Что же покажет динамометр?

Квант 1981, №3 с. 43-45 Тег 0XVC

О. Овчинников

Что же показет диамометр?

На гладкой горизонтальной поверхности лежит диамометр. К одному концу диамометра прикладывают силу $F_1=5\text{H}$ , к другому — силу $F_2=8\text{H}$ (рис. 1). Что показет диамометр?

Задачи подобного содержания можно встретить в задачниках и учебных пособиях по физике. Ответ, как правило, приводится такой: диамометр будет показывать 5\text{H}. Подтвердить это можно следующим рассуждением. Если к обомим концам диамометра прикладывают силы, равные 5\text{H}, то диамометр показывает 5\text{H}. Если же одну из сил уvelличить на 3\text{H}, то равновесие нарушится, и диамометр, показвая 5\text{H}, начинает дивятся в направлении действия большей силы с ускорением $a=(F_2-F_1)/m$ , где $m$ — масса диамометра.

Казалось бы, все очевидно. Однако…

Давайте разберемся в этом вопросе детально. Начнем с такой простой задачи:

на гладком горизонтальном столе лежит пружина с жесткостью $k$ . К одному из концов пружины прикладывают силу $F_0$ , направленную

$m_x = \frac{m_0}{l_0} x,$

где $m_0$ — масса пружины, $l_0$ — длина пружины в нерастянутом состоянии. Ускорение, с которой будет дивятся все пружина под действием силы $F_0$ , равно

$a = \frac{F_0}{m_0}.$

С таким же ускорением будет дивятся рассматриваемый нами участок пружины длиной $x$ . На этот участок со стороны остальной части пружины действует сила, равная массу пружости $F_x$ , возникающей в течение на расстоянии $x$ от свободного конца пружины. Следовательно, значение силы пружости $F_x$ равно

$F_x = m_x a = \frac{F_0 x}{l_0}.$

Мы получили интересный результат. Во-первых, сила пружости, возникающая в данном случае приравненная его координате при нерастянутой пружине, или длине участка, отсекаемого этим сечением. Во-вторых, значение этой силы не зависит от массы пружины. Масса пружины может принимать значения, отличные от нуля. В случае $m_0=0$ ускорение, прибретаемое пружиной, обращается в бесконечность.

Возникающая всестrene удининия пружины силы пружости пропорциональна этому удиниению: $F=k\Delta l$ , где $k$ — жесткость пружины. Однако рассчитывать показания диамометра по этой формуле можно лишь тогда, когда в любом сечении пружины

возникает одна и та же сила упругости. Именно такая ситуация осуществляется в том случае, когда на оба конца приходы действуют одинаковые по абсолотной величины силы (например, когда к одному концу приходы приходы приложена сила $F$ , а другой конец закреплен).

В нашем случае приускореном движении приходы силы упругости, возникающие в различных сеченях приходы, различны. Это означает, что удилиния отдельных участков приходы, вседствие которых и возникают соответствующие силы упругости, различны.

Для расчета удилиния всея приходы восползуется следующими рассуждениями. Мы следенно разделим нераспределную приходную на $N$ одинаковых частей. Расмотрим кусочек приходы, отделенный от свободного ее конца $i$ кусочками (рис. 3). Сила $T_i$ , с которой выделенный участок приходы действует на эти $i$ кусочков с массой $\frac{m_0}{N} i$ , сообщает им ускорение $a = F_0/m_0$ ; следовательно,

$T_i = \frac{i}{N} m_0 a = \frac{i}{N} F_0.$

Такая же по абсолотной велиние сила действует на выделенный участок приходы. Пусть справа на этот участок действует сила $T_{i+1}$ . Тогда

$T_{i+1} - T_i = m_i a = \frac{F_0}{N}.$

С ростом $N$ величины $F_0/N$ уменьшается, и при достаточно больших $N$ можно считать, что $T_{i+1} - T_i \approx 0$ , то есть $T_{i+1} \approx T_i = \frac{i}{N} F_0$ . Иными словами, при большом $N$ можно считать,

$T_i = \frac{F_1 - F_2}{N} i + F_2 = kN \cdot \Delta l_i.$

Удилиние такого участка равно

$\Delta l_i = \frac{(F_1 - F_2)i + F_2N}{kN^2}.$

Следовательно, удилиние всея приходи

жины равно

$\Delta l = \sum_{i=1}^{N} \Delta l_i = \frac{1}{kN^2} \sum_{i=1}^{N} (F_1 - F_2) i + F_2 N =$

$= \frac{F_2}{kN} + \frac{F_1 - F_2}{kN^2} \sum_{i=1}^{N} i = \frac{F_1 - F_2}{2k}$

(поскольку по-прежнему $N$ очень велико).

Теперь мы перейдем от простой пружины к диамометру. Вспомним, что представляет собой простой школьный диамометр. Это ставная пружина с кричком, прикрепленная к корпусу с нанесенной на него шкалой (рис. 5). Так что условия нашей самой первой задачи можно формулировать так:

на главной горизонтальной поверхности лежит диамометр. К корпусу его прикладывают силу $F_1$ , а к пружине (к кричку) — силу $F_2$ . Что показет диамометр?

Чтоы представляют показания диамометра, представим его в виде такой системы, как на рисунке 6. Кубик слева — это корпус диамометра; его масса $m_1$ . Пружина справа — это пружина диамометра; ее масса $m_2$ . Запишем уравнения движения корпуса и пружины:

$T - F_1 = m_1 a,$

$F_2 - T = m_2 a,$

где $a$ — ускорение, с которой движется диамометр.

Из этих уравнений находится

$T = F_2 - \frac{(F_2 - F_1) m_2}{m_1 + m_2}.$

Наружную диамометра действуют две силы — $F_2$ и $T$ , причем $T < F_2$ . А удиленние пружины в таком случае, как мы выяснили, равно $\Delta l = \frac{T + F_2}{2k}$ . Подставив найденное значение $T$ , получим

$\Delta l = \frac{F_2}{k} - \frac{(F_2 - F_1) m_2}{2k(m_1 + m_2)}.$

Из этого выражения видно, что при $m_2 = 0$ (то есть в том случае, когда массой пружины можно пренебреть) удиленние пружины равно $\Delta l = F_2/k$ .

Итак, результат наших расчудений следующий: удиленние пружины, а следовательно, и показания диамометра зависит не только от величины сил, действующих на корпус и пружину, но и от массы корпуса и пружины диамометра. Мало этого. Показание зависит от того, к чему (к корпусу или к пружине) приложены силы $F_1$ и $F_2$ . Если помещать в рассмотрении нами задаче силы $F_1$ и $F_2$ местами, показание изменяется. (Проверьте сами, что это действительное так.)

Мы приходим к выводу, что задача, сформированная в начале статьи, не может быть решена строго до тех пор, пока не будут заданы массы корпуса и пружины диамометра. И ответ, приведенный нами в самом начале, не верен. Чтобы еще раз убедиться в этом, решите задачу, воспользоваться реальными данными, характерными для знакомого вам школьного диамометра.

Список читателей, приславших правленные решения задач из Задачника «Квата»

(Начало см. на с. 35)

(Кировакан) 27; А. Мельник (Житомир) 27; Е. Мельницук (Черновцы) 25, 27; О. Меркулов (Муром) 25; С. Милованов (Запорожье) 23, 25, 27; А. Митко (Гомель) 31; С. Михайловский (с. Концогье Архангельской обл.) 19, 23, 28; М. Моильский (Запорожье) 18, 21; П. Муталев (Джизак) 25; М. Найловзин (Баку) 18, 19, 23, 27, 28, 31; А. Найден (Берлин, ГДР) 23; А. Николаев (Чебоксары) 25; А. Нозин (Минск) 18, 21, 23; С. Обочеув (Ленинград) 25, 27, 31; А. Оспинов (Сосновый Бор) 25, 29, 31, 32; И. Осовяк (с. В. Дедеркалы Терпопольской обл.) 23; Ю. Остапук (Здольнов) 31; Ю. Павлов (Ленинград) 18, 23, 27; А. Павлове (Рига) 19, 25, 27, 28,

31; Д. Пастухов (Челябинск) 18; С. Пашенко (Киев) 18, 19, 21, 23, 25, 27, 28; А. Пелех (Казатин) 18, 21, 23, 25, 27, 28; В. Пентеов (Киев) 19—23, 28, 31; В. Петров (Свердловск) 27; И. Пиковский (Киев) 19, 21; С. Пшенин (Черновцы) 28, 31; С. Погорлов (Киев) 27; Г. Поде (Ворошилоград) 27; Г. Подчурский (Бельцы) 31; А. Полисский (Киев) 18, 21; Е. Поляков (Калининград Московской обл.) 18; А. Пономаренко (Киев) 18, 21, 23; А. Посметоко (Минск) 25; В. Потылцин (п/o Савинское Архангельской обл.) 25, 27; О. Потылцина (Жуковский) 25, 27; В. Прилилко (Киев) 28; К. Протасов (Москва) 27; О. Райцев (Киев) 23, 25, 27; И. Решетов (Мелитополь) 27; Г. Розикян (Ереван) 23; Е. Розман (Киев) 25, 31; И. Салахов (Ташкент) 18; А. Саланов (Новополюк) 18, 25, 31; Ю. Самохин (Москва) 25, 27;

(Окончание см. на с. 50)