О пользе нелепостей

Квант 1981, №3 с. 38-41 Тег IHKC

Ф. Бартенев, И. Никольская

О польце
нелепостей

Как-то раз мама с Катей ушли в гости, а Петя, предвкушая приятный вечер, полез на верхню полку за томиком увлекательнейших историй о Шерлоке Холмсе. Доставая книгу, он нечаянно смахнул с полки взочку, которая разбилсь вдребезги. Хорошее настроение Пети было несколько омачено, но, решив не расстраиваться заранее, он смел черепки в угол и уютно устроился с книгой на диване. Рядом примостился Дружок. Едва раскрыв книгу, Петя тотчас же позабил обо всем на свете и с головой погрузился в мир загадочных представлений, которые так ловко распутвал Шерлок Холмс с помощью своего детуктивного метода. К действительности его вернул возмущенный возглас Кати:

— Мама, смотри, Петка разбил взочку, которое я тебе подарила!

— А ты видела? — по привчке запросетовал Петя. — Докажки, что это я!

— Что же тут доказывать? — поожала плечами Катя. — Дома были только ты и Дружок. Допустим, что не ты разбил взочку; значит, ее разбил Дружок. Но не станешь же ты утверждать, что Дружок смог добраться до верхней полки. Это было бы нелоно: Дружок все-tаки собака, а не кошка. Значит, взочку разбил ты, больше некому.

— Да, — подумал Петя, — с ней не поспорись, логика — как у Шерлока Холмса; да и спорить нечего — взочку действительно разбил я. Пойду-ка к Мите, спрошу, что задано по математике.

У Мити он узнал, что по геометриим задали теорему Две прямы имеют не более одной общей точки, доказательство которого Мити уже разобрал и вычил.

— Рассказки, — попросил Петя (чтение учебника геометрии, которое они только начали изучать, казалось ему делом трудным и скучным).

— Пожалуйста, — согласился Мити. — Допустим, что утверждение теоремы неверно; тогда…

— Постой, постой, — первый его Петя, — дальше я сам расскажу. Если неверно, что две прямые имеют не более одной общей точки, значит они имеют более одной общей точки, то есть две или три, а может, и больше. Но тогда получится, что две точки соединяют две прямые. А этого не может быть — мы уже знаем, что через две точки проходит одна-единственная прямая. Значит, две прямые не могут иметь более одного общей точки, то есть общих точек у них не более одной.

— Ну, ты молодец, — удивился Митя. — Где это ты так насобачился?

— Именно насобачился, — засмеялся Петя. — Только что КатЬка таким же способом доказала, что взоочку разбил я, а не собака.

— Каким это способом? — занитересовался Митя. — В чем он состоит? И вообше, что общего между доказательством геометрической теоремы и следствием по делу о разбитой взоочке?

Петя немного растерялся, но только на секунду. Воодушевленный успехом и пожвалой другга, он стал думать всухх:

— В обонх случайх доказываюсь некоторое утверждение $P$ (в первом случае — Вашочку разбил Петя, во втором — Две прямые имеют не более одной общей точки);

— доказательство начиналось с того, что допускалась истинность не $P$ (отрицания предложения $P$ );

— допущение истинности не $P$ в обонх случайх привело к непослушисти (в первом — к тому, что собака может вскарабаться на верхнюю полку, а это противоречит нашим представлениям о способности и привыхках собак; во втором — к тому, что через две точки можно проведи две прямые, а это противоречит известной аксиome).

— Ну и что? — спросил Митя. — Почему же этим доказано $P$ ?

— А вот почему: раз допущение, что не $P$ истинно, привело к непослушисти, значит, не $P$ истинным быть не может. Но если не $P$ ложно, то $P$ истинно!

— Все правильно, — сказал Митя. — Если отрицание предложения $P$ ложно, то само предложение $P$ исслада.

тинино; помнишь, мы с только об этом говорили?*). Поэтому вместе того, чтобы доказывать истинность $P$ , можно доказывать ложность не $P$ , а уже отсюда делать вывод об истинности $P$ .

— Можно-то можно, — заметил Петя, — да нужно ли? Не проще ли идти прямым путем? Вот так, например, как мы с Катей в контрольной по алгебре-доказывании, что число 13 не является корнем уравнения $x^3-17x^2+119x-1000=0$ : подсчитали значение выражения в левой части уравнения при $x=13$ и убедились, что оно не равно 0.

— И не лень вам было умножать и складывать? — усмехнулся Митя. — Ведь стоило только предположить, что 13 — корень этого уравнения, как сразу получился бы непельный вывод: 1000 делится на 13 ( $13^3-17 \cdot 13^2+119 \cdot 13=1000$ ). Следовательно, 13 — не корень данного уравнения.

— И что же, — осведомился Петя, — такой путь доказательства всегда короче прямого?

— Нет, не всегда, — ответил Митя, — но довольно часто. Попробуй, докажи, например, что в Москве есть люди с одинаковым количеством волос на голове (лыцы не считаются). Не станешь же ты у всех подряд перебирать шевелиору по волоску. А вот если предложить, что таких людей нет, то, прияв во внимание, что в Москве живет около 8 миллионов, а число волос на голове у человека не превыходит 500 000, мы приdem к непелому выводу: 500 000 $\geq$ 8 $\cdot$ 10^6. Следовательно, в Москве есть жители с одинаковым числом волос на голове.

Доказательство уверженения $P$ путем доказательства ложности его отрицания не $P$ называется косвенным доказательством; называют его также доказательством от противного. А теперь попробуй, докажи от противного, что не существует наиболее четного числа.

*) См. статью «Неверно, что… — как это понятно?» («Квант», 1980, № 9).

— Ну, что же, — сказал Петя, — это нетрудно. Допустим, что такое число $n$ существует. Тогда всякое другое четное число должно быть меньше $n$ . Однако, прибавив к числу $n$ двойку, получим четное число $n+2$ , больше, чем $n$ . Полученное противоречие доказывает, что предположение о существовании наиболее четного числа ложно; значит, наиболее четного числа не существует.

— Знаешь, — сказал Митя, — еще в третьем веке до нашей эры Евклид доказал, что наиболее простого числа не существует. Предположив, что такое число $p_n$ существует, он построил число $p=p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n+1$ , где $p_1, p_2, \dots$ — простые числа, противоречие $p_n$ ; $p$ не делится ни на одно из чисел $p_1, p_2, \dots p_n$ (в остатке всегда будет 1), а значит, либо оно само — простое, либо делится на простое число $q$ , больше, чем $p_n$ . Полученное противоречие ( $p_n$ — наиболее простое число и, одновременно, либо $p$ , либо $q$ — простое число, больше $p_n$ ) доказывает ложность сделанного допущения и, тем самым, истинность утверждения Наибольшего простого числа не существует.

— Быает так, — продолжал Митя, — что ложность не $P$ стоял очень давно, что можно сразу сделать вывод об истинности $P$ . Помнишь, в четвертом классе нам говорили, что пустое множество является подмножеством любого множества? Это звучало как-то страно, неубедительно. Попробуем доказать это утверждение от противного. Вспомним, что множество $M$ называется подмножеством множества $N$ , если всякий элемент множества $M$ принадлежит множеству $N$ . Допустим, что пустое множество $M$ не есть подмножеством множества $N$ , то есть найдется такой элемент множества $M$ , который не принадлежит $N$ . Но это — оченьная непопость, так как в пустом множестве согласно его определению вообще нет никаких элементов. Следовательно, пустое множество есть подмножеством множества $N$ .

— И в самом деле убедительно, — согласно Петя.

Друзья расстались, весыдовые друг другом.

Вскоре на уроке физики учитель рассказал ребятам, как Галилей логически доказал свою гипотезу о том, что в пустоте все тела падают одинаково быстро, и опроверг тем самым гипотезу Аристотеля, полагавшего, что тело падает тем быстро, чем оно тяжелее.

— Допустим, — сказал Галилей, — что тяжело ядро падает быстро, чем легкое. Что будет, если связать эти два ядра вместе? С одной стороны — легкое ядро должно замедлять падение тяжелого, с другой же — скорость падения связанных ядер должно быть больше скорости падения тяжелого ядра. Полученное противоречие доказывает, что предположение о различии скоростей падения тяжелого и легкого ядр ложно. Следовательно, ядра должны паать с одинаковой скоростью.

— Значит, приведение к противоречению было не и в физике, — отметил про себя Петя.

Спустя некоторое время учительница русского языка попросила Петю доказать, что в предложении Почти все понеры нашей класса уле-

калотся спортом слово почти — частица.

— Вот те на, — подумал Петя. — Я понимо, же — частица, ли — частица, бы — частица, а почти — какая же это частица? Слово как слово. Впрочем, это, несомненно, службная часть речи, то есть либо предлог, либо союз, либо международные, либо частица. Допустим, что слово почти — не частица; тогда оно — предлог, или союз, или международные. Но это слово не служит для связи слов или частей предложения; значит, оно — не предлог и не союз. Неверно и то, что слово почти — международные: оно не выражает никаких чувств и не побуждает к действия. Следовательно, слово почти — частица, и я доказал это, рассудядая от противного. Учительница пожвалила Петю за только ответ.

Прошло много времени. Петя и Митя окончили шестой класс и перешли в сельмой. На одном из первых уроков геометрии в сельмом классе разбиалась теорема: Если две прямые перpendикularны одной и той же прямой, то они паралельны. Доказываясь эта теорема так: Предположим, что прямые a и b, перpendикularные прямой p, пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходят два перpendикularа к прямой p, что противоречит теореме «Через любую точку проходит один и только один перpendикular к данной прямой». Учительница сказала, что это — доказательство от противного.

— Ага, — подумал Петя, вспоминв прошлогодного беседу с Митей, — эта теорема сформулирована в виде условного предложения: Если A, то B, а отрицанием такого предложения является предложение A и (не B), то есть Правые а и b перpendикularные прямой p и пересекаются. Мы доказали, что утверждение A и (не B) ложно, так как противоречит ранее доказанной теореме. Значит, Если A, то B истинно. Все правилано.

На уроке алгебры нужно было доказать утверждение: Если натуральное число n меньше 1, то $\frac{1}{n} > n$ .

Учительница называла доказательством от противного такое рассужждение: допустим, что $\frac{1}{n} \leq n$ ; тогда $\frac{1}{n} - n \leq 0$ ; от сюда следует, что $\frac{1 - n^2}{n} \leq 0$ , откуда $1 - n^2 \leq 0$ , $1 \leq n^2$ и $n \geq 1$ . Пете показалось, что это не совсем то, что он привил считать доказательством от противного, и он решил обсуить этот вопрос с Митей. Тот расселл его сомнения.

— Посмотри, — сказал он, — мы предположили, что истинно отрицание исходного утверждения Натуральное число n меньше 1 и $\frac{1}{n} \leq n$ .

Из этого предложения вытекает опровергающее его противение: $n < 1$ и $n \geq 1$ одновременно. Следовательно, исходное предложение истинно. Как видшь, это самое настоящее доказательство от противного. Но к этому вопросу можно подойти и иначе. Мы недавно проходит тему «Равносильные предложения». Так вот, предложения Если A, то B и Если (не B), то (не A) равносильны, то есть при любых A и B они либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Значит,