Bậc thầy trò chơi ghé thăm «Kvant»

36

Bậc thầy của trò chơi
thăm viếng
y «Kvant»

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. L. GUTENMACHER

Chúng tôi đã mời Bậc thầy trò chơi *), một chuyên gia nổi tiếng về lý thuyết trò chơi, đến tòa soạn - anh ấy biết rất nhiều trò chơi cũ và nghĩ ra những trò chơi mới.

• Thưa Sư Phụ, xin hãy cho chúng tôi biết mục tiêu của Ngài.

Bằng thạc sĩ Hãy bắt đầu với trò chơi đơn giản nhất mà chúng tôi sẽ gọi.

Một trò chơi dành cho người mới bắt đầu. Có 66 hạt trên bàn. Người chơi đầu tiên có thể lấy từ 1 đến 9 hạt, người chơi thứ hai lấy từ 1 đến 9 hạt từ những hạt còn lại, v.v. Người nào lấy được hạt cuối cùng sẽ thắng.

Trò chơi được gọi là “Trò chơi dành cho người mới bắt đầu” - điều này có ý nghĩa kép. Thứ nhất, trò chơi rất đơn giản và sử dụng ví dụ của nó sẽ rất thuận tiện để chứng minh các phương pháp suy luận cho những người mới học toán. Thứ hai, trong trò chơi này, nếu chơi đúng thì người bắt đầu sẽ thắng - người đi trước.

— Bạn sẽ quan tâm thế nào nếu bạn bắt đầu?

Bằng thạc sĩ tôi sẽ lấy 6 hạt - sẽ còn lại 60 hạt. Dù đối thủ có đi thế nào thì nước đi tiếp theo tôi có thể làm là sẽ còn lại 50 hạt, rồi 40, rồi 30 và cứ như vậy cho đến khi còn 0 hạt. Tôi đã thắng.

Nếu tôi không bắt đầu trò chơi thì đối thủ biết cách chơi được mô tả sẽ thắng. Vì vậy, chỉ cần hai người chủ ném một đồng xu và

*) Bậc thầy của trò chơi - một nhân vật trong tiểu thuyết “Trò chơi hạt thủy tinh” của Herman Hesse (M., “Fiction”, 1969).

37

tìm ra ai sẽ dạy trò chơi. Sau đó, họ có thể không chơi - và rõ ràng ai sẽ thắng.

— Phải làm gì nếu địch bắt đầu bắn trước nhưng không biết bắn chính xác?

Bằng thạc sĩ Chúng tôi biết “vị trí chiến thắng” - khi số hạt còn lại sau một nước đi là bội số của 10. Vì vậy, bạn cần phải chuyển đến vị trí như vậy ngay khi có cơ hội.

• Làm thế nào bạn làm sáng tỏ được bí mật của chiếc cerra này?

Bằng thạc sĩ, tôi bắt đầu suy luận từ cuối trò chơi chứ không phải từ đầu. Giả sử tôi đã thắng, tức là tôi đã lấy được những hạt cuối cùng. Tôi chỉ có thể làm được điều này nếu trước đó đối thủ đã để lại từ 1 đến 9 hạt trên bàn. Để buộc anh ta làm điều này, tôi đã phải để lại 10 hạt trên bàn sau nước đi trước. Đây là một vị trí chiến thắng. Tương tự như vậy, vị trí chiến thắng tiếp theo (thực ra là trước đó) là để lại 20 hạt. Vị trí chiến thắng sau đó được lặp lại định kỳ. Cuối cùng, tức là vị trí chiến thắng đầu tiên là để lại 60 hạt trên bàn. Chúng tôi biết rằng bạn có thể tham gia ngay từ nước đi đầu tiên - bằng cách lấy 6 hạt.

Như bạn có thể thấy, bí mật của tôi rất đơn giản: suy nghĩ từ cuối trò chơi và tìm ra vị trí chiến thắng. Và tất nhiên, hãy chú ý cách họ lặp lại nó theo định kỳ.

• Cảm ơn thầy. Bạn có vui lòng cung cấp cho chúng tôi loại cerra khác không?

Bằng thạc sĩ Trò chơi đang được xem xét rất dễ khái quát: giả sử rằng lúc đầu có N hạt trên bàn và mỗi người chơi có thể lấy từ 1 đến p hạt. Đối với N và p cụ thể, chúng tôi nhận được nhiều trò chơi cụ thể khác nhau. Cụ thể, tại p=9, N=66 là trò chơi dành cho người mới bắt đầu của chúng ta.

• Có những quy tắc nào phù hợp với bất kỳ cerra nào như vậy không?

Bằng thạc sĩ Có, tôi có. Nếu số N không chia hết cho p+1 thì đúng

38

Trong trò chơi người mới bắt đầu sẽ giành chiến thắng. Trước tiên, anh ta phải lấy đủ số hạt sao cho số còn lại chia hết cho $p+1$ (tức là lấy $r$ hạt, trong đó $r$ là phần còn lại của $N$ chia cho $p+1$), sau đó tiếp tục chiến thuật này.

Nếu số $N$ chia hết cho $p+1$ (giả sử $N=k (p+1)$), thì người chơi về thứ hai sẽ thắng. Cho dù đối thủ của anh ta bắt đầu như thế nào, anh ta sẽ luôn có thể giành được vị trí chiến thắng: $(k-1)(p+1), (k-2)(p+1)$, v.v.

— Có thể thay đổi “Nehru cho người mới bắt đầu” theo cách nào khác không?

Bằng thạc sĩ Có, chẳng hạn, có một trò chơi tên là “Evens Win”. Trong trò chơi này, hai người chơi cũng lần lượt thay phiên nhau từ 1 đến $p$ hạt từ một chồng hạt ban đầu có số lẻ. Lần này người chiến thắng là người khi bàn trống thu thập được số hạt chẵn. Trò chơi này thú vị hơn nhiều - khó thắng hơn nhiều.

— Tuy nhiên, có đúng là bạn sẽ luôn thắng trong trò chơi này không?

Bằng thạc sĩ Nếu tôi được quyền lựa chọn bắt đầu trò chơi hay về thứ hai, thì tôi sẽ luôn thắng. Tôi biết định lý - trong những trò chơi thuộc loại này*) như thế này, một trong những người chơi có chiến lược chiến thắng. Thực tế tuyệt vời này của lý thuyết trò chơi đã mang lại cho tôi sự tự tin và trong khi chuẩn bị cho trò chơi, tôi đã tìm ra bí quyết chiến thắng**).

Tôi sẽ trích dẫn một câu thơ về điều này từ một người bạn của Bậc thầy trò chơi, Joseph Knecht:

Bạn viết trên một tờ giấy, và ý nghĩa đã quen thuộc và được cố định bởi sự lang thang của ngòi bút,
Đối với những điều sau đây là hoàn toàn rõ ràng:
Trò chơi kết thúc theo luật***

*) Chúng ta đang nói về những trò chơi mà các chuyên gia gọi là “trò chơi hữu hạn của vô hạn với thông tin đầy đủ”. Bạn có thể đọc về chúng trong cuốn sách của E. S. Ventzel “Các yếu tố của lý thuyết trò chơi” (M., “Nauka”, 1959) hoặc trong «Kvant», 1981, No. 1, p. 12.

**) Bí mật này cũng đã được làm sáng tỏ bởi những người đến từ Học viện Khoa học Nhỏ Crimea. «Kvant» sẽ sớm quay lại trò chơi này.

***) Từ cuốn sách được đề cập của Hermann Hesse “Trò chơi hạt thủy tinh” (bản dịch thơ của S. Averintsev).