Bài toán M671—M675; F683—F687

24

Vấn đề
lượng tử

M671—M675; F683—F687

M671. Trong một tứ giác nội tiếp, một đường chéo chia đôi đường chéo kia. Chứng minh rằng bình phương độ dài đường chéo thứ nhất bằng nửa tổng bình phương độ dài các cạnh của tứ giác.

R. Mazov

M672*. Đặt $a$ là một số tự nhiên sao cho $2^a-2$ chia hết cho $a$ (ví dụ: $a=3$). Chúng ta hãy xác định dãy $(x_n)$ theo điều kiện
$$x_1=a, x_{k+1}=2^{x_k}-1.$$
Chứng minh rằng $2^{x_k}-2$ chia hết cho $x_k$ với mọi $k$.
Walter Janous (Jisbruck, Áo)

M673. Ba vòng đệm $A, B, C$ nằm trên mặt phẳng tại các đỉnh của tam giác. Người chơi khúc côn cầu chọn một trong số họ và đi dọc theo nó để nó đi qua giữa hai người còn lại và dừng lại ở một điểm nào đó.
a) Chỉ ra cách, sau khi đánh gót chân, quả bóng $C$ có thể trở lại vị trí của nó và quả bóng $A$ và $B$ có ​​thể được hoán đổi cho nhau.
b) Cả ba quả bóng $A, B, C$ có thể trở lại vị trí ban đầu sau 25 lần trúng không?

A. Razborov

M674. Các điểm $A_1, B_1$ và $C_1$ lần lượt được lấy trên các cạnh $BC, AC$ và $AB$ của tam giác nhọn $ABC$. Được biết, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ trùng với giao điểm các đường cao của tam giác $A_1B_1C_1$. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $A_1B_1C_1$ đồng dạng.

D.Izaak

M675. Hệ trọng số là một tập hợp các số tự nhiên từ đó có thể trích ra hai tập hợp khác nhau có cùng tổng (ví dụ: các số 24, 23, 22, 20, 17, 11 tạo thành hệ trọng số nhưng các số 1, 2, 3, 4, 5, 8 không tạo thành: $2+3+4=1+8$). Chứng minh rằng từ các số nhỏ hơn 1000 có thể chọn được một hệ trọng số gồm: a) 10 số, b) 11 số.

25

c) Chứng minh rằng không thể chọn được 14 số trong số đó.
d) Chứng minh rằng nếu các số tạo thành một hệ trọng số thì tổng nghịch đảo của chúng không vượt quá 5/2.
e) Chọn hệ thống tính trọng số gồm 11 số từ các số nhỏ hơn 700.

G. Gurevich, A. Kolotov

F683. Hình 1 hiển thị nguồn $AB$ và hình ảnh khuôn mặt của nó $A'B'$. Xác định bằng cách xây dựng vị trí của đường thẳng và tiêu cự của nó.

F684. Mạch có $N$ cực đầu vào, một cực đầu ra và một cực chung (“mặt đất”). Tại mỗi đầu vào, điện thế nối đất nằm trong khoảng từ +50 đến +200 V.

1. Vẽ một biến thể của mạch điện sẽ cung cấp điện thế tối đa đặt vào các đầu vào ở đầu ra.
2. Vẽ một biến thể khác cung cấp điện thế ứng dụng tối thiểu ở đầu ra.
   Cố gắng làm mà không cần sử dụng các nguồn năng lượng bổ sung.

A. Zilberman

F685. Giữa bức tường và một khối lập phương có khối lượng $M=10$ kg, một quả bóng đàn hồi có khối lượng $m=0,1$ g bay trên một mặt bàn nhẵn. Tốc độ của nó lúc đầu, khi khối đứng yên, là $v_0=100$ m/s. Tìm vận tốc của khối lập phương tại thời điểm nó cách tường gấp 2 lần so với lúc đầu.

F686. Một vòng mỏng có khối lượng $M$ và bán kính $R$ được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang. Dọc theo một kênh trơn đi bên trong vòng, một vật nhỏ có khối lượng $m$ gặp nhau từ điểm trên cùng mà không có vận tốc ban đầu. Xác định tốc độ của tâm vòng tại thời điểm vật ở điểm vòng $A$, vectơ bán kính của nó tạo thành một góc φ với phương thẳng đứng. Lúc đầu vòng tròn đứng yên. Không có ma sát giữa vòng và mặt phẳng.

S. Krotov

F687. Một quả bóng thép nằm ở điểm $A$ của đế $AB$ của một nêm thẳng đều được cho tốc độ $v_0$ theo hướng của cạnh $AO$ (Hình 2). Tại giá trị nào của $v_0$ quả bóng từ điểm $A$ đến điểm $B$? Chiều dài cạnh nêm $l$.

E. Rabkin, học sinh lớp 9.

27

số liệu đối với $m$, thì $S_l(P)$ và $S_l(P')$ sẽ đối xứng đối với $m'$. Tóm lại: $S_{m'} = S_l \circ S_m \circ S_l$.

Bổ đề 2. Nếu $l$ và $m$ là các trục đối xứng của đa giác $M$, cắt nhau tại điểm $O$ và các trục khác vuông góc với nhau, thì đường thẳng $n$, vuông góc với cả hai và đi qua điểm $O$, cũng đóng vai trò là trục đối xứng $M$.

Thật vậy, $S_n = S_m \circ S_l$. Điều này có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách lấy các đường thẳng làm trục tọa độ hoặc bằng cách dựng một hình bình hành hình chữ nhật có tâm tại điểm $O$ và các trục đối xứng $l$, $m$, $n$ với một đỉnh tùy ý $P$ (Hình 3).

Bổ đề 1 và 2 cho phép chúng ta sử dụng các đường thẳng rõ ràng làm trục tọa độ hoặc bằng cách xây dựng một hình bình hành hình chữ nhật có tâm tại điểm $O$ và các trục đối xứng $l$, $m$, $n$ với một đỉnh tùy ý $P$ (Hình 3).

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: tập hợp đường thẳng (hữu hạn) nào có thể là đa giác đối với tất cả các trục đối xứng của một đa giác nhất định?

Nhiều ví dụ khác nhau được đưa ra về các trục đối xứng đa giác nhận dạng chính quy $n$-giác trường (ở đây là một loạt trục $p = n$ cho $n$ lẻ và $p = n + 1$ cho $n$ chẵn), một tứ diện (hoặc một hình chữ nhật song song với các cạnh khác nhau, $p = 3$), một khối lập phương (hoặc bát diện, $p = 9$) và khối mười hai mặt (hoặc khối hai mươi mặt, $p = 15$). Hãy thử chứng minh rằng không có trục đối xứng đa giác nào khác (gồm nhiều hơn một đường thẳng).

Tất nhiên, người ta không thể làm gì nếu không có bổ đề rất hữu ích như vậy, bổ đề mà nhiều độc giả cũng đã sử dụng trong lời giải bài toán 6).

Bổ đề 3. Các trục đối xứng của đa giác bất kỳ cắt nhau tại một điểm.

Giả sử rằng $l$, $m$ là trục đối xứng rời rạc của đa giác $M$. Đặt $n$ là đường vuông góc tổng quát $l$, $m$; khoảng cách hệ tọa độ chữ nhật có gốc tại điểm $O = l \cap n$, có trục $Oz$ hướng dọc theo tia $OA$, trong đó $A = n \cap m$; hãy để $|OA| = a$. Sau đó, với sự đối xứng của trục tương đối $l$, tọa độ $z$ của bất kỳ điểm nào sẽ đi vào $(-z)$ và với sự đối xứng của trục tương đối $m$ - thành $(2a - z)$. Do đó, khi hợp hai đối xứng này, $z$ thay đổi thành $2a$. Bằng cách lặp lại bố cục này đủ số lần, chúng ta sẽ “lái” bất kỳ điểm nào vượt ra ngoài ranh giới của đa giác $M$. Mâu thuẫn!

Đây là một bằng chứng thậm chí còn ngắn hơn về Bổ đề 3 (mặc dù sử dụng khái niệm mượn từ cơ học): đặt $O$ là tâm khối lượng giống hệt nhau đặt tại các đỉnh của đa giác $M$; rõ ràng là đối với bất kỳ sự tự căn chỉnh nào của đa giác $M$, các trọng số chỉ thay đổi vị trí, do đó điểm $O$ biến thành chính nó; cụ thể là tất cả các trục đối xứng $M$ đều đi qua điểm $O$.

N. Vasiliev, V. Senderov, A. Sosinsky

**M624. Tìm chuỗi $(a_n)$ được xác định bởi điều kiện $a_1 = 1$,

$$1 + \sum_{d} (-1)^{n/d} a_d = 0,$$

Trong thực phẩm, tổng $\sum$ được lấy trên tất cả các ước $d$ của số $n$ (bao gồm $d = 1$ và $d = n$).

Ví dụ: nếu $n = p$ là số nguyên tố thì (*) có dạng $1 + (-1)^{p/1} a_1 + (-1)^{p/p} a_p = 0$, do đó $a_p = 2$ nếu $p = 2$ và $a_p = 0$ nếu $p > 2$.

28

Áp dụng sự tương ứng (*) xác định dãy $(a_n)$, ta thu được

$$1 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2m-1} - a_{2m} = 0,$$

Ở đâu

$$a_{k+1} = a_{2m} = 1 + 1 + 2 + \ldots + 2^{m-1} = 2^m,$$

• mệnh đề trong trường hợp a) đã được chứng minh.

6. $n = k + 1 \neq 2^m$.

Chúng ta hãy viết $k+1$ dưới dạng

$$k+1 = 2^r \cdot s,$$

trong đó $2^r$ là lũy thừa tối đa của hai số chia cho $k+1$ và $s$ là số lẻ lớn hơn một.

Theo giả định quy nạp, các ước $d$ của số $k+1$ (khác với $k+1$), mà $a_d \neq 0$, chỉ là các số 1, 2, $2^2$, …, $2^r$.

Từ khớp (*)

$$1 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2r-1} - a_{2r} - a_{k+1} = 0,$$

đó là

$$a_{k+1} = 1 + 1 + 2 + \ldots + 2^{r-1} - 2^r = 0,$$

• và khẳng định (1) trong trường hợp 6) cũng được chứng minh.

V. Abramovich

M626. Mỗi cạnh của một tứ giác lồi được chia thành 8 phần bằng nhau. Các điểm phân chia phù hợp ở các cạnh đối diện được kết nối với nhau và các ô kết quả được tô màu theo mẫu bàn cờ. Chứng minh rằng tổng diện tích của các ô này bằng tổng diện tích của các ô màu trắng.

Vì trung điểm của một tứ giác lồi là các đỉnh của một khung song song nên các đường trung bình của nó (các đoạn màu đỏ trong hình) được chia đôi tại giao điểm. Áp dụng thông điệp này cho các tứ giác đã tạo thành, chúng ta thu được tuyên bố tương tự cho các đường trung bình của chúng, v.v., sao cho mỗi đoạn nối các điểm phân chia ở các cạnh đối diện của một tứ giác lồi nhất định sẽ được chia thành tám phần bằng nhau.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét “ô đôi” của phân vùng (kích thước $2 \times 2$; các đường chéo của nó được đánh dấu bằng màu xanh lục trong hình). Rõ ràng là tổng diện tích của các trường màu xanh và trắng của ô nhân đôi này bằng nhau (diện tích của các tam giác màu xanh và trắng tương ứng có một đỉnh chung và các đáy bằng nhau theo cặp là như nhau). Tuyên bố bài toán xuất phát từ nhận xét này.

V. Proizvolov

M627. Mỗi ô của một tờ giấy ca rô vô hạn chứa một số tự nhiên.

a) Cho mỗi số đó xuất hiện đúng một lần. (Cho ví dụ về cách sắp xếp các số như vậy!) Chứng minh rằng với m bất kỳ đều có hai ô lân cận (có chung một cạnh), hiệu của các số trong đó không nhỏ hơn m.

b) Cho mỗi số n ∈ N xuất hiện đúng n lần (nghĩa là 1 - một lần, 2 - hai lần, v.v.). Hãy chỉ ra số k lớn nhất sao cho chắc chắn có hai ô lân cận mà hiệu số k không nhỏ hơn k. (Cho ví dụ

29

1. Có thể sắp xếp các số trong các ô của một tờ giấy ca rô vô hạn sao cho chênh lệch giữa các số ở các ô lân cận không vượt quá 1, nếu mỗi số $n \in \mathbb{N}$ xảy ra $n^2$ lần? Và $(n+100)$ lần?

2. Chia không gian thành các ô lập phương, đặt trong mỗi ô một số tự nhiên sao cho mỗi số $n \in \mathbb{N}$ xuất hiện đúng $n$ lần. đáp số sẽ là gì đối với một câu hỏi tương tự như câu hỏi bài toán M627?

A. Tolpygo

F631. Một dây xoắn ốc nối với mạng lưới thành phố được tích điện. Một nửa hình xoắn ốc bắt đầu nguội đi (ví dụ, bởi một khối nước). Điều này ảnh hưởng thế nào đến số lượng bê con được nhìn thấy bởi nửa hình xoắn ốc này? nửa còn lại? Có phải mọi thứ đều là một vòng xoắn ốc?

Chúng ta hãy biểu thị điện trở của mỗi nửa vòng xoắn ốc trước khi bắt đầu nguội là $R$. Vì điện trở của kim loại phụ thuộc vào nhiệt độ (tăng khi nóng lên và giảm khi nguội) nên việc làm lạnh một nửa của hình xoắn ốc dẫn đến điện trở của nửa này giảm xuống một giá trị nhất định $R_1 < R$. Vì điện áp nguồn $U$ không thay đổi nên điều này sẽ làm tăng dòng điện trong mạch và do đó làm nóng thêm nửa còn lại của cuộn dây. Điện trở của nửa này sẽ tăng lên và bằng $R_2 > R$.

Giá trị hiện tại mới trong mạch $I = \frac{U}{R_1 + R_2}$ sẽ lớn hơn giá trị trước đó $I_0 = \frac{U}{2R}$. Thật vậy, giả sử rằng $I \leq I_0$. Khi đó điện trở của nửa xoắn ốc không được làm mát vẫn giữ nguyên hoặc giảm ($R_2 \leq R$) và điện trở của nửa xoắn ốc được làm mát $R_1 < R$. Do đó, tổng điện trở là $R_1 + R_2 < 2R$ và giá trị hiện tại mới là $I > I_0$, điều này mâu thuẫn với giả định của chúng tôi.

Vì vậy, $I > I_0$, và do đó công suất được giải phóng trong toàn bộ chuỗi (tức là số lượng bê trên một đơn vị thời gian) $P = IU$ sẽ tăng lên.

Vì $I > I_0$ và $R_2 > R$, lượng bắp chân $P_2 = I^2R_2$ được phân bổ cho nửa không được làm mát cũng sẽ tăng lên.

Ngược lại, công suất $P_1 = I^2R_1 = \frac{U^2R_1}{(R_1 + R_2)^2}$ giải phóng ở nửa đã nguội sẽ giảm so với công suất ban đầu $P_0 = I^2R = \frac{U^2}{4R}$. Hãy thể hiện nó.

Hãy tìm tỉ số $P_0/P_1$:

$$\frac{P_0}{P_1} = \frac{U^2}{4R} : \frac{U^2R_1}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R}$$

Rõ ràng là

$$\frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R} > \frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R}$$

và biểu thức cuối cùng lớn hơn hoặc bằng 1, vì trung bình hình học của hai đại lượng $(\sqrt{R_1R_2})$ không vượt quá trung bình số học của chúng $(\frac{R_1 + R_2}{2})$.

Do đó, thực sự $P_1 < P_0$, tức là công suất giải phóng ở nửa xoắn ốc đã nguội sẽ giảm.

B. Bukhovtsev

31

$$R = \frac{X_C}{\sqrt{4n^2 - 1}} = \frac{1}{\omega C \sqrt{4n^2 - 1}} = \frac{\omega L}{\sqrt{4n^2 - 1}}.$$

Điện trở ở phần không phân nhánh của mạch chỉ ảnh hưởng đến giá trị điện áp ở các cực của mạch. Nếu lấy ba đèn tích lũy giống hệt nhau làm điện trở thì đèn ở phần không phân nhánh của mạch có thể tối khi các đèn trong nhánh được tích lũy đầy đủ (với $n$ đủ lớn).

G. Savkun

F634. Thanh AB có chiều dài $l$ và khối lượng $m$ tựa vào tường bằng đầu dưới và được giữ ở vị trí nghiêng nhờ sự trợ giúp của một sợi chỉ (xem hình). Sợi chỉ được buộc vào tường tại điểm $C$ và vào thanh tại điểm $D$ sao cho $|AD| = \frac{1}{3}|AB|$. Các mặt cười tạo bởi sợi dây và thanh với tường lần lượt bằng a và β. Tìm các giá trị có thể có của hệ số ma sát giữa thanh và tường.

Ba lực tác dụng lên thanh: lực căng chỉ $\vec{T}$, lực căng $m\vec{g}$ và phản lực từ tường $\vec{R} = \vec{N} + \vec{F}_{\tau}$ ($\vec{N}$ là phản lực bình thường, $|F_{\tau}| \leq \mu |\vec{N}|$ là lực ma sát). Ở trạng thái cân bằng của thanh, tổng mô men của các lực này đối với một điểm bất kỳ bằng không. Để thỏa mãn điều kiện, các đường tác dụng của lực $\vec{R}$ phải đi qua điểm giao nhau của tác dụng tuyến tính của lực $\vec{T}$ và $m\vec{g}$ (mômen của lực $\vec{T}$ và $m\vec{g}$ đối với điểm này bằng 0).

Tùy thuộc vào sự tương ứng giữa α và β, giao điểm của lực tuyến tính $\vec{T}$ và $m\vec{g}$ có thể nằm: a) phía trên đường vuông góc $AM_0$ với tường (điểm $M_1$ trong hình), b) bên dưới đường vuông góc này (điểm $M_2$), c) trên nó (điểm $M_0$). Lực ma sát tương ứng hướng dọc theo AC lên ($\vec{F}_a$) hoặc dọc theo AC xuống ($\vec{F}_b$) hoặc bằng 0. Chúng ta hãy xem xét từng trường hợp riêng biệt a) Điều kiện cân bằng của thanh:

$$T \cos \alpha + F_a - mg = 0, \quad N - T \cos \alpha = 0$$

(1)—tổng hình chiếu của tất cả các lực lên trục $Y$ và $X$ tương ứng bằng 0;

$$d_1 mg = d_2 T,$$ hoặc $$\frac{mg l}{2} \sin \beta = \frac{Tl}{3} \sin (\alpha + \beta)$$

(2) (xem hình). Từ (1) và (2) ta có

$$\mu_a \geq \frac{F_a}{N} = \frac{2}{3} \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} - \frac{1}{tg \alpha} = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{tg \beta} - \frac{1}{tg \alpha} \right).$$

(Trường hợp a) được thực hiện với điều kiện $2tg \alpha > tg \beta$.) b) Viết các điều kiện cân bằng, ta tìm được:

$$\mu_6 \geq \frac{1}{3} \left( \frac{1}{tg \alpha} - \frac{2}{tg \beta} \right).$$

(Trong trường hợp này, điều kiện $tg \beta > 2tg \alpha$ tương ứng.) Trong trường hợp này, thanh ở trạng thái cân bằng với bất kỳ giá trị nào của $\mu_b (2tg \alpha = tg \beta)$.

Như vậy, với sự tương ứng tùy ý giữa các góc α và β, thanh ở trạng thái cân bằng tại

$$\mu \geq \frac{1}{3} \left| \frac{1}{tg \alpha} - \frac{2}{tg \beta} \right|.$$

K. Sereev

F635. Hai cân tự động giống hệt nhau $m = 10^3$ ke di chuyển lên cùng một con đường núi. Sự phụ thuộc của độ cao h của đường vào khoảng cách x đến điểm bắt đầu dốc được thể hiện trên hình vẽ. Mỗi tự động hóa sẽ phát triển sức mạnh không đổi $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản 支配a ở phần II.

Trong thời gian t, trong đó xe thứ nhất tự động ở đoạn II, xe thứ hai vẫn ở đoạn I, xe thứ hai tự động ở đoạn l và xe thứ nhất chạy quãng đường ngắn l’ < l. Rõ ràng khoảng cách l’ giữa các số tự động sẽ nằm ở phần II.

32

Trên đoạn đường nằm ngang, khoảng cách giữa các máy là 100 m. Khoảng cách tối thiểu giữa các máy khi chúng di chuyển là bao nhiêu?

Hãy tìm vận tốc của đoạn tự động I và II. Trong phần I, công việc chỉ được thực hiện để chống chói mắt. Trong phần này, cân bằng năng lượng có thể được viết như sau:

$$P = |\vec{F}_1| |\vec{v}_1| = \alpha |\vec{v}_1|^3.$$

(1)

Trong phần II, công việc chống chói được bổ sung:

$$P = |\vec{F}_2| |\vec{v}_2| + m |\vec{g}| \frac{h_2}{S_2/|\vec{v}_2|} = \alpha |\vec{v}_2|^3 + m |\vec{g}| |\vec{v}_2| \frac{h_2}{S_2}.$$

(2)

Độ dốc $h_2/S_2$ được xác định từ đồ thị: $h_2/S_2 = \frac{4}{30}$.

Từ phương trình (1) $|\vec{v}_1| \approx 20,5$ m/s được tìm thấy. Vì vậy, $\tau = \frac{l}{|\vec{v}_1|} \approx 4,9$ trang. Từ phương trình (2) chúng ta tìm thấy $|\vec{v}_2| = 8,5$ m/s. Trong thời gian t, ô tô thứ nhất sẽ đi được quãng đường $l' = |\vec{v}_2| \tau = 41,6$ m. Đây là khoảng cách tối thiểu giữa máy tự động.

Chúng tôi khuyên bạn nên phân tích độc lập chuyển động của máy khi di chuyển từ phần ngang I sang phần II và đảm bảo rằng khi tính đến tính chất trơn tru của tốc độ thay đổi từ giá trị $|\vec{v}_1|$ sang giá trị $|\vec{v}_2|$ không thay đổi đáp số bài toán.

V. Belonuchkin

F636. Một bình hình trụ được đóng kín bằng một pít-tông không trọng lượng có tiết diện S chứa khí ở áp suất khí quyển $p_0$. Thể tích của khí bằng $V_0$. Tàu sẽ điều chỉnh thể b (mật độ $\rho_0$) như hình. Tìm sự phụ thuộc của khoảng cách x giữa piston và mặt nước vào mô đun F của lực giữ sợi dây gắn với piston.

F637. Trong cuộn dây siêu dẫn có độ tự cảm $L_1$ và $L_2$, mắc song song, một dòng điện được kích thích. Độ tự cảm $L_1$ của một trong các cuộn dây giảm về 0. Cường độ dòng điện trong mạch và năng lượng của hệ thay đổi bao nhiêu lần?

Ta viết phương trình trạng thái của khí trong xi lanh (định luật Boyle-Mariotte) khi piston ở độ sâu x nhất định dưới nước:

$$p_0 V_0 = p V = ph S,$$

(1)

trong đó p là áp suất trong xi lanh và h là khoảng cách từ đáy xi lanh đến piston. Điều kiện cân bằng của piston ở độ sâu x là

$$p S + F = (p_0 + \rho_0 g x) S.$$

(2)

Trạng thái cân bằng của hình trụ là

$$p S = [p_0 + \rho_0 g (x - h)] S + Mg,$$

(3)

trong đó M là khối lượng của hình trụ.

Giải các phương trình (1), (2), (3), ta thu được:

$$x = \frac{p_0 V_0 \rho_0 g S + Mg F + F^2 - p_0 SF - p_0 SMg}{\rho_0 g S (F + Mg)},$$

(4)

hoặc, nếu hình trụ không có trọng lượng,

$$x = \frac{p_0 V_0 \rho_0 g S + F^2 - p_0 SF}{\rho_0 g SF}.$$

(5)

Mối quan hệ (4) và (5) chỉ có giá trị rất hiếm khi hình trụ được ngâm hoàn toàn trong nước.

V. Belonuchkin

Chúng ta sẽ giả sử rằng các cuộn dây được đặt cách nhau đủ xa và có thể bỏ qua hiện tượng cảm ứng lẫn nhau. Vì cuộn dây là siêu dẫn nên từ thông F tùy ý trong chúng không đổi. Từ điều kiện này ta tìm được:

$$\Phi = L_1 I_0 + L_2 I_0 = L_2 I_{(1)}$$

(1)

• trong trường hợp các cuộn dây có hướng bằng nhau so với hướng của dòng điện trong mạch (Hình 1), và

$$\Phi = L_1 I_0 - L_2 I_0 = L_2 I_{(2)}$$

(2)

• khi các cuộn dây được định hướng khác nhau (Hình 2). Trong (1) và (2), $I_0$ là dòng điện ban đầu trong mạch, I là dòng điện ở cuối quá trình.

Năng lượng của hệ lúc bắt đầu quá trình bằng

$$E_0 = \frac{L_1 + L_2}{2} I_0^2.$$