Формулы и графики

46

П. Сатьянов

Формулы и графики

Арифметические знаки — это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры — это нарисованные формулы.

(Д. Гильберт)

Как та или иная особенность формулы, задающей функцию, отражается на графике этой функции? Умение правильно ответить на этот вопрос — в разных ситуациях — было полезным при построении графиков, в частности таких, которые попадаются на вступительных экзаменах. Мы не останавливаемся здесь на особенности графиков функции, связанных с их экстремумами (об этом подробно сказано в учебном пособии «Ал-

Нули и изменение знака

Если функция $y=f(x)$ обращается в нуль в некоторой точке $x_0$, это еще не означает, что график функции $f$ обращательно пересекает ось $Ox$ под ненулеевым углом. Есть и другие возможности — например, касание (смена знака или без). Как отличить касание от простой смены знака?

График функции$^*$

$$y=(x-1)^3(x-2)^2$$

изображен на рисунке 1. В формулу (1) можноть $x-1$ входит в нечетной степени — поэтому при перехождение $x=1$ он меняет знак. Множитель $x-2$ при перехождение $x=1$ знака, конечно, не меняет. Следовательно, при перехождение $x=1$ их произведение меняет знак — график пересекает ось абсцисс. Множитель $x-2$ входит в формулу (1) в четной

*) На этом и следующее рисунок масштаб по оси $Oy$ отличается от масштаба по $Ox$.

47

степени — поэтому при перехождение через $x=2$ он знака не меняет. Множитель $x-1$ при перехождение через $x=2$ тоже, конечно, не меняет знака. Следовательно, их произведение при перехождение через $x=2$ знака не меняет, и график касается оси $x$, не пересекая ее, в точке $x=2$.

Графики функций $y=(x-1)^2 \times (x-4)^4$ и $y=-(x-1)^2(x-4)^4$ изображены соответственно на рисунках 2 и 3.

Таким образом, в выражениях вида $f(x)=\varphi(x)(x-a)^k$ ($k \in N$), где $\varphi(a) \neq 0$ и $\varphi$ неперивна в точке $x=a$, все дело в чистости $k$: смена знака в точке $x=a$ произходит тогда и только тогда, когда $k$ нечетно. В случае, когда $\varphi$ дифференцируема в точке $x=a$, график $f$ касается оси $Ox$ в точке $a$, если $k \geq 2$ (подумайте, почему), и остается при этом по одному сторону от оси $Ox$ тогда и только тогда, когда $k$ четно.

Вертикальные асимптоты

График функций $y=\frac{1}{x-2}$ показан на рисунке 4. Когда $x$ стремится к 2, модель $\left|\frac{1}{x-2}\right|$ неограниченно увеличивается; в этом случае прямая $x=2$ называется вертикальной асимптотой. Мы запишем это так:

$$\lim_{x \to 2} \left|\frac{1}{x-2}\right| = +\infty.$$

В дальнейшем мы будем пользоваться этой удобной записью, хотя ее нет в школьном учебнике. На экзамене, конечно, немного опасно пользоваться внешрограммным материалом; поэтому лучше сказать словами, что при $x \to 2$ функция $1/|x-2|$ неограниченно возрастает. Для любозначенных сообщаем соответствующее определение в общем случае: функция $f(x)$ стремится к $+\infty$ при $x \to a$ (запись: $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$), если для любого числа $A_0$ существует такое $x_0$, что $f(x) > A_0$, как только $x$ близке к $a$, чем $x_0$, точнее, как только $0 < |x-a| < |x_0-a|$.

Поведение функций $y=\frac{1}{x-2}$ в окрестности точки $x=2$ можно описать и детальнее — при $x$, стремящемся к 2 справа («Алгебра и начала анализа 9-10», п. 11), $\frac{1}{x-2}$ стремится к $+\infty$:

$$\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{x-2} = +\infty;$$

при $x$, стремящемся к 2 слова, $\frac{1}{x-2}$ стремится к $-\infty$:

$$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2} = -\infty.$$

Прямая $x=2$ является также (вертикальной) асимптотой графика функции $y=\frac{1}{(x-2)^2}$ (рис. 5):

$$\lim_{x \to \infty} \left|\frac{1}{(x-2)^2}\right| = \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty.$$

В этом случае при $x$, стремящемся к 2 слова, и при $x$, стремящемся к 2 слова, $\frac{1}{(x-2)^2}$ стремится к $+\infty$:

$$\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty,$$

$$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty.$$

Прямая $x=2$ является также асимптотой графика функций $y=-\frac{1}{x-2}$ (рис. 6) и $y=-\frac{1}{(x-2)^2}$ (рис. 7).

Любая прямая вида $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ ($k \in Z$) является асимптотой графика функции $y=\mathrm{tg} x$ (рис. 8).

Прямая $x=0$ является асимптотой графика функции $y=\log_a x$ при $x$,

48

стремящемся к 0 справа (на рисунке 9 $a > 1$).

Горизонтальные асимптоты

Когда $x$ неограниченно увеличивается (математики говорят «стремиться к +∞»), график функции $y = \frac{1+x}{x}$ неограниченно приближается к прямой $y=1$ (рис. 10); в этом случае прямая $y=1$ называется горизонтальной асимптой. Когда $x$ неограниченно увеличивается, то есть неограниченно увеличивается по modulo, будучи отрицательным (математики говорят «стремиться к —∞»), график функции $y = \frac{1+x}{x}$ тоже неограниченно приближается к прямой $y=1$ (см. рис. 10); прямая $y=1$ является горизонтальной асимптой также при неограниченной увеличении $x$. Все это можно коротко записать в виде

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1+x}{x} = 1,$$

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1+x}{x} = 1.$$

Мы также будем пользоваться этой удобной записью, хотя ее нет в учебнике. Сообщаем определение в общем случае: функция $f(x)$streмиться к $A$ при $x$,streмиемся к $+\infty$ (в формульной записи $\lim_{x \to +\infty} f(x)=A$), если для любого $\varepsilon > 0$ можно найти такое $X$, что $x > X \Rightarrow |f(x)-A| < \varepsilon.$