Задачи наших читателей

15

Пока зиман нежота доставал из кармана бумажник, его окончательно расстроила завершающая эту историю реплика Адамса:
— Кстати, хотел бы я знать, как вы это докажете без инвариантов?
Опираясь на инвариант, описанный в статье О. Виро, дока-
Рис. 3. a) 6)
жем, что ameba в піджаке не может расцепить пальцы.
Проведем мысленно две замкнутые кривы: синюю — по піджаку вокруг правой руки (рукав) и красную, соединишую внутри amebы большие и указательные пальцы правой и левой рук (рис. 3,a). Этти две кривы образуют зацепление (рис. 3,б), изотопное изобравенному на рисунке 4,2 на с. 9. Если ameba смогла разнять руки, то она смогла бы снять піджак. Но это невозможно, поскольку зацепление рисунка 4,2 расцепить нельзя (см. упражнение 8 на с. 12).
О. В.

Задачи
наших читателей

1. a) Возьмем число 16. Между единцией и шестеркой вставим число 15 — получим число 1156. В середину этого числа снова вставим 15 — получим 111556 и т. д. Докажите, что все такие числа (вида 11…155…56) являются квадратами целых чисел.

6. То же про числа 4489, 444889, …, получащиеся из 49 вставкой в середину числа 48.

2. a) Между цифрами числа 961 вставили по n нулей. Докажите, что при любом n получится квадрат целого числа.

6. Найдите другие трехзначные числа, обладающие тем же свойствам.

3. a) Докажите, что дроби
   $$\frac{19}{95}, \frac{199}{995}, \frac{199}{995}, \dots, \frac{199}{995}$$

можно «сократить», «зачеркнуть» все девятки.
6) Есть ли еще дроби, допускающие подобное обращение?
Н. Суев

4. Обозначим через S(n) сумму цифр числа n. Докажите, что последовательность S(1979), S(1979²), S(1979³), … не ограничена.
   A. Келарев