Động lực kế sẽ hiển thị những gì?

43

O. Ovchinnikov

Đường kính sẽ cho thấy điều gì?

Máy đo đường kính nằm trên một bề mặt nằm ngang nhẵn. Một lực $F_1=5\text{H}$ tác dụng vào một đầu của máy đo đường kính và một lực $F_2=8\text{H}$ tác dụng vào đầu kia (Hình 1). Đường kính sẽ cho thấy điều gì?

Bài toán nội dung tương tự có thể được tìm thấy trong sách giải toán và sách giáo khoa vật lý. Đáp số, theo quy luật, được đưa ra như sau: đường kính sẽ hiển thị 5\text{H}. Điều này có thể được xác nhận bằng lý do sau đây. Nếu tác dụng lực bằng 5\text{H} vào cả hai đầu của đồng hồ đo đường kính thì đồng hồ đo đường kính hiển thị 5\text{H}. Nếu một trong các lực tăng thêm 3\text{H}, thì sự cân bằng bị xáo trộn và máy đo đường kính, hiển thị 5\text{H}, bắt đầu dao động theo hướng tác dụng của lực lớn hơn với gia tốc $a=(F_2-F_1)/m$, trong đó $m$ là khối lượng của máy đo đường kính.

Có vẻ như mọi thứ đều rõ ràng. Tuy nhiên…

Chúng ta hãy xem xét vấn đề này một cách chi tiết. Hãy bắt đầu với bài toán đơn giản này:

Một lò xo có độ cứng $k$ nằm trên một mặt bàn nằm ngang nhẵn. Một lực $F_0$ tác dụng vào một đầu của lò xo hướng

$$m_x = \frac{m_0}{l_0} x,$$

trong đó $m_0$ là khối lượng của lò xo, $l_0$ là chiều dài của lò xo ở trạng thái không dãn. Gia tốc mà tất cả các lò xo sẽ ​​bị tác dụng dưới tác dụng của lực $F_0$ bằng

$$a = \frac{F_0}{m_0}.$$

Đoạn lò xo mà chúng ta đang xem xét có chiều dài $x$ sẽ có cùng gia tốc. Phần này chịu tác dụng của một lực từ phần còn lại của lò xo bằng khối lượng của lò xo $F_x$, phát sinh trong dòng chảy cách đầu tự do của lò xo một khoảng $x$. Do đó, giá trị của lực lò xo $F_x$ bằng

$$F_x = m_x a = \frac{F_0 x}{l_0}.$$

Chúng tôi đã có một kết quả thú vị. Thứ nhất, lực lò xo phát sinh trong trường hợp này bằng tọa độ của nó với một lò xo không giãn, hoặc chiều dài của đoạn bị cắt bởi đoạn này. Thứ hai, giá trị của lực này không phụ thuộc vào khối lượng của lò xo. Khối lượng lò xo có thể lấy các giá trị khác 0. Trong trường hợp $m_0=0$ gia tốc mà lò xo thu được sẽ tiến tới vô cùng.

Sự thống nhất thu được của lò xo, lực lò xo, tỷ lệ thuận với sự thống nhất này: $F=k\Delta l$, trong đó $k$ là độ cứng của lò xo. Tuy nhiên, chỉ có thể tính số đọc đường kính bằng công thức này khi ở bất kỳ phần nào của lò xo

44

cùng một lực đàn hồi phát sinh. Đây chính xác là tình huống xảy ra trong trường hợp các lực có độ lớn bằng nhau tác dụng lên cả hai đầu của điểm đến (ví dụ: khi một lực $F$ tác dụng lên một đầu của điểm đến và đầu kia được cố định).

Trong trường hợp chuyển động có gia tốc của chúng ta, lực đàn hồi đến ở các phần khác nhau của các điểm tới là khác nhau. Điều này có nghĩa là độ giãn dài của các phần riêng lẻ và các phần đến, do đó phát sinh lực đàn hồi tương ứng, là khác nhau.

Để tính toán sự mở rộng của tất cả các lượt đến, lý do sau đây được sử dụng. Chúng tôi sẽ chia thu nhập chưa phân phối thành $N$ phần bằng nhau. Chúng ta hãy xem xét một phần của giáo xứ được tách ra khỏi đầu tự do $i$ của nó theo từng mảnh (Hình 3). Lực $T_i$ mà vùng được chọn tác dụng lên các mảnh $i$ này có khối lượng $\frac{m_0}{N} i$ truyền cho chúng một gia tốc $a = F_0/m_0$; kể từ đây,

$$T_i = \frac{i}{N} m_0 a = \frac{i}{N} F_0.$$

Lực lượng tuyệt đối tương tự tác động lên khu vực đã chọn của giáo xứ. Cho lực $T_{i+1}$ tác dụng lên phần này từ bên phải. Sau đó

$$T_{i+1} - T_i = m_i a = \frac{F_0}{N}.$$

Khi $N$ tăng, giá trị $F_0/N$ giảm và với $N$ đủ lớn, chúng ta có thể giả sử rằng $T_{i+1} - T_i \approx 0$, tức là $T_{i+1} \approx T_i = \frac{i}{N} F_0$. Nói cách khác, với $N$ lớn chúng ta có thể giả sử rằng

$$T_i = \frac{F_1 - F_2}{N} i + F_2 = kN \cdot \Delta l_i.$$

Phần mở rộng của một phần như vậy bằng

$$\Delta l_i = \frac{(F_1 - F_2)i + F_2N}{kN^2}.$$

Vì vậy, việc mở rộng tất cả những điều sắp tới

45

vợ bằng

$$\Delta l = \sum_{i=1}^{N} \Delta l_i = \frac{1}{kN^2} \sum_{i=1}^{N} (F_1 - F_2) i + F_2 N =$$

$$= \frac{F_2}{kN} + \frac{F_1 - F_2}{kN^2} \sum_{i=1}^{N} i = \frac{F_1 - F_2}{2k}$$

(vì $N$ vẫn rất lớn).

Bây giờ chúng ta sẽ chuyển từ một lò xo đơn giản sang một thước đo đường kính. Chúng ta hãy nhớ một máy đo đường kính trường học đơn giản là gì. Đây là một lò xo có thể tháo rời có tiếng kêu, được gắn vào thân bằng một cái cân gắn vào nó (Hình 5). Vì vậy, các điều kiện của bài toán đầu tiên của chúng ta có thể được xây dựng như sau:

Máy đo đường kính nằm trên bề mặt ngang chính. Một lực $F_1$ tác dụng lên cơ thể nó và một lực $F_2$ tác dụng lên lò xo (đối với tiếng hét). Đường kính sẽ cho thấy điều gì?

Để biểu thị số chỉ của đồng hồ đo đường kính, chúng ta hãy tưởng tượng nó dưới dạng một hệ thống như trong Hình 6. Hình lập phương bên trái là thân của đồng hồ đo đường kính; khối lượng của nó là $m_1$. Lò xo bên phải là lò xo có đường kính; khối lượng của nó là $m_2$. Viết phương trình chuyển động của vật và lò xo:

$$T - F_1 = m_1 a,$$

$$F_2 - T = m_2 a,$$

trong đó $a$ là gia tốc mà máy đo đường kính di chuyển.

Từ các phương trình này người ta tìm thấy

$$T = F_2 - \frac{(F_2 - F_1) m_2}{m_1 + m_2}.$$

Hai lực tác dụng lên đường kính ngoài của đường kính - $F_2$ và $T$, với $T < F_2$. Và độ giãn của lò xo trong trường hợp này, như chúng tôi đã tìm ra, bằng $\Delta l = \frac{T + F_2}{2k}$. Thay thế giá trị tìm được $T$, ta được

$$\Delta l = \frac{F_2}{k} - \frac{(F_2 - F_1) m_2}{2k(m_1 + m_2)}.$$

Từ biểu thức này, rõ ràng rằng tại $m_2 = 0$ (nghĩa là, trong trường hợp khối lượng của lò xo có thể bỏ qua) độ dãn của lò xo bằng $\Delta l = F_2/k$.

Vì vậy, kết quả thảo luận của chúng tôi như sau: độ giãn của lò xo, và do đó số chỉ của máy đo đường kính, không chỉ phụ thuộc vào độ lớn của lực tác dụng lên vật và lò xo mà còn phụ thuộc vào khối lượng của vật và đường kính của lò xo. Điều đó là không đủ. Dấu hiệu phụ thuộc vào lực $F_1$ và $F_2$ được tác dụng (vào vật hoặc vào lò xo). Nếu chúng ta đặt lực bài toán $F_1$ và $F_2$ vào các vị trí đang xét thì số đọc sẽ thay đổi. (Hãy tự kiểm tra xem đây có thực sự là trường hợp không.)

Chúng tôi đi đến kết luận rằng bài toán, được hình thành ở phần đầu của bài báo, không thể giải được một cách chặt chẽ cho đến khi xác định được khối lượng của vật và đường kính của lò xo. Và đáp số mà chúng tôi đưa ra ngay từ đầu là không chính xác. Để xác minh điều này một lần nữa, hãy quyết định bài toán sử dụng dữ liệu thực tế điển hình của máy đo đường kính trường học mà bạn quen thuộc.

Danh sách độc giả đã gửi lời giải bài toán đã sửa từ Sách Vấn đề “Kvat”

(Để bắt đầu, xem trang 35)

(Kirovakan) 27; A. Melnik (Zhytomyr) 27; E. Melnitsuk (Chernivtsi) 25, 27; O. Merkulov (Murom) 25; S. Milovanov (Zaporozhye) 23, 25, 27; A. Mitko (Gomel) 31; S. Mikhailovsky (làng Kontsogye, vùng Arkhangelsk) 19, 23, 28; M. Moilsky (Zaporozhye) 18, 21; P. Mutalev (Jizzakh) 25; M. Naylovzin (Baku) 18, 19, 23, 27, 28, 31; A. Nayden (Berlin, CHDC Đức) 23; A. Nikolaev (Cheboksary) 25; A. Nozin (Minsk) 18, 21, 23; S. Obocheuv (Leningrad) 25, 27, 31; A. Ospinov (Sosnovy Bor) 25, 29, 31, 32; I. Osovyak (làng V. Dederkaly, vùng Terpopol) 23; Yu. Ostapuk (Zdolnov) 31; Yu. Pavlov (Leningrad) 18, 23, 27; A. Pavlove (Riga) 19, 25, 27, 28,

31; D. Pastukhov (Chelyabinsk) 18; S. Pashenko (Kyiv) 18, 19, 21, 23, 25, 27, 28; A. Pelekh (Kazatyn) 18, 21, 23, 25, 27, 28; V. Penteov (Kyiv) 19—23, 28, 31; V. Petrov (Sverdlovsk) 27; I. Pikovsky (Kyiv) 19, 21; S. Pshenin (Chernivtsi) 28, 31; S. Pogorlov (Kyiv) 27; G. Pode (Voroshilograd) 27; G. Podchurski (Balti) 31; A. Polissky (Kyiv) 18, 21; E. Polykov (Kalinerrad, khu vực Moscow) 18; A. Ponomarenko (Kyiv) 18, 21, 23; A. Posmetoko (Minsk) 25; V. Potyltsin (p/o Savinskoye, vùng Arkhangelsk) 25, 27; O. Potyltsina (Zhukovsky) 25, 27; V. Prililko (Kyiv) 28; K. Protasov (Moscow) 27; O. Raitsev (Kyiv) 23, 25, 27; I. Reshetov (Melitopol) 27; G. Rozikyan (Yerevan) 23; E. Rozman (Kyiv) 25, 31; I. Salakhov (Tashkent) 18; A. Salanov (Novopolyuk) 18, 25, 31; Yu. Samokhin (Moscow) 25, 27;

(Cuối cùng xem trang 50)