Công thức và đồ thị

46

P. Satyanov

Công thức và đồ thị

Ký hiệu số học là các hình hình học được viết và các hình hình học là các công thức được vẽ.

(D. Gilbert)

Đặc điểm này hoặc đặc điểm kia của công thức xác định hàm số được phản ánh như thế nào trong biểu đồ của hàm số này? Khả năng trả lời chính xác câu hỏi này - trong các tình huống khác nhau - rất hữu ích khi xây dựng biểu đồ, đặc biệt là những biểu đồ xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh. Ở đây chúng ta không tập trung vào các đặc điểm của đồ thị hàm liên quan đến cực trị của chúng (điều này được thảo luận chi tiết trong sách giáo khoa “Al-

Số không và thay đổi dấu hiệu

Nếu hàm $y=f(x)$ biến mất tại một điểm nào đó $x_0$, điều này không có nghĩa là đồ thị của hàm $f$ cắt nghịch đảo trục $Ox$ ở một góc khác 0. Có những khả năng khác - ví dụ: chạm (đổi dấu hoặc không). Làm thế nào để phân biệt một cú chạm với một sự thay đổi dấu hiệu đơn giản?

Đồ thị hàm số$^*$

$$y=(x-1)^3(x-2)^2$$

được mô tả trong Hình 1. Trong công thức (1), $x-1$ có thể xuất hiện ở mức độ lẻ - do đó, khi đi qua $x=1$, nó đổi dấu. Tất nhiên, hệ số nhân $x-2$ không đổi dấu khi truyền $x=1$. Do đó, khi đi qua $x=1$, tích của chúng đổi dấu - đồ thị cắt trục hoành. Hệ số $x-2$ có trong công thức (1) trong trường hợp chẵn

*) Trong hình này và hình sau, tỷ lệ dọc theo trục $Oy$ khác với tỷ lệ dọc theo $Ox$.

47

độ - do đó khi đi qua $x=2$ nó không đổi dấu. Thừa số $x-1$ khi đi qua $x=2$ tất nhiên cũng không đổi dấu. Do đó, tích của họ không đổi dấu khi đi qua $x=2$ và đồ thị tiếp xúc với trục $x$ mà không cắt nó tại điểm $x=2$.

Đồ thị của hàm số $y=(x-1)^2 \times (x-4)^4$ và $y=-(x-1)^2(x-4)^4$ lần lượt được thể hiện trên Hình 2 và Hình 3.

Do đó, trong các biểu thức có dạng $f(x)=\varphi(x)(x-a)^k$ ($k \in N$), trong đó $\varphi(a) \neq 0$ và $\varphi$ không nguyên tố tại điểm $x=a$, tất cả là về độ thuần khiết của $k$: sự đổi dấu tại điểm $x=a$ xảy ra khi và chỉ nếu $k$ là số lẻ. Trong trường hợp $\varphi$ khả vi tại $x=a$, đồ thị của $f$ chạm vào trục $Ox$ tại $a$ nếu $k \geq 2$ (nghĩ về lý do tại sao) và vẫn nằm cùng phía với trục $Ox$ khi và chỉ khi $k$ chẵn.

tiệm cận đứng

Đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{x-2}$ được hiển thị trong Hình 4. Khi $x$ tiến đến 2, mô hình $\left|\frac{1}{x-2}\right|$ tăng vô hạn; trong trường hợp này, đường thẳng $x=2$ được gọi là đường tiệm cận đứng. Chúng ta sẽ viết nó như thế này:

$$\lim_{x \to 2} \left|\frac{1}{x-2}\right| = +\infty.$$

Trong tương lai, chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu thuận tiện này, mặc dù nó không có trong sách giáo khoa ở trường. Tất nhiên, trong kỳ thi, việc sử dụng tài liệu extragram sẽ hơi nguy hiểm; do đó, tốt hơn nên nói bằng lời rằng với $x \to 2$ hàm $1/|x-2|$ tăng vô hạn. Đối với những người tò mò, chúng tôi cung cấp định nghĩa tương ứng trong trường hợp chung: hàm $f(x)$ có xu hướng $+\infty$ cho $x \to a$ (ký hiệu: $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$), nếu với bất kỳ số $A_0$ nào tồn tại một $x_0$ sao cho $f(x) > A_0$, ngay khi $x$ gần với $a$ hơn $x_0$, chính xác hơn là ngay sau $0 < |x-a| < |x_0-a|$.

Hoạt động của các hàm $y=\frac{1}{x-2}$ trong vùng lân cận của điểm $x=2$ có thể được mô tả chi tiết hơn - với $x$ hướng tới 2 từ bên phải (“Đại số và phần đầu của phân tích 9-10”, đoạn 11), $\frac{1}{x-2}$ có xu hướng $+\infty$:

$$\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{x-2} = +\infty;$$

với $x$ thiên về 2 từ, $\frac{1}{x-2}$ thiên về $-\infty$:

$$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2} = -\infty.$$

Đường thẳng $x=2$ cũng là đường tiệm cận (dọc) của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{(x-2)^2}$ (Hình 5):

$$\lim_{x \to \infty} \left|\frac{1}{(x-2)^2}\right| = \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty.$$

Trong trường hợp này, với $x$ có xu hướng 2 từ và với $x$ có xu hướng 2 từ, $\frac{1}{(x-2)^2}$ có ​​xu hướng $+\infty$:

$$\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty,$$

$$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty.$$

Đường thẳng $x=2$ cũng là đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{x-2}$ (Hình 6) và $y=-\frac{1}{(x-2)^2}$ (Hình 7).

Bất kỳ đường thẳng nào có dạng $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ ($k \in Z$) đều là tiệm cận của đồ thị của hàm $y=\mathrm{tg} x$ (Hình 8).

Đường thẳng $x=0$ là tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\log_a x$ tại $x$,

48

có xu hướng về 0 từ bên phải (trong Hình 9 $a > 1$).

tiệm cận ngang

Khi $x$ tăng vô hạn (các nhà toán học nói “có xu hướng +∞”), đồ thị của hàm $y = \frac{1+x}{x}$ tiến vô thời hạn đến đường thẳng $y=1$ (Hình 10); trong trường hợp này, đường thẳng $y=1$ được gọi là tiệm cận ngang. Khi $x$ tăng vô thời hạn, tức là tăng modulo vô thời hạn, mang giá trị âm (các nhà toán học nói “có xu hướng -∞”), thì đồ thị của hàm $y = \frac{1+x}{x}$ cũng tiến vô thời hạn đến đường thẳng $y=1$ (xem Hình 10); đường $y=1$ là đường tiệm cận ngang cũng để tăng không giới hạn $x$. Tất cả điều này có thể được viết ngắn gọn như

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1+x}{x} = 1,$$

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1+x}{x} = 1.$$

Chúng ta cũng sẽ sử dụng ký hiệu tiện dụng này, mặc dù nó không có trong sách giáo khoa. Chúng tôi đưa ra định nghĩa trong trường hợp tổng quát: hàm $f(x)$ cố gắng đạt $A$ cho $x$, cố gắng đạt $+\infty$ (trong ký hiệu công thức $\lim_{x \to +\infty} f(x)=A$), nếu với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào, người ta có thể tìm thấy $X$ sao cho $x > X \Rightarrow |f(x)-A| < \varepsilon.$