Московский инженерно-физический институт

46

Московский инженерно-физический институт

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. Произведение второго и двенадцатого членов арифметической прогрессии равно 1, а произведение четвертого и десятьго членов этой же прогрессии равно $b$. Найдите седьмой член этой прогрессии.

2. В прямой круговой конус вписанаправильная треугольная прогрессия, длинаапофемы боковой грани которого равна $k$, асмаа боковая грань составляет с плоскостьюоснования угол величиной $\alpha$. Через одно избоковых ребер прогрессия плоскость, пересекающая конецческого поверхности. Найдите площадьечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь имеет наиболее из всех возможных значения.

3. При каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{2x-1}$, $x = 2$, $x = a$, равна $\ln \frac{4}{\sqrt{5}}$?

4. Найдите $f'(x)$ и критические точки функции $f(x) = 4x^3 - 6x^2 \cos 2a + 3x \sin 2a \sin 6a + \sqrt{\ln(2a-a^2)}$. Убивает или возрастает $f(x)$ в точке $x = \frac{1}{2}$?

Вариант 2

1. Сплав железа и никеля весом 7 кг содержит 70% железа; другой сплав тех же металлов содержит r% никеля и весит 18 кг. Сколько килограммов второго сплава надо сплавить с первым сплавом, чтобы получить новый сплав с наименьшим процентным содержанием железа? Сколько при этом в новом сплаве будет содержаться железа?

2. В основании примыды SPQRT лежит четырехугольник PQRT, у которого $|PT| = |TR|$ и $TPR = \alpha$. Длина перпендикуляра, опущенного из вершины $R$ на прямую $(TP)$, равна $h$. Найдите объем примиды SPQRT, если известно, что площадь треугольника PQR в 15 раз больше площади треугольника TPR, прямы (TS) и (QS) перпендикуляры прямои $(PR)$, $\widehat{TSQ} = 90^\circ$ и $|SQ| = c$.

3. Для функции $f(x) = -1 - \frac{1}{x} \log_8 e$ найдите первообразную $F(x)$, которая при $x = 2$ принимает значение $6 \frac{2}{3}$. При каких значениях $x$ кривая $F(x)$ пересекает ось $Ox$?

4. Найдите все значения $m$, при которых векторы $\vec{g} = (1; m; x)$ и $h = (7; x mx)$ образуют острый угол при любом $x \in \mathbb{R}$.

Решение задач варианта 1

1. Обозначим седьмой член арифметической прогрессии $a_7$ через $x$, а разность прогрессии через $d$. Имеем
   $$\begin{cases} a_2 = x - 5d, & a_{12} = x + 5d, \\ a_4 = x - 3d, & a_{10} = x + 3d. \end{cases}$$

По условияю
$$\begin{cases} a_2 \cdot a_{12} = 1, \\ a_4 \cdot a_{10} = b. \end{cases}$$

Позтому, в силу (1),
$$\begin{cases} x^2 - 25d^2 = 1, \\ x^2 - 9d^2 = b. \end{cases}$$

Из этой системы легко находим $x^2$ и $d^2$:
$$x^2 = \frac{25b - 9}{16}; d^2 = \frac{b - 1}{16}.$$
При этом, оченьindo, для существования решения должно быть $b \geqslant 1$.

Ответ. $\left\{\frac{\sqrt{25b - 9}}{4}; -\frac{\sqrt{25b - 9}}{4}\right\}$.

Поступающие, как правило, решили эту задачу правильно. Некоторые из них допускали ошибки при решении уравнения $x^2 = \frac{25b - 9}{16}$.

2. Высота $SO$ примиды SABC (рис. 1)

Рис. 1.

48

Которое приводится к квадраthому
$$5a^2 - 24a + 12 = 0.$$
Это уравнение на интервале $\frac{1}{2}; 1$ имеет единственный корень
$$a = \frac{1}{5}(12 - 2\sqrt{21}).$$
Ответ. $\{8, 0, 4(6 - \sqrt{21})\}$.
Типичная ошибка, допущенная многими абитриентами, — отсутствие исследований случай $a \in \left[ \frac{1}{2}; 1 \right]$ и потеря второго решения.
4. Прежде всего заметим, что параметр $a$ должен удовлетворять неравенству $\ln(2a - a^2) \geq 0$. Но
$$\ln(2a - a^2) \geq 0 \iff 2a - a^2 \geq 1 \iff a = 1.$$
Таким образом, $a = 1$,
$$f(x) = 4x^3 - 6x^2 \cdot \cos 2 + 3x \cdot \sin 2 \cdot \sin 6,$$
$$f'(x) = 12x^2 - 12x\cos 2 + 3\sin 2\sin 6.$$
Решая квадраthое уравнение $4x^2 - 4x\cos 2 + \sin 2 \cdot \sin 6 = 0$, находим критические точки
$$x_1 = \cos 1 \cdot \cos 3, x_2 = \sin 1 \cdot \sin 3.$$
Для того чтобы выяснить, убывает или возникает функция $f$ при $x = 0,5$, нужно определить знак числа $f'(0,5)$.
Имеем $f'(0,5) = 3(1 + \sin 2 \cdot \sin 6) - 6\cos 2 > 0$, так как выражение, стоящее в круглых скобках, положительное, а $\cos 2 < 0$.
Ответ.
$$f'(x) = 12x^2 - 12x\cos 2 + 3\sin 2 \cdot \sin 6;$$
$\cos 1 \cdot \cos 3, \sin 1 \cdot \sin 3;$
возрастает.
При решении этой задачи не поступающие не сумели ее решить из-за незначения определения убывания (возрастания) функции в точке.

Физика

Задачи устного экзамена

1. К бруску массой $m = 0,5$ кг, лежащему на горизонтальном столе, прикреплена одним концом вертикального расположенияружина жесткостью $k = 10$ Н/м. Другой конецружины закреплен над бруском на высоте $l_0 = 0,1$ м. В этом положенииружина не деформирована. При равномерном движении стола в горизонтальном направленииружина откло-
   48