Đại học bang Tashkent được đặt theo tên V. I. Lênin

48

Đại học bang Tashkent được đặt theo tên V. I. Lênin

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(khoa toán)

1. Giải phương trình
   $$3^x + 2(\sqrt{3})^x - 3 = 0.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$x - 17 \geq \frac{60}{x}.$$
3. Giải phương trình
   $$\sin x + \sin 3x = -2.$$
4. Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{8}$, $x = \frac{\pi}{4}$ và $y = \sin 2x$.
5. Thể tích của hình nón nội tiếp tứ giác đều bằng $Q$. Góc nhị diện được hình thành bởi các cạnh bên liền kề của paramid bằng $a$. Tìm độ dài cạnh đáy của paramid.
   Tùy chọn 2
   (Khoa Toán ứng dụng và Cơ học)
6. Giải phương trình
   $$\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - \sqrt{\frac{2(x+1)}{x}} = 1.$$
7. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{x+1}{x-1} \geq \frac{x+5}{x+1}.$$
8. Giải phương trình
   $$3\cos^2 4x + 4\cos^2 2x - 3 = 0.$$
9. Một tam giác vuông có cạnh huyền $d$ quay quanh một chân của nó. Các góc nhọn của tam giác này phải bằng bao nhiêu để thể tích của vật xoay là lớn nhất?
10. Đáy của một đường thẳng là một tam giác vuông có chu vi $2p$ và một góc nhọn $a$. Tìm bề mặt bên của lăng kính nếu biết rằng một quả bóng có thể nội tiếp trong đó.
    Tùy chọn 3
    (Khoa Vật lý)
11. Giải phương trình
    $$\log_2 x \cdot \log_2 x = \log_4 2.$$
12. Giải bất đẳng thức
    $$\frac{x^2 - 4x + 5}{x^2 + 5x + 6} \geq 0.$$
13. Giải phương trình
    $$2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0.$$
14. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $y = 2x^3 - 39x^2 + 252x + 1$ trên [5; 8].
15. Từ chân cao độ của một tham số tam giác đều, một đường vuông góc bằng $l$ được hạ xuống cạnh bên. Tìm thể tích của paramid nếu góc nhị diện giữa các cạnh bên của nó là $f$.
    Bài toán thi vấn đáp
16. Tìm $tg\left(\frac{a}{2}\right)$ nếu $\sin 2a = 0,6$ và $0 < a < \frac{\pi}{4}$.
17. Cái nào lớn hơn a) $\sin 3$ hay $\cos 3$?
18. Vẽ đồ thị của hàm số a) $y = \sin |2x|$;
19. Chứng minh rằng nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ và $cx^2 + bx + a = 0$ đồng thời.
20. Giải phương trình a) $4^x + 6^x = 9^x$;
21. $\sin^3 x + \sin^2 x = 1 + \sin x$.
22. Có bao nhiêu nghiệm của phương trình $\cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \sin x - \frac{\sqrt{3}}{4} - 1 = 0$ trong đoạn $[-\pi; \pi]$?
23. Giải bất đẳng thức a) $\frac{x^2 - 7x + 12}{x - 4} \geq 0$;

6. $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x + 4) > -2.$

8. Tính $y'(0)$ nếu $y = \ln (2 - \sqrt{2x + 1})$.
9. Viết phương trình tiếp tuyến của đường thẳng $y = \frac{1}{x} + 3\sqrt{x} + \frac{x}{9} - \sqrt{3}x^2$ tại hoành độ $x_0 = 9$.
10. Tính trung bình tất cả các hình chữ nhật có diện tích nhất định $a$ và tìm hình có chu vi lớn nhất.
11. Tính trung bình tất cả các hình chữ nhật có chu vi cho trước $a$ và tìm hình có diện tích lớn nhất.
12. Chu vi của hình tròn là $l$. Góc trung tâm của khu vực này phải là bao nhiêu để diện tích của nó lớn nhất?
13. Diện tích của hình tròn là $Q$. Góc ở giữa của hình vuông phải là bao nhiêu để chu vi của nó lớn nhất?
14. Điểm chuyển động của vật chất theo định luật $s(t) = \frac{1}{2} t^2 + 1980t + 1981 + 4 \ln (t + 1)$, $t \geq 0$. Tại giá trị nào của $t$ tốc độ của nó sẽ nhỏ nhất?
15. Tại giá trị nào của $k$ thì diện tích của hàm được giới hạn bởi các đường $y = x^2 - 3$ và $y = kx + 2$ sẽ nhỏ nhất? Tính diện tích này.
16. Tính diện tích được bao quanh bởi các đường $y = \sin x$, $y = \frac{2}{\pi}x$, $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.
17. Xoay hình vuông ở cạnh $a$ quanh tâm tròn ở $45^\circ$. Tìm máy bay