Số hoàn hảo mới

50

Số hoàn hảo mới

Biên tập viên «Kvant» đã nhận được một lá thư từ độc giả của chúng tôi L. Kovgan (Frolovo, vùng Volgograd). Anh ấy thu hút sự chú ý khi xuất hiện trên tạp chí “Kiến thức là sức mạnh” một thông báo về việc nhận được một số nguyên tố mới và lưu ý rằng một số hoàn hảo mới thực sự đã được chỉ ra cùng lúc đó. “Tôi muốn,” L. Kovgan kết thúc bức thư của mình, “tạp chí «Kvant» đăng thông tin ngắn về vấn đề này.”
Chúng tôi thực hiện yêu cầu của độc giả.
Trong «Kvant» (1971, Số 8, trang 1; 1972, Số 4, trang 39; 1973, Số 10, trang 71) Tôi đã nói về lịch sử tò mò của việc nghiên cứu số hoàn hảo. Số hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng các ước thực sự của nó (nghĩa là các ước số không phải chính số đó). Như Euclid đã chứng minh, nếu số $2^k - 1$ là số nguyên tố thì số $2^{k-1}(2^k - 1)$ là số hoàn hảo. Dưới đây là một số số hoàn hảo đầu tiên:
6, 28, 496, 8 128, 33 550 336, …
Cho đến gần đây, chỉ có 24 số hoàn hảo được tìm thấy (chủ yếu nhờ vào máy tính).
Bây giờ chúng ta hãy chép lại thông tin đăng trên tạp chí “Tri thức là sức mạnh” (1980, số 6, trang 10):
“Một chiếc máy tính tên là “Cray-1” đã có thể tìm ra số nguyên tố lớn nhất mà các nhà nghiên cứu tín điều biết đến […] Số nguyên tố lớn nhất.”

$2^{44} \cdot 497 - 1$ chứa 13.395 chữ số. Nó lớn gấp nhiều lần số lượng nguyên tử trong Vũ trụ…”

Việc phát hiện ra một số nguyên tố mới cho phép, dựa trên định lý Euclid được xây dựng ở trên, ngay lập tức chỉ ra một số hoàn hảo thứ 25 mới:

$2^{44} \cdot 496 \cdot (2^{44} \cdot 497 - 1)$.

Đây là một con số khổng lồ: cần 26.790 chữ số để viết nó ở dạng thập phân đầy đủ.

Rõ ràng, việc tìm ra những con số hoàn hảo tiếp theo bằng công thức Euclid sẽ hoàn toàn mang tính thể thao hoặc sẽ theo đuổi mục tiêu chứng minh khả năng của một tổ hợp máy tính cụ thể.

H. X.