Задачи М671—М675; Ф683—Ф687

24

Задачик
кванта

М671—М675; Ф683—Ф687

М671. Во вписанном четырехугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Доказите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длины всех сторон четырехугольника.

Р. Мазов

М672*. Пусть $a$ — натуральное число такое, что $2^a-2$ делится на $a$ (например, $a=3$). Определим последовательность $(x_n)$ условийми
$$x_1=a, x_{k+1}=2^{x_k}-1.$$
Доказите, что $2^{x_k}-2$ делится на $x_k$ при любом $k$.
Вальтер Яноус (Иисбрук, Австрия)

М673. На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы $A, B, C$. Хоккеист выбирает одну из них и будет по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.
a) Покажите, как после пяты ударов шайба $C$ может вернуть на свое место, а шайбы $A$ и $B$ поменять местами.
b) Могут ли все три шайбы $A, B, C$ вернуть на свои прежние места после 25 ударов?

А. Разборов

М674. На сторонах $BC, AC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ взяты точки $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно. Известно, что центр описанной около треугольника $ABC$ окружности совпадает с точкой пересечения высот треугольника $A_1B_1C_1$. Доказите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

Д. Изаак

М675. Системой разновесов называется совокупность натуральных чисел, из которых извлечь два различных набора с одинаковой суммой (например, числа 24, 23, 22, 20, 17, 11 образуют систему разновесов, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 8 — не образуют: $2+3+4=1+8$). Доказите, что из чисел, меньших 1000, можно выделить систему разновесов из: a) 10 чисел, b) 11 чисел.

25

в) Докажите, что 14 чисел из них выбрать нельзя.
г) Докажите, что если числа образуют систему разновесов, то сумма их обратных величины не превыходит 5/2.
д) Выберите из чисел, меньших 700, систему разновесов из 11 чисел.

Г. Гуревич, А. Колотов

Ф683. На рисунке 1 показаны источник $AB$ и его изображение $A'B'$, полученное в лице. Определить построением расположение линии и ее фокусное расстояние.

Ф684. Схема имеет $N$ входных зажимов, один выходной и один общий («земля»). На каждом из входных зажимов потенциально «земли» составляют от +50 до +200 В.

1. Нарисуйте варитан схемы, который обеспечит на выходном зажиме максимальный из приложенных ко входам потенциальов.
2. Нарисуйте другой варитан — обеспечивающий на выходном зажиме минимальный из приложенных потенциальов.
   Пострайте обойтись без применения дополнительных источников питания.

А. Зильберман

Ф685. Между стенкой и кубом массы $M=10$ кг летает на гладком столе упругий шарик массы $m=0,1$ г. Его скорость вначале, когда куб покоился, составляла $v_0=100$ м/c. Найти скорость куба в тот момент, когда он будет в 2 раза дальше от стенки, чем вначале.

Ф686. Tonкий обруч массы $M$ и радиуса $R$ поставлен на горизонтальном плоскость. По гладкому каналу, проходящему внутри обруча, сосkalзывает из верхней точки без начальной скорости небольшое тело массы $m$. Определить скорость центра обруча в тот момент, когда тело находится в точке обруча $A$, радиус-вектор которого образует угол ф с вертикально. В начальной момент обруч покоится. Треннее между обручем и плоскостью отсутствует.

С. Кротов

Ф687. Стальному шарику, находящемуся в точке $A$ основания $AB$ равноведренного прямогоного клина, сообщают скорость $v_0$ в направлении сторонны $AO$ (рис. 2). При каких значениях $v_0$ шарик из точки $A$ попадает в точку $B$? Длина ребра клина $l$.

Е. Рабкин, ученик 9 кл.

27

метрицы относительно $m$, то $S_l(P)$ и $S_l(P')$ будут симметрины относительно $m'$. Короче: $S_{m'} = S_l \circ S_m \circ S_l$.

Лемма 2. Если $l$ и $m$ — оси симметрины многоугольника $M$, пересекаются в точке $O$ и перpendикularные другие к другу, то прямая $n$, перpendикularная им обошим и проходящая точку $O$, также служит осью симметрины $M$.

Действительно, $S_n = S_m \circ S_l$. Это легко проверить, приявные прямые за оси координат, или построив прямогольный параллелепид с центром в точке $O$ и осями симметрины $l$, $m$, $n$ с произвольной вершиной $P$ (рис. 3).

Леммы 1 и 2 позволяют, приявные прямые за оси координат, или построив прямогольный параллелепид с центром в точке $O$ и осями симметрины $l$, $m$, $n$ с произвольной вершиной $P$ (рис. 3).

Возникает естественный вопрос: какое вообще (конечное) множество прямых может быть многогольным всех осей симметрины неокоторого многоугольника?

Различные примеры даются многогольным осей симметрины $n$-угольной правильной признамы (здесь колчечтою осей $p = n$ при $n$ нечетном и $p = n + 1$ при $n$ четном), тетраэдра (или прямогольного параллелепипеда с разными ребрами, $p = 3$), куба (или октаэдра, $p = 9$) и дodeкаэдра (или икосаэдра, $p = 15$). Попробуйте доказать, что других многогольств осей симметрины (состоящих более чем из одной прямой) не бывают.

Конечно, тут не обойтись без такой оцень полезной леммы, которое многогольне читателя применяли и в решении задачи 6).

Лемма 3. Оси симметрины любого многоугольника пересекаются в одной точке.

Предположим, что $l$, $m$ — непересекающая оси симметрины многоугольника $M$. Пусть $n$ — общий перpendикular $l$, $m$; расстояние прямогольную систему координат с началом в точке $O = l \cap n$, с осью $Oz$, направленной по лучу $OA$, где $A = n \cap m$; пусть $|OA| = a$. Тогда при симметрином относительной оси $l$ координата $z$ любой точки переходит в $(-z)$, а при симметрином относительной $m$ — в $(2a - z)$. Поэтому при композиции этих двух симметрий $z$ изменяется на $2a$. Повторяя эту композицию достаточно число раз, мы «выгоним» любую точку за пределы многоугольника $M$. Противоречие!

Вот еще более короткое доказательство леммы 3 (правда, использующое понятие, заимствованное из механики): пусть $O$ — центр масс одинаковых грузников, помещенных в вершинах многоугольника $M$; ясно, что при любом самосовмещении многоугольника $M$ грузники лишь меняются местами, поэтому точка $O$ переходит в себя; в частности, все оси симметрины $M$ проходят через точку $O$.

Н. Васильев, В. Сендеров, А. Сосинский

**M624. Найдите последовательность $(a_n)$, определяемую условием условия $a_1 = 1$,

$$1 + \sum_{d} (-1)^{n/d} a_d = 0,$$

еде сумма $\sum$ берется по всем делительям $d$ числа $n$ (включая $d = 1$ и $d = n$).

Например, если $n = p$ — простое число, то (*) принимает вид $1 + (-1)^{p/1} a_1 + (-1)^{p/p} a_p = 0$, откуда $a_p = 2$, если $p = 2$, и $a_p = 0$, если $p > 2$.

28

Приименя соответствие (*), определяющее последовательность $(a_n)$, получаем

$$1 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2m-1} - a_{2m} = 0,$$

откуда

$$a_{k+1} = a_{2m} = 1 + 1 + 2 + \ldots + 2^{m-1} = 2^m,$$

— утверждение в случае a) доказано.

6. $n = k + 1 \neq 2^m$.

Запишем $k+1$ в виде

$$k+1 = 2^r \cdot s,$$

где $2^r$ — максимальная степень двойки, на которой делится $k+1$, а $s$ — нечетное число, большее единицы.

Согласно предположению индекции делителями $d$ числа $k+1$ (отличными от $k+1$), для которых $a_d \neq 0$, является лишь числа 1, 2, $2^2$, …, $2^r$.

Из соответствия (*)

$$1 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2r-1} - a_{2r} - a_{k+1} = 0,$$

то есть

$$a_{k+1} = 1 + 1 + 2 + \ldots + 2^{r-1} - 2^r = 0,$$

— и утверждение (1) в случае 6) также доказано.

В. Абрамович

M626. Каждый сторона выпуклого четырехугольника разделена на 8 равных частей. Соответствие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Доказите, что сумма площадей сих клеток равна сумме площадей белых клеток.

Поскольку середины сторона выпуклого четырехугольника являются вершинами параллельрамма, его средние линии (красные отрезки на рисунке) в точке пересечения делятся пополам. Применяя это сообщение к образованным четырехугольникам, получим то же утверждение для их средних линии и т. д., так что каждый из отрезков, соединяющих точки деления на противоположных сторонах данного выпуклого четырехугольника, оказывается разбитым на восемь равных частей.

Рассмотрим теперь «удвоенную клетку» разбиения (размер $2 \times 2$; на рисунке в ней выделены зеленым цветом диагонали). То, что суммы площадей сних и белых полей этой удвоенной клетки равны, очевидно (площади соответствующих сних и белых треугольников с общей вершиной и попарно конгруэнтными основаниями одинаковы). Из этого замечания следует утверждение задачи.

В. Произвольов

M627. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число.

a) Пусть каждое из этих чисел встречаетсяровно один раз. (Приведите примеры такой расстановки чисел!) Доказите, что для любого заданного m найдется две соседние (имеющие общую сторону) клетки, разность чисел в которых не меньше m.

b) Пусть каждое число n ∈ N встречаетсяровно n раз (то есть 1 — один раз, 2 — два раза и т. д.). Укажите наиболее число k такое, что обязательно найдется две соседние клетки, разность чисел в которых не меньше k. (Приведите пример

29

1. Может ли расставить числа в клетках бесконечного листа клетчатой бумаги так, чтобы разности чисел, стоящих в соседних клетках, не превысили 1, если каждое число $n \in \mathbb{N}$ встречает $n^2$ раз? А $(n+100)$ раз?

2. Пусть пространство разбито на кубические ящики, и в каждой ящиек помещено натуральное число так, что каждое число $n \in \mathbb{N}$ встречаетровно $n$ раз. Каким будет ответ на вопрос, аналогичный вопросу задачи М627?

А. Толпыго

Ф631. Проволочная спираль, присоединенная к городской сети, наревается электрическим током. Половину спирали начинают охлаждать (например, водоей). Как это отражается на количестве телята, виделяемого этой половиной спирали? друго половиной? все спираль?

Обозначим сопротивление каждой половины спирали до начала охлаждения через $R$. Так как сопротивление металлов зависит от температуры (увеличивается при нагревании и уменьшается при охлаждения), охлаждение одной из половин спирали приводит к уменьшению сопротивления этой половины до некоторой величины $R_1 < R$. Поскольку напряжение сети $U$ неизменено, это вызовет увеличение тока в цепи и, следовательно, дополнительное нагревание другой половины спирали. Сопротивление этой половины увеличится истанет равным $R_2 > R$.

Новое значение силы тока в цепи $I = \frac{U}{R_1 + R_2}$ будет больше прежнего $I_0 = \frac{U}{2R}$. Действительно, предположим что $I \leq I_0$. Тогда сопротивление неохлаждаемой половины спирали остается прежним или уменьшится ($R_2 \leq R$), а сопротивление охлаждаемой половины $R_1 < R$. Следовательно, общее сопротивление $R_1 + R_2 < 2R$ и новое значение тока $I > I_0$, что противоречит нашему предположению.

Итак, $I > I_0$, и поэтому выделяемая во всей цепи мощность (то есть количество телята в единицу времени) $P = IU$ увеличится.

Так как $I > I_0$ и $R_2 > R$, количество телята $P_2 = I^2R_2$, выделяемое в неохлаждаемой половине, также увеличится.

Мощность $P_1 = I^2R_1 = \frac{U^2R_1}{(R_1 + R_2)^2}$, выделяемая в охлаждаемой половине, наоборот, уменьшится по сравнению с начальной мощностью $P_0 = I^2R = \frac{U^2}{4R}$. Покажем это.

Найдем отношение $P_0/P_1$:

$$\frac{P_0}{P_1} = \frac{U^2}{4R} : \frac{U^2R_1}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R}$$

Очевидно, что

$$\frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R} > \frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R}$$

а посленее выражение больше или равно 1, так как среднее геометрическое двух величины $(\sqrt{R_1R_2})$ не превышает их среднего арифметического $(\frac{R_1 + R_2}{2})$.

Таким образом, действительно $P_1 < P_0$, то есть мощность, выделяемая в охлаждаемой половине спирали, уменьшится.

Б. Буховцев

31

$$R = \frac{X_C}{\sqrt{4n^2 - 1}} = \frac{1}{\omega C \sqrt{4n^2 - 1}} = \frac{\omega L}{\sqrt{4n^2 - 1}}.$$

Резистор в неразветвленной части цепи влияет только на величины напряжения на зажимах цепи. Если в качестве резисторов взяты три одинаковые лампы накапливания, то лампа в неразветвленной части цепи может быть темной при полном накапле ламп в ветях (при достаточно большом $n$).

Г. Савкун

Ф634. Стержень AB длиной $l$ и массой $m$ нижним концом опирается на стену и с помощью нити удерживается в наклонном положении (см. рисунок). Нить привязана к стене в точке $C$, а к стержню — в точке $D$ такой, что $|AD| = \frac{1}{3}|AB|$. Улыбь, составляемые нитью и стержнем со стеной, равны а и β соответственно. Наити возможные значения коэффициента трения между стержнем и стеной.

На стержень действуют три сили: сила $\vec{T}$ натяжения нити, сила тяжестеги $m\vec{g}$ и сила реакции со стороны стенки $\vec{R} = \vec{N} + \vec{F}_{\tau}$ ($\vec{N}$ — сила нормальной реакции, $|F_{\tau}| \leq \mu |\vec{N}|$ — сила трения). В состоянии равновесия стержня сумма моментов этих сил относительно любой точки равна нулю. Чтобы условие выполнялось, линии действия сили $\vec{R}$ должны проходит через точку пересечения линейной действия сили $\vec{T}$ и $m\vec{g}$ (моменты сили $\vec{T}$ и $m\vec{g}$ относительно этой точки равны нулю).

В зависимости от соответствия между α и β точка пересечения линейной действия сили $\vec{T}$ и $m\vec{g}$ может лежать: а) выше перpendикуляра $AM_0$ к стене (точка $M_1$ на рисунке), б) ниже этого перpendикуляра (точка $M_2$), в) на нем (точка $M_0$). Соответствие сили треня направлена либо вдоль AC вверх ($\vec{F}_a$), либо вдоль AC вниз ($\vec{F}_b$), либо равна нулю. Рассмотрим каждый из этих случаев отделно а) Условие равновесия стержня:

$$T \cos \alpha + F_a - mg = 0, \quad N - T \cos \alpha = 0$$

(1) — равенство нулю суммы проекций всех сил на оси $Y$ и $X$ соответственно;

$$d_1 mg = d_2 T,$$ или $$\frac{mg l}{2} \sin \beta = \frac{Tl}{3} \sin (\alpha + \beta)$$

(2) (см. рисунок). Из (1) и (2) имеем

$$\mu_a \geq \frac{F_a}{N} = \frac{2}{3} \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} - \frac{1}{tg \alpha} = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{tg \beta} - \frac{1}{tg \alpha} \right).$$

(Случай a) осуществляется при условии $2tg \alpha > tg \beta$.) б) Записав условия равновесия, найдем:

$$\mu_6 \geq \frac{1}{3} \left( \frac{1}{tg \alpha} - \frac{2}{tg \beta} \right).$$

(Этом случае соответствует условие $tg \beta > 2tg \alpha$.) в этом случае стержень находится в равновесии при любом значении $\mu_b (2tg \alpha = tg \beta)$.

Таким образом, при произвольном соответствии между углами α и β стержень находится в равновесии при

$$\mu \geq \frac{1}{3} \left| \frac{1}{tg \alpha} - \frac{2}{tg \beta} \right|.$$

К. Серееев

Ф635. Два одинаковых автоматics массой $m = 10^3$ ке движется вверх по одному и той же горной дороге. Зависимость высоты h дороги от расстояния x до начала подема показана на рисунке. Каждый автоматик развищет постоянную мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления движению мощность $P = 12$ кВт, а сила сопротивления支配а на участке II.

За время t, в течение которого первый автоматический по участку II, а второй — еще по участку I, второй автоматический по участке l, а первый — неокорое расстояние l’ < l. Очевидно, расстояние l’ между автоматическим будет на участке II.

32

ризонтальном участке дороги расстояние между автоматом равно 100 м. Каким бы минимальное расстояние между автоматом при их движении?

Найдем скорости автоматической участка I и II. На участке I работа совершается только против слепойления. На этом участке баланс энергии можно записать следующим образом:

$$P = |\vec{F}_1| |\vec{v}_1| = \alpha |\vec{v}_1|^3.$$

(1)

На участке II добавляется работа против слепойления:

$$P = |\vec{F}_2| |\vec{v}_2| + m |\vec{g}| \frac{h_2}{S_2/|\vec{v}_2|} = \alpha |\vec{v}_2|^3 + m |\vec{g}| |\vec{v}_2| \frac{h_2}{S_2}.$$

(2)

Наклон $h_2/S_2$ определяем из графика: $h_2/S_2 = \frac{4}{30}$.

Из уравнения (1) находится $|\vec{v}_1| \approx 20,5$ м/c. Следовательно, $\tau = \frac{l}{|\vec{v}_1|} \approx 4,9$ с. Из уравнения (2) находится $|\vec{v}_2| = 8,5$ м/c. За время т первый автоматиль пройдет расстояние $l' = |\vec{v}_2| \tau = 41,6$ м. Это и есть минимальное расстояние между автоматом.

Рекомендуем самостояльно проанализировать движение автоматей при переходе с горизонтального участка I на участок II и убедиться, что учет плавного характера изменения скорости от значения $|\vec{v}_1|$ до значения $|\vec{v}_2|$ не меняет ответа задачи.

В. Белонучкин

Ф636. Цилиндрический сосуд, закрытый неевесомим поршнем площадью сечения S, содержит газ под атмосферным давлением $p_0$. Объем газа при этом равен $V_0$. Сосуд порегулирует в-body (плотность $\rho_0$) так, как показано на рисунке. Найти зависимость расстояния x между поршнем и поверхостью воды от modуля F сили, удерживающей нить, которая прияззана к поршню.

Ф637. В сверхпроводящих катушках с индуктивности $L_1$ и $L_2$, включенных паралельно, возбужден ток. Индуктивность $L_1$ одной из катушек уменьшается до нуля. Во сколько раз изменяется при этом ток в цепи и энергия системы?

Запишем уравнение состояния газа в цилиндре (закон Бойля — Мариотта), когда поршень находится на некоторой глубине x под водой:

$$p_0 V_0 = p V = ph S,$$

(1)

где p — давление в цилиндре, a h — расстояние от дниша цилиндра до поршня. Условие равновесия поршня на глубине x —

$$p S + F = (p_0 + \rho_0 g x) S.$$

(2)

Условие равновесия цилиндра —

$$p S = [p_0 + \rho_0 g (x - h)] S + Mg,$$

(3)

где M — масса цилиндра.

Решая совместно уравнения (1), (2), (3), получим:

$$x = \frac{p_0 V_0 \rho_0 g S + Mg F + F^2 - p_0 SF - p_0 SMg}{\rho_0 g S (F + Mg)},$$

(4)

или, если цилиндр неевесом,

$$x = \frac{p_0 V_0 \rho_0 g S + F^2 - p_0 SF}{\rho_0 g SF}.$$

(5)

Соотношения (4) и (5) справедливы, оченьindo, лишь тогда, когда цилиндр полностью погружен в воду.

В. Белонучкин

Будем считать, что катушки разнесены достаточно далеко и взаимно индуктивно можно не учитывать. Так как катушки сверхпроводящие, магнитный поток Ф, произвольный их, остается постоянным. Из этого условия находится:

$$\Phi = L_1 I_0 + L_2 I_0 = L_2 I_{(1)}$$

(1)

— в случае, когда обмотки катушек одинаково ориентированы относительно направления тока в цепи (рис. 1), и

$$\Phi = L_1 I_0 - L_2 I_0 = L_2 I_{(2)}$$

(2)

— когда обмотки ориентированы по-разному (рис. 2). В (1) и (2) $I_0$-начальный ток в цепи, I — ток в конце процесса.

Энергия системы в начале процесса равна

$$E_0 = \frac{L_1 + L_2}{2} I_0^2.$$