Задачи М661—М665; Ф673—Ф677

26

Задачи

M661 — M665; Ф673 — Ф677

M661. На берегу круглого озера четыре писания K, L, P, Q. От писания K отплывает ктер, от L — лодка. Если ктер поплывет прямо в P, а лодка — прямо в Q, то они столкнутся в некоторой точке X озера. Докажите, что если ктер поплывет в Q, а лодка в P, то они достигнут этих писаний одновременно.

H. Васильев

M662. В копилке собрано четыре рублей медными монетами. Докажите, что эти монетами можно заплаать три рублей бездачи.

A. Куширенко, Г. Куширенко

M663. Наjdите все простые числа p, для которых число 2^p + p^2 — тоже простое.

C. Майзус

M664*. Дан четырехугольник ABCD площади S. Обозначим точки пересечения высот треугольников ABC, BCD, CDA, DAB через H, K, L, M соответственно. Докажите, что площад четырехугольника HKLM тоже равна S.

B. Батырев, В. Трофимов

M665*. Световое табло состоит из нескольких лампочки, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние у некоторого набора лампочки (для каждой кнопки — сво его). Вначале лампочки не горят.

a) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, — степень двойки.

b) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из m×n лампочки, расположенных в форме прямогольника, если кнопками можно переключить каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд лампочки (проверьте ваш ответ для необходимости значений m, n)?

b) Придумайте другие примеры табло и наборов (переключаемых кнопками), в которых можно найти число узоров.

H. Гриберг, ученица 10 класса

Ф673. Груз висит на упругой нити. Если к грузу прикладывать силу, медленно нарастую от

27

нулевого значения, то нить оборвется, когда величины силы достигнет значения $F_1$. При какой минимальной величины силы оборвется нить, если прикладываемая сила мгновенно достигает некоторого значения и в дальнейшем остается неизменной?

Г. Баронов

Ф674. Серный ангидрид $SO_3$ в количестве $\gamma_1 = 1$ моль поместили в замкнутый сосуд и нагрели до температуры $T_1 = 1000$ К, при которой $SO_3$ частично диссоцирует на сернистый ангидрид $SO_2$ и кислород: $SO_3 = SO_2 + \frac{1}{2}O_2$. Степень диссоциации в этих условиях оказывается $\alpha_1 = 0,2$ (то есть диссоцировали 20% первого иимевшихся молекул $SO_3$). Когда в тот же сосуд поместили $n_2 = 0,4$ моль $SO_3$, то оказалось, что для получения такого же, как в первом опыте, давления газ надо нагреть до температуры $T_2 = 200$ К. Определить степень диссоциации $SO_3$ во втором опыте. Все вещества в обихах опытах находятся в газообразном состоянии.

В. Белонуккин

Ф675. Для изменения больших токов в цепи $CC$ (рис. 1) используется шунт Ш, паралельно которому через сопротивления $R_1 = 2$ Ом и $R_2$ подключается изменительный прибор Г с внутренним сопротивлением $r = 10$ Ом. В положении $A$ переключителя П все шкара прибора соответствует току в цепи $I_1 = 10$ А. Каким надо взять сопротивление $R_2$, чтобы в положении $B$ переключителя П все шкара прибора соответствовала току $I_2 = 100$ А?

Сопротивление шунта считать много меньше внутреннего сопротивления прибора.

Л. Луцанский

Ф676. Проволочный квадратной рамке с перimetром $4a$ и массой $m$ сообщают в горизонтальном направлении некоторую начальную скорость. Рамка движется в вертикальной плоскости, все время нахождения в магнитном поле, перpendикулярном плоскости рамки (рис. 2). Индукция поля меняется по закону $\cdot B(z) = B(0) + kz$, где $k = const$. Сопротивление рамки равно $R$. Через некоторое время скорость рамки становится постоянной и равной $v$. Найти начальную скорость, сообщаемую рамке. Ускорение свободного падения $g$.

В. Можаев

Ф677. С помощью системы концентрических зеркал (рис. 3) на экран получено изображение Солнца. Радиусы зеркал $R_1 = 12$ см, $R_2 = 30$ см. Каково должно быть фокусное расстояние тонкой линзы, чтобы с ее помощью получалось изображение Солнца такого же размера?

Е. Кузнецов