Làm thẳng đường nét trên mặt phẳng

22

Làm thẳng đường nét trên mặt phẳng

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học S. V. MATVEEV

Chúng ta hãy tạo một vòng tròn bằng dây mỏng, nhẹ nhàng uốn cong nó trong không gian, ấn nó thành một hình dạng phức tạp hơn và ném nó lên một mặt phẳng, ấn chặt vào nó (Hình 1). Có thể làm thẳng đường viền dây phẳng thu được thành một hình tròn mà không làm rách nó khỏi mặt phẳng không?

Chúng ta giả sử rằng độ dày của dây bằng 0, sao cho tại những điểm mà một phần của vòng đi qua phần khác (tại điểm được gọi là điểm kép), phần trên cũng nằm trên mặt phẳng. Dây rất linh hoạt, nhưng không linh hoạt vô hạn - bán kính cong không được bằng 0, nếu không dây có thể bị nóng chảy. Đặc biệt, hoạt động thắt chặt các vòng, như trong Hình 2, đều bị cấm.

Tất nhiên, luôn có thể làm thẳng đường viền của chúng ta trong không gian. Rốt cuộc, chúng tôi đã bắt đầu với một vòng tròn dây: nó có thể được phục hồi bằng cách đánh bóng các phần uốn cong mà chúng tôi đã thực hiện theo thứ tự ngược lại. Bằng cách bắt đầu với một vòng tròn, chúng tôi đã vượt qua tất cả những khó khăn liên quan đến các nút: nếu chúng tôi bắt đầu với một đường viền thắt nút như trong Hình 3, chúng tôi sẽ không thể làm thẳng nó hoàn toàn thành một vòng tròn, không chỉ trên mặt phẳng mà ngay cả trong không gian (xem «Kvant», 1981, Số 3, trang 8). Hãy quay trở lại câu hỏi của chúng tôi. Lúc đầu

Hãy thử nghiệm một chút và suy nghĩ về nó

Hãy bắt đầu với đường viền dây trong Hình 1. Sau khi mày mò một chút với dây thật (bạn cũng có thể sử dụng một sợi chỉ), bạn có thể dễ dàng nhận thấy rằng đường viền này có thể được làm thẳng (quá trình làm thẳng được thể hiện trong Hình 4).

Bây giờ hãy thử làm thẳng các đường viền a - e như trong Hình 5.

Tôi sẽ thấy rằng người đọc có thể làm thẳng các đường nét b, d, f. Sự vô ích của những nỗ lực làm thẳng các đường viền a, c, f thuyết phục chúng ta về sự tồn tại của các đường viền không thẳng. Nhưng như bằng chứng

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3

23

Bạn có nghĩa là một số đường viền không thể được làm thẳng?

Để chứng minh tính bất khả thi của một công trình hoặc quy trình cụ thể, các nhà toán học thường sử dụng kỹ thuật sau. Với mỗi trạng thái, đối tượng đang được xem xét được liên kết với một số nhất định không thay đổi trong quá trình này (số đó được gọi là bất biến hoặc chuyển tiếp); sau đó tính bất biến cho trạng thái ban đầu và cuối cùng của đối tượng; nếu thu được các số khác nhau thì quá trình chuyển từ trạng thái ban đầu sang trạng thái cuối cùng là không thể: suy cho cùng, một bất biến không thể thay đổi trong quá trình đó, đó là lý do tại sao nó là bất biến!

Hãy thử liên kết một số với mỗi mạch dây phẳng. Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là số điểm đường viền kép. Than ôi! Đây không phải là một bất biến, chẳng hạn như có thể thấy từ quá trình làm thẳng đường viền trong Hình 4. Tuy nhiên, khi xem xét hình này một cách cẩn thận, bạn sẽ nhận thấy rằng các điểm kép xuất hiện và biến mất theo cặp. Điều này cho thấy rằng tính chẵn lẻ của số điểm kép không thay đổi, nghĩa là phần còn lại của việc chia số điểm kép cho hai là bất biến.

Đúng vậy (chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau). Từ tuyên bố này

24

hướng đi đường vòng có thể. Chúng ta sẽ di chuyển dọc theo đường viền từ điểm A với một tốc độ duy nhất theo hướng đã chọn và vectơ vận tốc sẽ được vẽ từ một điểm cố định A’. Khi đó vectơ vận tốc sẽ quay quanh A’, và đầu của nó sẽ chuyển động thành một đường tròn (với tâm ở điểm A’). Vì tại thời điểm hoàn thành việc đi vòng quanh điểm A, vectơ vận tốc sẽ giữ vị trí ban đầu nên tổng số vòng nó quay quanh điểm A’ là một số nguyên. Trong trường hợp này, các vòng quay theo hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) được tính bằng dấu “+” và theo hướng khác (theo chiều kim đồng hồ) - bằng dấu “-”.

Nhìn vào Hình 6. Trên đó, đường đi của vectơ vận tốc được đặt bằng một đường màu đỏ và để rõ ràng, chúng ta di chuyển từ một vòng tròn. Trên thực tế, đường cong màu đỏ quấn chặt quanh đường tròn và các điểm 1’ - 6’ trùng nhau. Tổng cộng, vectơ vận tốc thực hiện một vòng quay (-1): từ điểm 1’ đến điểm 2’ - một vòng, từ điểm 2’ đến điểm 3’ và từ điểm 5’ đến điểm 6’ không có vòng quay nào, và từ điểm 3’ đến điểm 4’ và từ điểm 4’ đến điểm 5’ thực hiện một vòng quay theo hướng in.

Bất biến mà chúng ta đã hứa (hãy ký hiệu là V) bằng modulo của tổng số vòng quay của vectơ vận tốc. Nó không phụ thuộc nhiều vào việc lựa chọn điểm xuất phát A; Nó cũng không phụ thuộc vào việc chọn hướng của đường tránh, vì khi hướng của đường tránh thay đổi thì tổng số vòng quay chỉ đổi dấu. Ví dụ, đối với đường viền trong Hình 6, V bất biến bằng 1.

Hãy chứng tỏ (mà không đưa ra bằng chứng chi tiết) rằng V thực sự là một bất biến. Trong quá trình làm thẳng, mọi vị trí của vectơ vận tốc đều thay đổi trơn tru, không có bước nhảy nên số V cũng thay đổi liên tục; tuy nhiên, V luôn là số nguyên; nó chỉ có thể thay đổi thành một số nguyên khác bằng cách nhảy, điều này mâu thuẫn với tính liên tục. Do đó, V không thay đổi và là bất biến khai triển.

Bây giờ chúng ta có thể xử lý đường viền 5, e. Đối với nó, V=3 (kiểm tra!), vì vậy nó không thẳng thành một vòng tròn (với V=1).

Nếu bạn thực sự kiểm tra rằng đối với mạch 5, e V=3, bạn có thể nhận thấy rằng việc tính số vòng quay của vectơ vận tốc trong thực tế không thuận tiện lắm, rất dễ mắc sai lầm. Tuy nhiên, V có thể được tìm thấy dễ dàng hơn.

Để làm điều này, hãy chọn một định nghĩa trên mặt phẳng, chẳng hạn như hướng của trục Oy (xem Hình 6), và đánh dấu các điểm mà tại đó vectơ vận tốc có hướng giống như trục Oy. Hãy đặt số +1 bên cạnh mỗi điểm bị hủy nếu phần nhỏ của đường bao chứa nó nằm ở bên trái điểm đó; và -1 nếu ở bên phải (nếu đường viền tại điểm bị hủy có độ uốn - nghĩa là nằm trên cả hai phía của vectơ - chúng ta không đặt số nào).

Khi đó V bất biến bằng tổng modulo của các số đã cho.

25

Hình 7.

Ví dụ gần điểm 1 và 2 trong Hình 6 bạn nên đặt +1, gần điểm 3, 4, 5 bạn nên đặt (-1). Do đó, đối với đường viền trong Hình 6, V bất biến bằng 1. Hãy tự chứng minh rằng phương pháp được chỉ định thực sự cho phép bạn tính V cho bất kỳ đường viền nào.

Trong Hình 7, với mỗi số nguyên không âm n, một đường viền có bất biến V=n được mô tả. Chúng ta hãy nhớ lại rằng nếu một đường viền mở rộng thành một đường tròn thì V bất biến của nó phải bằng bất biến của đường tròn, tức là một.

Bất biến R

Đẳng thức V=1 là điều kiện cần để làm thẳng đường viền thành hình tròn. Điều kiện này có đủ không? Tôi nghĩ đáp số là câu trả lời cho câu hỏi này. Tuy nhiên, những nỗ lực hoàn hảo để làm thẳng chiếc thắt lưng quần của tôi, ở vị trí như trong Hình 8, a, đã thuyết phục tôi về điều ngược lại, đồng thời gợi cho tôi một nhận xét quan trọng: nâng chiếc thắt lưng lên khỏi sàn (Hình 8, b) hóa ra lại bị xoắn hai lần!

Chúng ta hãy thay thế đường viền bằng một dải băng nằm trên mặt phẳng sao cho đường viền trùng với đường giữa của nó (Hình 9, a). Sau khi làm thẳng đường viền trong không gian (ví dụ: tôi đưa nó trở lại vị trí ban đầu trước khi ném nó lên mặt phẳng), chúng ta sẽ có được một sợi dây xoắn. Chúng tôi biểu thị số “vòng xoắn” bằng R. Đây là bất biến thứ hai, đẳng thức của nó bằng 0 là cần thiết để làm thẳng đường viền thành một vòng tròn. Cần làm rõ rằng số vòng xoắn được lấy bằng dấu “+” nếu băng được xoắn như Hình 8, b, và bằng dấu “—” nếu băng được xoắn như trong

26

Hình 8, c (nhớ sự khác nhau giữa ren phải và ren trái).

Chúng ta hãy chứng minh rằng số R thực sự là một bất biến, nghĩa là nó không thay đổi khi đường viền được làm thẳng trên mặt phẳng. Để làm được điều này, chỉ cần thay thế rằng việc làm thẳng đường viền xác định độ thẳng của băng trên mặt phẳng và số lượng đường tròn không thay đổi không chỉ khi băng được làm thẳng trên mặt phẳng mà còn khi băng di chuyển tùy ý trong không gian.

Có thể chứng minh (chúng ta sẽ không tập trung vào vấn đề này) rằng R bất biến được tính như sau. Chúng ta hãy chọn hướng di chuyển trên đường bao. Chúng ta hãy đặt số +1 gần mỗi điểm kép nếu vectơ vận tốc thấp hơn hướng về bên trái của điểm trên và -1 nếu hướng về bên phải (dễ dàng nhận thấy rằng với một hướng truyền tải khác thì thu được các số giống nhau). Bất biến R bằng tổng của các số đã cho. Ví dụ, đường viền trong Hình 9, b có 3 điểm kép dương và 4 điểm âm nên R bất biến của nó bằng -1. Do đó, đường viền này không thể làm thẳng trên mặt phẳng.

Điều kiện cần và đủ

Chúng ta đã thấy rằng các điều kiện V=1 và R=0 là cần thiết để đường viền có thể được làm thẳng thành một đường tròn. Những điều kiện này có đủ không? Nói cách khác, liệu có thể bằng cách tính các bất biến V và R và đảm bảo rằng V=1 và R=0, để kết luận rằng đường viền mở rộng thành một đường tròn? Hóa ra là có.

Định lý chính. Để một đường viền có thể thẳng thành một đường tròn trên một mặt phẳng, điều cần và đủ là bất biến V của nó bằng 1 và bất biến R của nó bằng 0.

Định lý này đưa ra kết quả đáp số đầy đủ cho câu hỏi đặt ra ở đầu bài viết. Các phương pháp tính toán bất biến V và R đơn giản được mô tả ở trên cho phép bạn nhanh chóng kiểm tra điều kiện cần và đủ được xây dựng trong đó. Tôi mời độc giả kiểm chứng điều này tại