu p}{RT} = \frac{\mu a p_H}{RT}.$$

Отношение плотностей водыных паров q₂/q₁ в нюле и в нюбре при заданных в задание условиях (α₂ = 0,4, T₂ = 308 K, p_H₂ = p₂ = 5,5 · 10³Па, α₁ = 0,95, T₁ = 273 K, p_H₁ = p₁ = 6 · 10²Па) равно

$$\frac{q_2}{q_1} = \frac{\alpha_2 p_2}{\alpha_1 p_1} \cdot \frac{T_1}{T_2} \approx 3,4.$$

Таким образом, в сухом нюле (выжность 40%) в воздухе в 3,4 раза больше водыных паров, чем в сыром нюбре (выжность 95%).

В. Белонуккин