Новое совершенное число

50

Новое совершенное число

В редакцию «Кванта» пришло письмо нашего читателя Л. Ковгана (г. Фролово Волгоградской обл.). Он обращает внимание на появление в журнале «Знание — сила» сообщение о получении нового простого числа и отмечает, что одновременное фактически указано и новое совершенное число. «Я хотел бы, — заканчивает свое письмо Л. Ковган, — чтобы журнал «Квант» опубликовал короткую информацию об этом».
Выполняем просбу читателя.
В «Кванте» (1971, № 8, с. 1; 1972, № 4, с. 39; 1973, № 10, с. 71) уже расссказываюсь о любопытной истории изучения совершенных чисел. Совершенным называют натуральное число, равное сумме всех его собственных делителей (то есть делители, отличных от самого числа). Как доказал еще Евклид, если число $2^k - 1$ — простое, то число $2^{k-1}(2^k - 1)$ является совершенным. Вот несколько первых совершенных чисел:
6, 28, 496, 8 128, 33 550 336, …
До недавнего времени было найдено (главаным образом, благодаря ЭВМ) только 24 совершенных числа.
А теперь воспроизведем информацию, опубликованную в журнале «Знание — сила» (1980, № 6, с. 10):
«Компьютер по имени «Крэй-1» суммал найти самое большое из известных досягматикам простое число […] Самое большое простое число»

$2^{44} \cdot 497 - 1$ содержит 13 395 разрядов. Оно во много раз больше, чем число всех atomов во Вселенной…»

Открытие нового простого числа позволяет на основании формулированной выше теоремы Евклида, сразу же указывать новое, 25-e совершенное число:

$2^{44} \cdot 496 \cdot (2^{44} \cdot 497 - 1)$.

Это — огромное число: для его полной десятичной записи требуется 26 790 цифр.

По-видимому, отискание следующего совершенных чисел по формуле Евклида будет либо представлять чисто спортивный интерес, либо преследовать цель показать возможность того или иного вычислительного комплекса.

H. X.