Olympic Toán

51

Olympic Toán

Vòng chung kết Olympic Toán học toàn Nga lần thứ XVI dành cho học sinh nhân kỷ niệm 60 năm thành lập Liên Xô, diễn ra từ ngày 14 đến ngày 22 tháng 4 tại Odessa. 156 học sinh (43 học sinh lớp 8, 60 học sinh lớp 9 và 53 học sinh lớp 10), đại diện cho tất cả các nguồn lực của Liên Xô, đã tham gia. Ban giám khảo Olympic (khoảng 50 người) bao gồm các nhà khoa học và sư phạm đến từ Moscow, Leningrad, Kyiv, Chisinau, Riga, Novosibirsk và các thành phố khác, tất nhiên, bao gồm cả Odessa. Đại diện danh dự của ban giám khảo là Viện sĩ A. N. Kolmogorov, đại diện là Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Ukraine B. V. Gnedenko, phó giáo sư của ông là Phó Giáo sư Khoa Cơ học và Toán học của Đại học quốc gia Moscow Yu. V. Nesterenko, Giáo sư M. I. Yadrenko của Đại học Kyiv và Giáo sư của Viện Bách khoa Odessa N. B. Divari.

Lễ khai mạc Thế vận hội diễn ra vào ngày 15 tháng 4 tại hội trường lớn của Nhà Thủy thủ, rất gần cảng Odessa và biểu ngữ Cầu thang Potemkin. Olympic được khai mạc bởi phó đại diện Ban chấp hành thành phố Odessa, V. A. Cherkassky. Các học giả A. N. Kolmogorov và B. V. Gnedenko rất thích thú lắng nghe; họ nói về tầm quan trọng ứng dụng của toán học, về vai trò liên quan đến thời đại của nó trong khoa học hiện đại và tính tùy tiện. Những người tham gia được chào đón bởi các học sinh Odessa và đại diện những người bạn tiên phong của trại tiên phong “Đội cận vệ trẻ”, trên lãnh thổ nơi những người tham gia Olympic cư trú và cả hai vòng của Olympic đều được tổ chức.

Bản thân Thế vận hội, như thường lệ, diễn ra trong hai vòng - ngày 16 và 18 tháng 4. Trong mỗi lớp, một nhiệm vụ đồng nhất bao gồm 4 bài toán, trong đó lời giải được phân bổ trong 5 giờ. Dưới đây chúng tôi trình bày các điều kiện của tất cả bài toán, cho biết tác giả của chúng.

Nhiệm vụ

lớp 8

Ngày đầu tiên

1. Trên một đường tròn có tâm $O_1$ bán kính $r_1$ các điểm $M$ và $K$ được lấy. Một đường tròn có tâm $O_2$ và bán kính $r_2$ nội tiếp góc ở tâm $MO_1K$. Tìm diện tích tứ giác $MO_1KO_2$.

(B. Chinik, Chisinau)

2. Trong các chuỗi số $(a_n)$ và $(b_n)$, mỗi số hạng, bắt đầu bằng ERO thứ ba, bằng tổng của hai số hạng trước đó, với $a_1=1$, $a_2=2$ và $b_1=2$, $b_2=1$. Có bao nhiêu số xuất hiện ở cả dãy số thứ nhất và dãy số thứ hai?

(A. Anjan, Riga)

3. Cho $m$ và $n$ là các số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu với một số số nguyên không âm $k_1, k_2, \dots, k_n$ thì số $2^{k_1}+2^{k_2}+\dots+2^{k_n}$ chia hết cho $2^m-1$ thì $n \geq m$.

(A. Gritsoryan, Mátxcơva)

4. Mỗi đỉnh của khối lập phương được gán một số thực không âm và tổng của tất cả các số này là 1. Hai người chơi trò chơi sau. Người đầu tiên chọn một khối bất kỳ, người thứ hai chọn một khối khác và cuối cùng người thứ nhất chọn khối thứ ba. Trong trường hợp này, bạn không thể chọn các mặt song song với các mặt đã được chọn. Chứng minh rằng người chơi thứ nhất có thể chơi sao cho số tương ứng với đỉnh chung của ba mặt được chọn không vượt quá 1/6.

(A. Berzins, Riga)

Ngày thứ hai

5. Các số tự nhiên từ 1 đến 1982 được sắp xếp lần lượt không theo một thứ tự cụ thể nào. Máy tính nhìn về bên phải từ các cặp số liền kề (thứ nhất và thứ hai, thứ hai, v.v.) cho đến số cuối cùng và hoán đổi các số trong cặp đang được xem xét nếu có nhiều số ở bên trái hơn. Sau đó cô nhìn qua tất cả các cặp, nhìn từ phải sang trái từ cặp cuối cùng đến cặp đầu tiên, hoán đổi số trong các cặp theo quy luật tương tự. Khi kết thúc quá trình xem này, người điều hành làm việc với máy tính nhận được thông tin rằng số ở vị trí thứ một trăm đã không di chuyển khỏi vị trí của nó cả hai lần. Tìm số này.

(Yu. Nesterenko, Moscow)

6. Sông Dưa Chuột chảy ở Thành Phố Hoa có vị trí không

52

Có bao nhiêu hòn đảo có tổng chu vi là 8 mét? Znayka tuyên bố rằng bạn có thể chèo thuyền từ bến tàu và băng qua bờ bên kia, eo biển chỉ dài chưa đầy 3 mét. Bờ sông trong khu vực bến tàu song song, chiều rộng là 1 mét. Znayka có đúng không?

(H. Kartashov, Kiev)

7. Đồ thị của hàm $y = x^2$ được vẽ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Sau đó, các trục tọa độ bị xóa - chỉ còn lại parabol. Làm thế nào để sử dụng la bàn và thước kẻ để khôi phục trục tọa độ và đơn vị đo độ dài?

(A. Anjan, Riga)

8. Một bảng vuông gồm $n \times n$ ô chứa đầy các số. Hơn nữa, trong các ô có một cạnh chung, các số được viết cách nhau không quá 1. Chứng minh rằng có ít nhất một số xuất hiện trong bảng:

a) không ít hơn $[n/2]$ lần ([a] là phần nguyên của số a);

b) không ít hơn $n$ lần.

(A. Berzins, Riga)

lớp 9

Ngày đầu tiên

1. Một ngày nọ, ba chàng trai gặp nhau ở thư viện. Một người trong số họ nói: “Bây giờ tôi sẽ đến thư viện cách ngày”. Người thứ hai nói rằng anh ấy sẽ đến thư viện trong hai ngày nữa, và người thứ ba nói rằng anh ấy sẽ đến thư viện sau ba ngày nữa. Người thủ thư bắt đầu cuộc trò chuyện của họ nhận thấy rằng thư viện có một ngày nghỉ vào thứ Tư. Các em trả lời rằng nếu một trong số các em có ngày đến thư viện vào ngày nghỉ thì sẽ đến vào ngày hôm sau và tiếp tục vắng mặt từ ngày đó. Đó là những gì các chàng trai đã làm. Một ngày thứ Hai, tất cả họ gặp lại nhau ở thư viện. Cuộc trò chuyện trên diễn ra vào ngày nào trong tuần?

(A. Savin, Mátxcơva)

2. Trong hình bình hành $ABCD$, trong đó $|AB| \neq |BC|$, tỉ số độ dài các đường chéo cho trước: $|AC|/|BD| = k$. Cho tia AM đối xứng với tia AD so với đường thẳng AC, tia BM đối xứng với tia BC so với đường thẳng BD, M là điểm chung của hai tia AM và BM. Tìm tỉ số $|AM|/|BM|$.

(B. Dubrovsky, Mátxcơva)

3. Có 3k điểm lệch nhau trên một đường tròn, chia nó thành 3k cung, trong đó k cung có độ dài 1, nếu k cung có độ dài 2 và k cung còn lại có độ dài 3. Chứng minh rằng trong số các điểm lệch nhau có hai đường kính đối diện nhau.

(B. Proizvolov, Mátxcơva)

4. Một điểm M được chọn bên trong khối đa diện. Chứng minh rằng từ điểm M nhìn thấy ít nhất một cạnh của khối đa diện nhìn thấy được một góc có cosin không lớn hơn -1/3.

(S. Gashkov, Mátxcơva)

Ngày thứ hai

5. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của x thì bất đẳng thức sau đúng:

$$2^{12}\sqrt{x} + 2^{9}\sqrt{x} \geq 2 \cdot 2^{9}\sqrt{x}$$

(B. Kolotov, Novosibirsk)

6. Hỏi số nhỏ nhất phải gạch bỏ trong tập hợp số 1, 2, 3…, 1982 để không có số nào còn lại bằng tích của 2 số còn lại? Làm thế nào điều này có thể được thực hiện?

(J. Kurlyandchik, Leningrad)

7. Mỗi ô của một tờ giấy ca rô vô hạn chứa một số thực. Chứng minh rằng một số ô chứa một số không lớn hơn số được viết trong ít nhất bốn số được nâng lên?

(A. Gritsoryan, Mátxcơva)

8. Chứng minh rằng từ dãy n số thực bất kỳ $a_1, a_2, ..., a_n$ người ta có thể chọn được một phần số sao cho ba điều kiện sau được thỏa mãn:

a) không chọn ba số liên tiếp;

b) cứ ba số liên tiếp thì có ít nhất một số được chọn;

b) giá trị tuyệt đối của tổng các số được chọn không nhỏ hơn

$$\frac{1}{6} \left( |a_1| + |a_2| + ... + |a_n| \right).$$

(A. Anjan, Riga)

lớp 10

Ngày đầu tiên

1. Các số a, b, c nằm trên khoảng $0; \frac{\pi}{2}$ [và thỏa mãn các đẳng thức:

$$\cos a = a, \sin b = b, \cos c = c.$$

Sắp xếp các số này theo thứ tự tăng dần.

(A. Gressen, Mátxcơva)

2. Xem bài toán 2 cho lớp 9.

3. Có số tự nhiên nào chia hết cho $11...1$ và tổng các chữ số của nó nhỏ hơn số nào?

(A. Gritsoryan, Yu. Nesterenko, Moscow)

4. Một đường đứt nét khép kín M có số đỉnh lẻ—theo thứ tự $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$. Ta ký hiệu S(M) một đường đứt đoạn khép kín mới, các đỉnh liên tiếp $B_1, B_2, ..., B_{2n+1}$ là trung điểm của các mắt xích của đường đứt nét M: $B_1$ là điểm giữa của $[A_1 A_2]$, $B_2$ là điểm giữa của $[A_3 A_4]$, …, $B_{n+1}$ là điểm giữa của $[A_{2n+1} A_1]$, $B_{n+2}$ là giữa $[A_{2n} A_{2n+1}]$. Chứng minh rằng dãy số được xây dựng theo cách này.

$$M_1 = S(M), M_2 = S(M_1), M_3 = S(M_2), ...$$

có một đường gãy khép kín chuẩn bị cho đường gãy ban đầu M.

(A. Kelarev, Sverdlovsk)

Ngày thứ hai

5. Trong một bảng vuông gồm $n \times n$ ô, n—1 ô được bù đắp. Chứng minh rằng bằng cách sắp xếp lại các hàng và các cột với nhau thì có thể đảm bảo rằng tất cả các ô xuất sắc đều nằm dưới đường chéo của bảng.

(Yu. Nesterenko, Moscow)

53

6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ và mọi số thực $a$ đều có bất đẳng thức sau:

$$|a| \cdot |a-1| \cdot \ldots \cdot |a-n| \geqslant \frac{n!}{2^n},$$

trong đó $\langle a \rangle$ là khoảng cách từ số $a$ đến số nguyên gần nhất, $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$.

(Yu. Nesterenko, A. Gelfond, Moscow)

7. a) Có đa thức $P = P(x, y, z)$, $Q = Q(x, y, z)$, $R = R(x, y, z)$ trong các biến $x, y, z$ sao cho tồn tại

$$\begin{align*} (x-y+1)^3 \cdot P + (y-z-1)^3 \cdot Q + \\ (z-2x+1)^3 \cdot R = 1 \end{align*}$$

6. Câu hỏi tương tự sau đó có

$$\begin{align*} (x-y+1)^3 \cdot P + (y-z-1)^3 \cdot Q + \\ (z-x+1)^3 \cdot R = 1. \end{align*}$$

(P. Gusyatnikov, Y. Nesterenko, Moscow)

8. Các đỉnh của terzer KLMN nằm bên trong, trên các mặt hoặc trên các cạnh của terzer khác ABCD. Chứng minh rằng tổng độ dài tất cả các cạnh của terzer KLMN nhỏ hơn 4/3 tổng độ dài tất cả các cạnh của terzer ABCD.

(P. Gusyatnikov, Y. Nesterenko, Moscow)

Danh sách đầy đủ những người chiến thắng được đưa ra trên trang. 60.

Tôi muốn ghi nhận những học sinh lớp 10 đã lần thứ ba trở thành người chiến thắng. Đó là G. Perelman (đã nhận bằng II, I và I cấp lớp 8, 9 và 10), A. Spiak (bằng III, II và I), S. Matyupov (I, III, II), K. Matveev (II, II, II), S. Samborsky (III, II, II), V. Titenko (I, II, II), A. Savkin (II, II, III), V. Shevchishin (II, Tôi,III). Những chàng trai này nằm trong số những ứng cử viên của đội Liên Xô tại Olympic Học sinh Quốc tế XXIII (về Olympic này, được tổ chức tại Hungary vào tháng 7 năm 1982, xem «Kvant» số 12).

Cùng với các giải chính, những người được vinh danh còn nhận được các giải đặc biệt - dành cho lời giải bài toán gốc, cho kết quả tốt nhất của ngày đầu tiên, cho ý chí chiến thắng. Một giải thưởng đặc biệt đã được trao cho nhóm nữ sinh xuất sắc nhất - học sinh lớp 8 A. Bogomolnaya từ trường số 534 ở Leningrad, em đã nhận được bằng tốt nghiệp cấp 2. Giải thưởng «Kvant» - tập tin số năm 1981 - được trao cho học sinh lớp 8 Bulat Orazbekov của ngôi trường mang tên. Quận Lunacharsky Kirov thuộc vùng Taldy-Kurgan của Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Kazakhstan. Sardon Gulomnabev sẽ nhận được một khoản đăng ký «Kvant» cho năm 1983 từ làng học. Shutnana, Khu tự trị Gorno-Badakhshan, Tajik SSR (lớp 8) và Taras Kitsmet từ làng trường Gorokholno, Vùng Ivano-Frankovsk, SSR Ukraine (lớp 9).

Thành phố anh hùng Odeska nồng nhiệt chào đón các vị khách của mình - những người tham gia Thế vận hội. Trong các chuyến tham quan, vào buổi tối các chàng trai đã đến các nhà hát nổi tiếng ở Odessa - opera và ba lê, hài kịch âm nhạc. Bữa tối truyền thống của các dân tộc khác ở Liên Xô diễn ra tại nhiều trường học khác nhau ở Odessa, các chuyến du ngoạn quanh thành phố “Odeska - một thành phố anh hùng”, “Odeska - một kỳ công”, “Văn học Odessa”, một chuyến du ngoạn bằng đường biển đến cảng Ilchevsk. Giống như mọi người ở nước ta, vào ngày 17 tháng 4, những người tham gia Olympic đã làm việc trong Ngày dọn dẹp cộng đồng Cộng sản Lênin toàn Liên minh - trồng cây trong công viên xinh đẹp của trại tiên phong Vệ binh Trẻ.

Ngày 19/4, một “trận chiến toán học” đã diễn ra giữa một đội học sinh và đội giám khảo. Trận chiến diễn ra cam go và danh dự - chỉ cần nói rằng trước cuộc tranh tài cuối cùng dành cho các đội trưởng, tỷ số là ngang nhau. Trận đấu cuối cùng đã quyết định tất cả: đội trưởng của học sinh, Grisha Perelman, tuy nhiên đã để thua đội trưởng của đội gồm các thành viên ban giám khảo S.V. Konyagin (hai lần đoạt giải Olympic toán học quốc gia, hiện là giáo viên Khoa Cơ học và Toán học của Đại học Tổng hợp Moscow, tác giả của nhiều bài toán trên Bài toán Kvant). Với tư cách là chánh án, tôi đảm bảo với bạn rằng tôi không hề giúp đỡ các thành viên bồi thẩm đoàn - mà ngược lại!

Ngày 20/4, lễ bế mạc Olympic đã diễn ra tại Cung tiền phong của trại tiên phong Vệ binh trẻ. Giáo sư M.I. Yadrenko đã phát biểu chào mừng những người tham gia Olympic. Viện sĩ A. N. Kolmogorov đã có lời chia tay với cả những người đoạt giải Olympic và những người không nhận được giải. Trưởng ban giám khảo trao giải thưởng, bằng cấp, chứng chỉ cho các thí sinh tham dự. Biểu tượng của Thế vận hội đã được trao cho đại diện của thành phố Kshinev, nơi sẽ diễn ra vòng chung kết của Thế vận hội Olympic XVII tiếp theo.