Колебания

46

Колебания

С колебаниями мы стalkиваем повсюду. Это, например, колебания различных магнитков и струп музикальных инструментов, молекул газа в звуковой волне и молекул жидкости в морских волнах. Колебательные движения совершают atoms в твердых телах и электроны, входящие в состав atomов. Колебания электрического заряда и тока проискают в контурах радиоприемников и телевизоров. По таким же законам происходит изменение направления электрического поля и индуктивного поля в электромагнитной волне.

Самое удивительное, что все эти совершенное различные физические явления описывают одними и теми же математических уравнений, то есть подчиняются единим законом. Именно с такой позицией мы и рассмотрим ряд примеров простейших колебательных систем. Ограничимся рассмотренем только свободных колебаний, когда внешние воздействия на колебательную систему отсутствуют, параметры системы и условия, в которых совершаются колебания, so временем не изменяются.

Потерями энергии в колебательной системе будем пренебрегать, то есть будем полагать, что полная энергия системы остается постоянной. Это, конечно, идеализация, но, если потери энергии существенно меньше полной энергии системы, колебания реализой системы в течение достаточно длительного времени будет мало отличаться от колебаний идеализированной системы.

Задача 1. Груз массой m, находящаяся на главной горизонтальной поверхности, прикреплен к неподвижной стенке с помощью пружины жесткого к (рис. 1, a). Груз смещают от положения равновесия 00′ на величины A₀ и отпускают без начальной скорости. Найдите:

1. смечение груза от положения равновесия в зависимости от времени; 2) временную зависимость скорости груза; 3) зависимость от времени кинетической энергии груза и потенциальной энергии пружины; 4) среднюю (за период) кинетическую и среднюю потенциальную энергии данной системы.

2. Пусть в некоторый момент времени t груз находится в точке с координатой x (рис. 1, б). Запишем уравнение движения груза вдоль оси X. В этом направлении на груз действует только одна сила — сила упруости пружины $\vec{F}$, направлена к положению равновесия ($x=0$). Проекция этой силы $F=-kx$, поэтому уравнение движения груза имеет вид

Рис. 1.
Рис. 2.

47

$$ma = -kx,$$

(1)

где $a$ — проекция ускорения груза в данный момент времени. Учитывая, что ускорение — это вторая произвольная координаты по времени $(a = x'')$, перепишем уравнение (1) так:

$$x'' + \frac{k}{m} x = 0,$$

или, обозначив постоянный коэффициент $\frac{k}{m}$ через $\omega_0^2$, —

$$x'' + \omega_0^2 x = 0.$$

(2)

Полученное уравнение описывает гармоничное колебания груза, то есть колебания, при которых смешение груза от положения равновесия изменяется со временем по закону

$$x = x_m \cos (\omega t + \varphi_0).$$

(3)

Выражение (3) является решением уравнения (2). Здесь $x_m$ — амплитуда, $\omega$ — круговая частота, $(\omega t + \varphi_0)$ — фаза и $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний.

Чтобы найти круговую частоту, подставим решение (3) в уравнение (2):

$$-x_m \omega^2 \cos (\omega t + \varphi_0) + \omega_0^2 x_m \cos (\omega t + \varphi_0) = 0,$$

или

$$x_m \cos (\omega t + \varphi_0) \cdot (\omega_0^2 - \omega^2) = 0.$$

Это равенство справедливо для любого момент времени $t$, если $x_m = 0$ либо $\omega_0^2 - \omega^2 = 0$. Поскольку амплитуда колебаний не может быть равна нулю, остается

$$\omega_0^2 - \omega^2 = 0,$$ или $\omega = \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Мы получили очень важный результат: коэффициент при $x$ в уравнения (2) есть не что иное, как квадрат круговой частоты колебаний.

Теперь найдем амплитуду колебаний и начальную фазу. Для этого используем начальные условия: в момент времени $t = 0$ смешение $x = A_0$ и скорость, которая является первой произвольной координаты по времени, $v = x' = 0$. Из второго условия получим, что $\varphi_0 = 0$, а из первого — что $x_m = A_0$.

Таким образом, смешение груза со временем изменяется по закону

$$x = A_0 \cos \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

Рис. 3.

2. Скорость (точнее, ее проекция) является первой произвольной координаты по времени, поэтому зависит от времени будет такой:

$$v = -A_0 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

Графики $x = x(t)$ и $v = v(t)$ показаны на рисунке 2.

3. Кинетическая энергия груза в произвольный момент времени $t$ равна

$$E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{A_0^2 k}{2} \sin^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t,$$

а потенциальная энергия пружины —

$$E_\pi = \frac{kx^2}{2} = \frac{A_0^2 k}{2} \cos^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

На рисунке 3 изображены соответствующие графики.

4. Средние (за период) значения кинетической и потенциальной энергии равны соответствующим.

$$\overline{E_k} = \frac{A_0^2 k}{2} \sin^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t = \frac{A_0^2 k}{4}$$

и

$$\overline{E_\pi} = \frac{A_0^2 k}{2} \cos^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t = \frac{A_0^2 k}{4}$$

— средние значения $E_k$ и $E_\pi$ одинаковы. (Здесь было использовано то, что среднее за период значение квадрата синуса равно среднему значению квадрата косинуса и равно 1/2.)

Задание 2. Тонкий обручи радиусом $r$ катается без скольжения по внутренней поверхности цилиндра радиусом $R$, совершая малые колебания около положения равновесия (рис. 4). Найдите период этих колебаний.

48

Рис. 4.

Из решения предыдущего задачи ясно, что для нахождения частоты $\omega$ колебательной системы или перiodа $T(T=2\pi/\omega)$ достаточно составить уравнение движения и приведен его к виду (2). Тогда коэффициент при втором члене даст квадрат частоты.

Понятно, что в уравнения (2) роль смешения $x$ может играть любая другая физическая величины. Выберем в качестве такого угол $\varphi$, который прямая, соединяющая центр масс обруча и точку $O$, образует с вертикалью.

Для составления уравнения движения центра масс обруча воспользуемся энергетическими соображениями. В некоторых произвольный момент времени $t$ обруч обладает кинетической энергией $E_{\kappa1}$, связанной с движением центра масс по окружности радиусом $R-r$, кинетической энергией $E_{\kappa2}$ врашательного движения относительно центра масс и потенциальной энергией $E_{\pi}$ в поле тяжесте Земли. Пусть скорость центра масс обруча равна $v$; тогда кинетическая энергия $E_{\kappa1}=mv^2/2$ (м — масса обруча). Поскольку обруч тонкий, то есть все его масса сосредоточена в тонком колце, кинетическая энергия $E_{\kappa2}=mV^2/2$, где $V$ — линейная скорость врашательного движения обруча. При качении без прокалывания $V=v$, поэтому

$$E_{\kappa2}=\frac{mv^2}{2}=E_{\kappa1}.$$

За нулевой уровень потенциальной энергии выберем уровень центра масс обруча в положении устойчивого равновесия, тогда потенциальная энергия обруча в данной момент времени будет равна

$$E_{\pi}=mg((R-r)-(R-r)\cos \varphi)= =mg(R-r)(1-\cos \varphi)=\frac{mg(R-r)\varphi^2}{2}$$

Рис. 5.

(последнее приближенное равенство записано с учетом малости угла $\varphi$: $1-\cos \varphi=2\sin^2\varphi/2=\varphi^2/2$).

Полная энергия обруча

$$E_{\kappa1}+E_{\kappa2}+E_{\pi}=\frac{mv^2}{2}+\frac{mv^2}{2}+ \frac{mg(R-r)\varphi^2}{2}=mv^2+\frac{mg(R-r)\varphi^2}{2}$$

остается постоянной во времени. Учитывая связь между скоростью $v$ и угловой скоростью движения центра масс по окружности радиусом $R-r$, кинетическая энергия $E_{\kappa2}$ врашательного движения относительно центра масс и потенциальной энергия $E_{\pi}$ в поле тяжесте Земли. Пусть скорость центра масс обруча равна $v$; тогда кинетическая энергия $E_{\kappa2}=mV^2/2$, где $V$ — линейная скорость врашательного движения обруча. При качении без прокалывания $V=v$, поэтому

$$\varphi'(\varphi''+\frac{g}{2(R-r)}\varphi)=0.$$

Поскольку угловая скорость $\varphi'$ не равна нулю, справедливо равенство

$$\varphi''+\frac{g}{2(R-r)}\varphi=0.$$

Это и есть уравнение движения обруча. Следовательно, круговая часть $\omega=\sqrt{\frac{g}{2(R-r)}}$, а период колебаний

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{2(R-r)}{g}}.$$

Задча 3. В вертикальном цилиндрическом соусе с площадью сечения $S$ может перемещаться без треяя массивной поршень массой $M$ (рис. 5). Сосуд заполнен газом. В положении равновесия массой между поршнем и дном соуза равно $h$. Определите период малых колебаний, которые возникают при отклонении поршня

49

Рис. 6.
из положения равновесия. Атмосферное давление равно $p_0$, газ идеальный, температура газа постоянна.

Пусть в некоторый момент времени поршень сметился вниз на малую величину $x$. Уменьшение объема газа под поршнем будет равно $\Delta V = Sx$, что вызовет увеличение давления газа $\Delta p$. Найдем связь между $\Delta V$ и $\Delta p$. Поскольку процесс изготовления катушки, $pV = \text{const}$, а $\Delta(pV) = 0$. Следовательно, $V\Delta p + p\Delta V = 0$, или $\Delta p = -\frac{\Delta V}{V} p = -\frac{Sp}{V} x$.

При малых колбанях $\Delta V \ll V$ и $\Delta p \ll p$, поэтому

$$\Delta p = -\frac{(p_0 + Mg/S)}{h} x.$$

Запишем уравнение движения поршня:

$$Mx'' = \Delta p S,$$

или

$$x'' + \frac{p_0 S + Mg}{Mh} x = 0.$$

Отсюда найдем круговую частоту $\omega = \sqrt{\frac{p_0 S + Mg}{Mh}}$ и период колбания

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{Mh}{p_0 S + Mg}}.$$

Задча 4. Колбательный контур, состоящий из конденсатора емкостюю $C$ и катушки индуктивности $L$, подключен через ключи $K$ источнику с постоянной ЭДС $\delta$ и внутренним сопротивлением $r$ (рис. 6). Ключ замыкают, а после того как в цепи установится статuoарный режим, замыкают его. Найдезависимость напряжения на конденсаторе от времени после размыкания ключа. Омическим сопротивлением катушки претенбреть.

При замкнутом ключе в стационаром режиме через катушки течение на конденсаторе и, следовательно, заряд на нем равны нулю, поскольку на конденсаторе равно напряжение на катушки, а оно, при отсутствии активного сопротивления катушки, равно нулю.

После размыкания ключа в контур нанутся свободные колбаня. Пусть в некоторый момент времени заряд на конденсатор равен $q$, а напряжение на конденсатор равно $u$. Очевидно, что при этом напряжение на катушка тоже равно $u$. Будем считать напряжение на конденсаторе положительным, когда верхняя пластина заряжена положительно; за положительное направление тока выберем направление, указанное стрелкой на рисунке 6. При таком выборе знаков связи между зарядом $q$, напряжение $u$ и током $i$ будет такой: $i = -q'$, $q = Cu$, $u = Li'$.

Отсюда $i = -Cu'$, $u = -LCu''$, или

$$u'' + \frac{1}{LC} u = 0.$$

Мы опять получили уравнение, которое описывает гармоничное замыкание со временем напряжение $u$ на конденсаторе. Легко показать, что и ток $i$ в цепи, и заряд $q$ на конденсаторе изменяется по аналогичному заону. Убедитесь в этом самостояльно.

В обшем виде зависит напряжение от времени выглядит так:

$$u = U_M \cos (\omega t + \varphi_0).$$

Частота колбаней в данном случае равна

$$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}.$$

Амплитуду и начальную фазу можно найти из начальных условий: в момент времени $t = 0$ $u = 0$ и $i = \delta/r$. Нетрудно показать, что решение, удовлетворяющее таким начальным условиям, будет иметь вид

$$u = \frac{\delta}{r} \sqrt{\frac{L}{C}} \sin \sqrt{\frac{1}{LC}} t.$$

50

Рис. 7.

У пряжения

1. Твердый шарик, подвешенный на неевесомойружине, совершает гармоничическую колебания в вертикальном направлении с периодом $T_0$ и амплитудой $A$. Кажим станет период колебаний, если силу к шарику поднести массивную твердую горизонтальнуюплиту, с которой он будет периодическиупруго стalkиваться? Расстояние от положения равновесия шарика до плиты равно $A/2$, масса шарика мала по сравнению с массой плиты.

2. Через неподвижный блок в виде диска с массой $M$ и радиусом $R$ переброшена нить, на одном конце которого висит груз массой $m$, а другой конец через пружину с жесткостью $k$ закреплен (рис. 7). Найдите период малых колебаний груза относительно положения равновесия. Нить относительно блока не просакзывает. Указан и е. Используйте энергетический метод составления уравнения движения. Кинетическая энергия диска,

$$MR^2\omega^2/4.$$

3. В сообщащиеся сосуда с поперечными сечениями $S_1$ и $S_2$ (рис. 8) налита жидкость с плотностью $q$. Масса всей жидкости равна $M$. Пренебрегая поверхностью натяжением и вязкостью, определяйте период колебаний жидкости около положения равновесия.

4. В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и воздушного конденсатора, величающая тока меняется со временем по гармоничскому закону: $i = I_m \cos \omega t$. Когда ток в контуре оказывается равным нулю, в пространство между пластинами конденсатора быстро вводят диэлектрическую пластину с диэлектрической проницаемостью $e$. Время этого вешенного воздействия мало по сравнению с периодом колебаний в контуре. Найдите зависимость тока в контуре от времени после вешения пластины.

Список читателей, приславших правильные решения задач из Задачника «Квата»

(Начало см. на с. 35)

А. Санжур (Киев) 18—31; А. Сафонов (Барнаул) 18; С. Светлчиккий (Запорожье) 19, 21; Ю. Свистунов (Запорожье) 25; В. Семенов (Владимир) 23; А. Середа (Донецк) 25, 27, 31; О. Середа (Бердянск) 19; В. Середа (Львов) 23, 27; А. Сидоренков (Смоленск) 19, 21, 27—29, 31; В. Сидорин (Рутов) 19, 31; В. Симонов (Москва) 18, 25, 27, 28; А. Сокок (Талгар) 19, 21; О. Скопцов (Ангарск) 18, 19, 21; А. Смирнов (Курган) 21, 25, 27, 28, 31; И. Смоляренко (Минск) 23, 25, 28, 31; А. Сокол (п. Черноголовка Московской обл.) 18, 25, 28, 29, 31; И. Соловей (Донецк) 25, 27; В. Соловье (Рыбное) 23; С. Солoenko (Мелууз) 19; Ю. Спиридонов (Загорск) 25, 27, 28, 31; Д. Стенанов (Арзамас) 25, 29, 31; А. Стрелец (Киев) 18, 21; Д. Суворов (Свердловск) 28, 31; Т. Сурова (Ступино) 25, 27; Е. Сырчиева (Вышний Волочек) 18, 25; И. Тавин (Ковров) 21, 25, 27; С. Таковичкий (Жуковский) 18; Ю. Талденко (Сумы) 18, 19, 23, 25, 27, 31; В. Танасичук (Городенка) 23, 27; А. Терещенко (Киев) 25, 27—29; С. Тимофеев (Ноазовский р-н Донецкой обл.) 19; Ю. Топчев (Светлый) 21; В. Фабер (Баку) 23, 25, 29, 31; Н. Федин (Омск) 18, 19, 20, 23, 25, 27, 31; В. Федюкович (Киев) 18, 20, 21, 27—29, 31, 32; С. Федяков (Ефремов) 28; Н. Фесун (Киев) 21, 25, 27; А. Флеров (Рига) 18, 19, 27; О. Фонарев (Сумгант) 18, 25, 26; М. Фридман (Львов) 28, 31; А. Фролов (Тула) 20, 21, 28; С. Фролов (Москва) 25, 28, 29, 31; И. Харин (Сухуми) 23, 25, 27; И. Хасанов (Коканд) 25, 31; С. Хосид (Алма-Ата) 23, 25; А. Цеханский (п. Запрудня Московской обл.) 18, 23, 25, 27—29, 31; Ю. Цызданков (Дрожжановский р-н ТАССР) 19—21, 27—29, 31, 32; О. Черяков (Архангельск) 27; Е. Чулкин (с. Рябово УдАССР) 18, 19, 25, 26, 28; А. Чулков (п. Мучкапский Тамбовской обл.) 18—21, 27, 28, 31, 32; В. Шаповал (Винница) 18, 19, 23, 25, 27, 28; Ю. Шаповалов (Серпухов) 18, 23, 25, 27; А. Шапенко (Орск) 18, 19; С. Шарый (Новосибирск) 23; А. Шевченko (Артемовск Донецкой обл.) 19, 28, 29; М. Шевченko (Артемовск Донецкой обл.) 19, 28, 29; Л. Ящук (Ровно) 25.