Олимпиада по математике

51

Олимпида по математике

Заключительный тур XVI Всегоозной олимпиды школьников по математике, посвященной 60-летию образования СССР, состоялся с 14 по 22 апреля в Одесе. В нем принятоучастие 156 школьников (43 восемиклассика, 60 девятиклассика и 53 десятиклассика), представивших все ресурсы Советского Союза. В жюри олимпиды (около 50 человек) входили научные и педагогические работники Москвы, Ленинграда, Киева, Кишинева, Риги, Новосибирска и других городов, включая, конечно, и Одессу. Почетным представителем жюри был академик А. Н. Колмогоров, представителем — академик АН УССР Б. В. Гнеденко, его заместителя — доцент механико-математического факультета МГУ Ю. В. Нестеренко, профессор Киевского университета М. И. Ядренко и профессор Одеского политехнического института Н. Б. Дивари.

Торжественное открытие олимпиды присходило 15 апреля в огромном зале Дома моряков, совсем рядом с Одескским портом и знаменной Потемкинской лестницы. Открыл олимпиду заместитель представителя Одесккого горисполкома В. А. Черкасский. С большим интересом были выслушаны академики А. Н. Колмогоров и Б. В. Гнеденко; они говорили о прикладном значении математики, о ее возрастной роли в современных науке и произвольстве. Участников приветствовали школьники Одессы и представители пionерских друзей пionерлагеры «Молодая гвардия», на территории которого были размещены участники олимпиды и проведены оба тура олимпиды.

Сама олимпида, как обычно, прохолила в два тура — 16 и 18 апреля. В каждом классе однородное задание состояло из 4 задач, на решение которых отводилось 5 часов. Ниже мы приводим условия всех задач, указывая их авторов.

Задания

8 класс

Первый день

1. На окружности с центром $O_1$ радиуса $r_1$ взяты точки $M$ и $K$. В центральный угол $MO_1K$ вписана окружность с центром $O_2$ радиуса $r_2$. Найдите площадь четырехугольника $MO_1KO_2$.

(Б. Чиник, Кишинев)

2. В числовых последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ каждый член, начиная с третьERO, равен сумме двух предыдущих, причем $a_1=1$, $a_2=2$ и $b_1=2$, $b_2=1$. Сколько существует чисел, встречающихся как в первой, так и во второй последовательности?

(A. Анджан, Рига)

3. Пусть $m$ и $n$ — натуральные числа. Докажите, что если для некоторых неотрицательных целых чисел $k_1, k_2, \dots, k_n$ число $2^{k_1}+2^{k_2}+\dots+2^{k_n}$ делится на $2^m-1$, то $n \geq m$.

(A. Грицорян, Москва)

4. Каждый вершин куба поставлено в соответствие неотрицательное действительное число, причем сумма всех этих чисел равна 1. Двое играют в следующую игру. Первый выбирает любую куба, второй выбирает другую куба и, наконец, первый выбирает третьую куба. При этом выбирать грани, параллельные уже выбранными, нельзя. Докажите, что первый игрок может играть так, чтобы число, соответствующее общей вершине трех выбранных граней, не превысило 1/6.

(A. Берзины, Рига)

Второй день

5. Натуральные числа от 1 до 1982 расположены одно за другим в неотором порядке. ЭВМ просматривает следа направо пары строящих рядом чисел (первое и второе, второе и т. д.) вплоть до последней и меняет местами числа в просматриаемой паре, если больше из них стоит левее. Затем она просматривает все пары, дивяясь справа налево от последней пары до первой, меняя местами числа в парах по тому же закону. По окончании этого просмотр работыющий с ЭВМ оператор получил информацию, что число, стоящее на сотом месте, оба раза не сдвинулось со своей места. Найдите это число.

(Ю. Нестеренко, Москва)

6. Огурцовая река, протекающая в Цветочном горode, в районе пристини имеет не-

52

сколько островов, общий перimetр которых равен 8 метрам. Знайка утверждает, что можно отчалить на лодке от пристани и переправиться на другой берег, пролив менее 3 метров. Берега реки в районе пристани параллельны, а ширина ее равна 1 метру. Прав ли Знайка?

(H. Карташов, Киев)

7. На координатной плоскости Оxy нарисовали график функции $y = x^2$. Потом оси координат стерли — осталась только парабола. Как при помощи циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

(A. Анджан, Рига)

8. Квадратная таблица $n \times n$ клеток заполнена цельми чисlam. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличующие одно от другого не больше чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречает в таблице:

a) не менее чем $[n/2]$ раз ([a] — целая часть числа a);

b) не менее чем $n$ раз.

(A. Берзиньш, Рига)

9 класс

Первый день

1. Оdnажды трое малчикков встретились в библиотеке. Один из них сказал: «Теперъ я буду ходить в библиотеку через день». Второй заявил, что он будет ходить в библиотеку через два дня, а третьий — что будет ходить в библиотеку через три дня. Сызывший их разговор библиотекарь заметил, что по средам в библиотеке выходной день. Мальчики ответили, что если у кого-нибудь из них дата прихода попадет на выходной день библиотеки, то он придет на следующий день и дальнейший отсутствие посещений будет вести уже с этого дня. Так мальчики и поступили. Оdnажды в попедельник они вновь все вместе встретились в библиотеке. В какой день недели происходил описанный выше разговор?

(A. Савин, Москва)

2. В параллелограмме $ABCD$, в котором $|AB| \neq |BC|$, дано отношение длины диагоналей: $|AC|/|BD| = k$. Пусть луч AM симметричен лучу AD относительно прямой AC, луч BM симметричен лучу BC относительно прямой BD, М — общая точка лучей AM и BM. Найдите отношение $|AM|/|BM|$.

(B. Дубровский, Москва)

3. На окружности отмещено 3k точек, разделяющих ее на 3k дуг, из которых k дуг имеют длину 1, если k дуг — длину 2, и остальные k дуг — длину 3. Докажите, что среди отмещенных точек найдется две диаметрально противоположные.

(B. Произвольов, Москва)

4. Внутри терраэдра выбрана точка M. Докажите, что хотя бы одно ребро терраэдра видно из точки M под углом, косинус которого не больше чем — 1/3.

(C. Гашков, Москва)

Второй день

5. Докажите, что для всех положительных значений x выполнен неравенство

$$2^{12}\sqrt{x} + 2^{9}\sqrt{x} \geq 2 \cdot 2^{9}\sqrt{x}$$

(B. Колотов, Новосибирск)

6. Какое наименьшее количество чисел нужно вычеркить из совокупности чисел 1, 2, 3 …, 1982 так, чтобы ни одно из оставшихся чисел не равнялось произведению двух других из оставшихся чисел? Каким образом это можно сделать?

(J. Курляндчик, Ленинград)

7. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги написано какое-то действительное число. Докажите, что в некоторых клетках написано число, не превысodiaщее число, написанных по крайней мере в четырех из восвшихся чисел?

(A. Грицорян, Москва)

8. Докажите, что из любой последовательности n действительных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ можно выбрать часть чисел так, чтобы выполнялись следующие три условия:

a) никакие идущие подряд три числа не выбраны;

b) из каждой трех идущих подряд чисел хотя бы одно выбрано;

b) абсолотная величница суммы выбранных чисел не меньше чем

$$\frac{1}{6} \left( |a_1| + |a_2| + ... + |a_n| \right).$$

(A. Анджан, Рига)

10 класс

Первый день

1. Числа a, b, c лежат на интервале $0; \frac{\pi}{2}$ [и удовлетворяют равенствам:

$$\cos a = a, \sin b = b, \cos c = c.$$

Расположите эти числа в порядке возрастания.

(A. Грессен, Москва)

2. См. задачу 2 для 9 класса.

3. Существует ли натуральное число, делящееся на $11...1$ и имеющее сумму цифр меньше что?

(A. Грицорян, Ю. Нестеренко, Москва)

4. Замкнутая ломанная M имеет нечетное число вершин — последовательно $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$. Обозначим через S (M) новую замкнутую ломаную, последовательные вершины $B_1, B_2, ..., B_{2n+1}$ которой является серединами звенев ломаной M: $B_1$ — середина $[A_1 A_2]$, $B_2$ — середина $[A_3 A_4]$, …, $B_{n+1}$ — середина $[A_{2n+1} A_1]$, $B_{n+2}$ — середина $[A_{2n} A_{2n+1}]$. Докажите, что в последовательности таким образом построены ломанцы.

$$M_1 = S(M), M_2 = S(M_1), M_3 = S(M_2), ...$$

найдется замкнутая ломаня, готовичная исходной ломаной M.

(A. Келарев, Свердловск)

Второй день

5. В квадратной таблице $n \times n$ клеток отмещено n—1 клеток. Докажите, что перестановки строк между собой и столбцов между собой можно добиться того, чтобы все отменные клетки лежали ниже диагонали таблицы.

(Ю. Нестеренко, Москва)

53

6. Докажите, что для любого натурального числа $n$ и любого действительного числа $a$ справедливо неравенство

$$|a| \cdot |a-1| \cdot \ldots \cdot |a-n| \geqslant \frac{n!}{2^n},$$

где $\langle a \rangle$ — расстояние от числа $a$ до ближайшего к нему целого числа, $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$.

(Ю. Нестеренко, А. Гельфонд, Москва)

7. а) Существуют ли многочлены $P = P(x, y, z)$, $Q = Q(x, y, z)$, $R = R(x, y, z)$ от переменных $x, y, z$ такие, что выполняно тогда есть

$$\begin{align*} (x-y+1)^3 \cdot P + (y-z-1)^3 \cdot Q + \\ (z-2x+1)^3 \cdot R = 1 \end{align*}$$

6. Тот же вопрос для тогда есть

$$\begin{align*} (x-y+1)^3 \cdot P + (y-z-1)^3 \cdot Q + \\ (z-x+1)^3 \cdot R = 1. \end{align*}$$

(П. Гусятников, Ю. Нестеренко, Москва)

8. Вершины терзера KLMN лежат внутри, на гранях или на ребрах другого терзера ABCD. Докажите, что сумма длины всех ребер терзера KLMN меньше, чем 4/3 суммы длины всех ребер терзера ABCD.

(П. Гусятников, Ю. Нестеренко, Москва)

Полный список призеров приводится на с. 60.

Хочется отметить тех десятиклассиков, которые уже в третьий раз становятся победителями. Это Г. Перельман (получал соответственое в 8, 9 и 10 классах дипломы II, I и I степени), А. Спиак (дипломы III, II и I), С. Матюпов (I, III, II), К. Матвеев (II, II, II), С. Самборский (III, II, II), В. Титенко (I, II, II), А. Савкин (II, II, III), В. Шевчишин (II, I, III). Эти ребята входили в число кандидатов в команду СССР на XXIII Международную олимпиаду школьников (об этой олимпиаде, проходившей в Венгрии в июле 1982 г., см. «Квант» № 12).

Наряду с главными призами многочестичники получили и специальные призы — за оригинальные решения задач, за лучшие результаты первого дня, за волю к победе. Специальный приз был вручен лучшей среде девочек — восемиклассике А. Богомольной из школь № 534 г. Ленинграда, получивший диплом II степени. Приз «Кванта» — подшивка номеров за 1981 год — был вручен восемикласснику Булату Оразбекову из школь им. Луначарского Кировского района Талды-Курганской области Казахской ССР. Подписку на «Квант» на 1983 год получат Сардон Гуломнабев из школь пос. Шутнана Горно-Бадахшанской автономной области Таджикской ССР (8 класс) и Тарас Кицмет из школьей села Горохолно Ивано-Франковской области УССР (9 клал.).

Город-герой Одеска теплло принимал своих гостей — участников олимпиады. В дни туров по вечерам ребята ходили в знаменительные одесские театры — оперы и балета, музыkalной комедии. Состоялись традиционные вечеря других народов СССР в различных школах Одессы, эскурсии по городу «Одеска — город-герой», «Одеска — подвиг», «Литература Одесса», эскурсия по морю в порт Ильчевск. Как и все в нашей стране, 17 апреля участники олимпиады работали на Всесоюзном ленинском коммунистическом субботнике — на посадке деревьев в красившем парке пionерлагерия «Молодая гвардия».

19 апреля состоялся «математический бой» между командой школьников и командой жюри. Бой был упорным и почтным — достаточносказать, что перед заключительным конкурсом капитанов счет оказался равным. Все решил последний поеднок: капитан школьников Гриша Перельман все-таки уступил капитну команды членов жюри С. В. Конягину (двукратному победителю между народными математическими олимпиадами, ныне преодавателю механико-mатематического факультета МГУ, автору многохских задач из Задачника «Кванта»). Как главный судья, я уверяю вас, что нисколько не подсуживал членам жюри — скорее, наоборот!

20 апреля во Дворце пionерлов пionерлагерия «Молодая гвардия» состоялось торжественное закрытие олимпиады. С приветственным словом к участникам олимпиады обращался профессор М. И. Ядренко. Академик А. Н. Колмогоров выступил с напутствиями как победителем олимпиады, так и тем, кто не получил премии. Руководители жюри вручили призы, дипломы и грамоты участникам. Символ олимпиады был передан представителю города Кшинева, где будет происходить заключительный тур следующего, XVII олимпиады.