Показательные уравнения

40

Показательные уравнения

Темой этой статьи является уравнение, содержащие неизвестное в показатель степени. Такие уравнения часто встречаются наступательных экзаменах, и поэтому абитриенту полезно познакомиться с неокоторыми методами их решения.

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида $a^x = b$, где $a > 0, a \neq 1$. При $b > 0$ это уравнение имеет единственный корень $x = \log_a b$, при $b \leq 0$ уравнение корней не имеет.

В ходе преобразованияный показательных уравнения часто используются свойства показательной функции (см. пособие «Алгебра и начала анализа 10», п. 108): $a^{x_1} \cdot a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}, (a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 x_2}, (ab)^x = a^x \cdot b^x$ (здесь $a > 0, b > 0$).

Если исходное уравнение имеет вид

$$f(a^x) = b,$$

(1)

где $f$ — неокторая функция, то для его решения можно положить $y = a^x$, решить уравнение $f(y) = b$, выбрать его положительные корни и затем решить получившее простейшее уравнение.

Задача 1 (МИИГАиК, 1978). Решить уравнение

$$3^{2-x} = 3^x - 8.$$

Решение. Положив $y = 3^x$, получим уравнение $\frac{9}{y} = y - 8$ или $y^2 - 8y - 9 = 0$. Полученное квадратное уравнение имеет корни

$$y_1 = -1, y_2 = 9.$$

Первый из них нас неSTRAИВАЕТ ($y > 0$). Поэтому $3^x = 9$, откуда $x = 2$.

Ответ. {2}.

В некоторых случаях уравнение, не имеющее вид (1), удается преобразовать к такому виду, пользоваться свойством показательной функции.

Задача 2 (МИИ, 1976). Решить уравнение

$$3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x = 5 \cdot 36^x.$$

Решение. После очевидных преобразований получим:

$$3 \cdot 4^{2x} + 2 \cdot 9^{2x} = 5 \cdot 4^x \cdot 9^x.$$

Так как $9^x \neq 0$, полученное уравнение равносильно уравнению

$$3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} + 2 = 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x.$$

Полягая $y = \left(\frac{4}{9}\right)^x$, приходим к квадратному уравнению $3y^2 - 5y + 2 = 0$. Его корни $y_1 = 1, y_2 = \frac{2}{3}$.

Решая простейшее уравнение $\left(\frac{4}{9}\right)^x = 1$ и $\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}$, получаем в первом случае $x = 0$, а в втором $\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \frac{2}{3}$; то есть $2x = 1$ или $x = \frac{1}{2}$.

Ответ. {0, 1/2}.

Рассмотрим теперь несколько примеров, в которых в показатель степени оказываются неокторыные функции от $x$.

Задача 3 (МИИГАиК, 1970). Решить уравнение

$$3^{2x^2 + 6x - 9} + 4 \cdot 15^{x^2 + 3x - 5} = 3 \cdot 5^{2x^2 + 6x - 9}$$

Решение. Положим $y = x^2 + 3x - 5$, после чего уравнение перештется так:

$$3^{2y+1} + 4 \cdot 3^y \cdot 5^y = 3 \cdot 5^{2y+1}.$$

Роздельныйравую и левую части на $5^{2y}$, приdem к уравнению

$$3 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{2y} + 4 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^y - 15 = 0.$$

Решая это уравнение, как предыдущей, получаем $\left(\frac{3}{5}\right)^y = \frac{5}{3}$, откуда

41

$$y = -1. \text{ Осталось решить квадратное уравнение } x^2 + 3x - 5 = -1.$$

Ответ. {1, -4}.

Иногда после преобразования исходное уравнение приводится к виду
$$a^{f(x)} = b^{g(x)} (a > 0, b > 0, a \neq 1).$$

Для решения этого уравнения полезно заметить, что оно равносильно уравнению
$$a^{f(x)} = a^{g(x)} \log_a b$$
(мы воспользовались основным логарифмическим теоретическим аlogab = b). Из монotonности показательной функции следует, что уравнение (2) равносильно уравнению
$$f(x) = g(x) \log_a b.$$

Задача 4. Решить уравнение
$$3^{x-3} = 5^{x^2 - 7x + 12}.$$
Решение. Переходим к равносильному уравнению
$$x - 3 = (x^2 - 7x + 12) \log_3 5.$$
Полученное уравнение, конечно, можно решить обычным способом (это — квадратное уравнение). Но решать его довольно непряятно, поскольку у него «противные» коэффициенты.

Однако, если заметить, что $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$, решение значительное упрощается.

Имеем $x - 3 = (x - 3)(x - 4) \log_3 5$, откуда либо $x = 3$, либо $(x - 4) \times \log_3 5 = 1$ или $x = 4 + \frac{1}{\log_3 5} = 4 + \log_5 3.$

Ответ. {3, 4 + \log_5 3}.

Разберем еще один пример.

Задача 5 (МИЭТ, 1978). Решить уравнение
$$32^{\frac{x+5}{x-7}} = 0,25 \cdot 128^{\frac{x+17}{x-3}}.$$
$$32 = 2^5, 0,25 = 2^{-2}, 128 = 2^7$$, поэтому уравнение переписывается так:
$$2^{5 \cdot \frac{x+5}{x-7}} = 2^7 \cdot \frac{x+17}{x-3} - 2$$
и, следовательно, равносильно уравнению
$$\frac{5x+25}{x-7} = \frac{7x+119}{x-3} - 2,$$

которое приводится к уравнению
$$\frac{x+5}{x-7} = \frac{x+25}{x-3},$$
имеющей корень $x = 10$.

Ответ. {10}.

Иногда встречится уравнение, содержащие неизвестное и в основании, и в показатель степени. Прежде чем переходит к рассмотрению конкретных задач, сделаем некоторые замечания об области определения функций вида $f(x)^{g(x)}$.

Obviously, когда на экзамене предлагается задача, в которой функция вида $f(x)^{g(x)}$, предполагают, что абитриенты будут ее рассматривать при таких значениях $x$, для которых выполнен одно из условий: либо $f(x) > 0$, либо $f(x) = 0$ и $g(x) > 0$.

Так, $x = 3$ является корнем уравнения $(x - 3)^x = 3 - x$. При $x > 3$ это уравнение, очевидно, корней не имеет (левая часть его положительного, а правая отрицательна). При $x < 3$ основание степени отрицательно и поэтому такие $x'$ рассматривать не следует, хотя и можно заметить, что непосредственная подстановка $x = 2$ в уравнение дает верное равенство $(2 - 3)^2 = 3 - 2$ и потому число 2 также является его корнем.

Абитриенты, не заменющие этого и вообще не рассматривающие случая $x < 3$, не допускают никакой ошибки и ответ $x = 3$ в этой задаче следует считать правильным.

Приятое соглашение связано с тем, что вопрос о смысле выражения $a^b$ при $a < 0$ и действительном $b$, не являющегося целым числом, является очень сложным и не может быть решен в рамках курса средней шкалы.

Задача 6. Решить уравнение
$$x^{x^2 - 5x + 8} = x^2.$$
Решение. Расматриваем только $x \ge 0$. Так как при $x = 0$ функция, стоящая влевой части, определяна и равна нулю и правая часть равна нулю, 0 является корнем этого уравнения. Легко видеть, что при $x > 0$ данное уравнение равносильно уравнению $(x^2 - 5x + 8) \lg x = 2 \lg x$, откуда либо $\lg x = 0$, то есть $x = 1$, либо $x^2 - 5x + 6 = 0$, то есть $x = 2$ и $x = 3$.

42

Ответ. {0, 1, 2, 3}.

В заключение этого раздела рассмотрим две задачи, решить которые помогает свойство монотности показатель функции.

Задача 7. Решить уравнение

$$3 \cdot 4^x + (3x - 10) \cdot 2^x + 3 - x = 0.$$

Решение. Эта задача не принадлежит ни к одному из ранее рассмотренных типов. Все-tаки по-proбуем сделать замену $y = 2^x$. Получим

$$3 \cdot y^2 + (3x - 10)y + 3 - x = 0.$$

Решим теперь полученное уравнение как квадратное относительно $y$. Имеем

$$y = \frac{-3x + 10 \pm \sqrt{(3x - 10)^2 - 12(3 - x)}}{6}$$

$$= \frac{-3x + 10 \pm \sqrt{9x^2 - 48x + 64}}{6}$$

$$= \frac{-3x + 10 \pm (3x - 8)}{6},$$

откуда либо $y = 3 - x$, либо $y = \frac{1}{3}$.

Уравнение $2^x = \frac{1}{3}$ имеет корень $x = -\log_2 3$.

Решим теперь уравнение

$$2^x = 3 - x.$$

Легко угадать корень $x = 1$. Докажем, что других корней у этого уравнения нет. В самом деле, при $x = 1$ левая часть равна правой. Левая часть — возрастоящая функция, а правая — убывающая. Поэтому при $x < 1$ левая часть будет меньше правой, а при $x > 1$, наоборот, правая часть больше левой.

Ответ. {1, $-\log_2 3$}.

Задача 8. Решить уравнение

$$6^x - 2^x = 32.$$

Решение. Попытки найти корень этого уравнения обичными методами здесь ничего не дают. В то же время нетрудно заметить, что уравнение удовлетворяет значению $x = 2$. Докажем, что других корней нет. Для этого перешем уравнение так:

$$3^x - 1 = \frac{32}{2^x}.$$

Правая часть является убывающей