Bài toán M836—M840; F848—F852

35

Bài toán

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Các nhiệm vụ khó khăn nhất được đưa ra dấu hoa thị. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 29 tháng 2 năm 1984 đến địa chỉ: 103006, Moscow, K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Nhiệm vụ «Kvant» Số G2-83” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M836, M837” hoặc “F848”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được chỉ định trong một phong bì riêng biệt, được làm thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học.

Bài toán M836–M840 đã được đưa ra tại Olympic Toán học Quốc tế XXIV (trang 46).

M836—M840; F848—F852

M836. Gọi $A$ là một trong các giao điểm của hai đường tròn có tâm $O_1$ và $O_2$, $P_1P_2$ và $Q_1Q_2$ là các tiếp tuyến chung, $M_1$ và $M_2$ là trung điểm của dây cung $P_1Q_1$ và $P_2Q_2$ của các đường tròn này (Hình 1). Chứng minh rằng các góc $O_1AO_2$ và $M_1AM_2$ bằng nhau.

I. F. Sharytsin

M837*. Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương, hai số đó nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng

$$xbc + yca + zab$$

(trong đó $x, y, z$ là số nguyên không âm), bằng

$$2abc - ab - bc - ca.$$

M838. Tất cả các điểm nằm trên các cạnh của tam giác đều $ABC$ được chia thành hai bộ $E_1$ và $E_2$. Có đúng là đối với bất kỳ phân vùng nào như vậy thuộc một trong các tập hợp $E_1$ và $E_2$ đều có bộ ba đỉnh của một tam giác vuông không?

M839*. Có thể chọn 1983 số tự nhiên không vượt quá $10^5$ sao cho trong số các số được chọn không có một bộ ba số nào tạo thành một cấp số cộng (tức là không có một bộ ba $a, b, c$ chứa $a + c = 2b$)?

M840*. a) Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài cạnh của tam giác thì bất đẳng thức đúng

$$a^2b(a - b) + b^2c(b - c) + c^2a(c - a) \geq 0.$$

Tìm hiểu trong trường hợp nào nó trở thành đẳng thức.

b) Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ thì bất đẳng thức sau đúng:

$$a^3b + b^3c + c^3a \geq a^2bc + b^2ca + c^2ab.$$

F848. Một quả bóng lăn dọc theo một rãnh tròn nằm ngang nhẵn có chiều dài $l$. Tốc độ $v$ của quả bóng được biết với độ chính xác là $\varepsilon = \pm 5\%$. Tại những giá trị nào của $v$, chúng ta có thể phát biểu chính xác rằng sau thời gian $t$ sau khi quả bóng ở điểm $A$ (Hình 2), nó không ở điểm $B$?

E. I. Rabkin

36

F849. Nhiệt kế khô trong phòng đẳng nhiệt hiển thị nhiệt độ $t_1 = 18,0^\circ\text{C}$ và nhiệt kế ướt hiển thị nhiệt độ $t_2 = t_1 - \Delta t = 15,0^\circ\text{C}$. Không sử dụng bàn; xác định độ ẩm tương đối trong phòng. Áp suất của hơi nước bão hòa ở nhiệt độ được chỉ định tương ứng là $p_1 = 15,5$ mm Hg. Nghệ thuật. và $p_2 = 12,8$ mm Hg. Nghệ thuật. Nhiệt độ mol của nước bay hơi là $l = 4,07 \times 10^4$ J/mol; Nhiệt dung riêng của không khí là $c = 20,8$ J/(mol • độ) (ở thể tích không đổi).

I. S. Solodovnikov

F850. Hình 3 biểu diễn sự phụ thuộc thực nghiệm thu được của lực đàn hồi của lò xo vào chiều dài của nó. Tìm chu kỳ dao động nhỏ của một tải có khối lượng $m = 60$ g treo thẳng đứng trên lò xo này trong trường hấp dẫn.

V. I. Komov

F851. Tìm lực tương tác giữa hai nửa không dẫn điện của một quả bóng có bán kính $R$, mỗi nửa được tích điện đều trong toàn bộ thể tích với mật độ lần lượt là $q_1$ và $q_2$. Độ thấm điện môi của vật liệu bóng được coi là bằng sự thống nhất.

I. V. Grebnev

F852. Một cọc tích điện đều có khối lượng $m$ lăn dọc theo mặt phẳng không dẫn điện nằm ngang mà không bị trượt. Sau khi bật từ trường nằm ngang có chỉ số $\vec{B}$, vuông góc với mặt phẳng của vòng (Hình 4), lực ép của vòng lên mặt phẳng giảm đi một nửa. Chiếc cọc lăn với tốc độ bao nhiêu nếu điện tích của nó là $q$?

L. G. Markovich