Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →
2
Vai trò
toán học
nhà vật lý
trong khoa học hiện đại
Viện sĩ
V. S. VLADIMIROV,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A. S. MISHENKO
Sự thống nhất của tự nhiên được bộc lộ trong “tính tương đồng tích cực” của các phương trình vi phân và liên quan đến các lĩnh vực hiện tượng khác nhau.
V.I. Len và N. “Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán”
Chính cái tên “vật lý toán học” đã gợi ý rằng ngành học này chiếm một vị trí trung gian giữa toán học và vật lý, chịu ảnh hưởng trực tiếp và mạnh mẽ của cả hai. Chính xác thì “lĩnh vực trung gian” của khoa học này làm gì? Nói một cách ngắn gọn và có lẽ không hoàn toàn rõ ràng, câu hỏi này có thể được trả lời như sau: “Vật lý toán học là lý thuyết về các mô hình toán học của các hiện tượng vật lý”. Để hiểu định nghĩa ngắn gọn này, chúng ta hãy chuyển sang một số ví dụ (được học sinh biết đến) về các mô hình toán học như vậy.
Mô tả định luật chuyển động của vật rắn, các nhà vật lý xây dựng định luật thứ hai của Newton: gia tốc của vật thể tỷ lệ thuận với tổng các lực tác dụng lên vật thể đó.
Làm thế nào để sử dụng định luật thứ hai của Newton trong thực tế? Giả sử một vật rắn thực sự nhỏ sao cho vị trí của nó trong không gian ba chiều được cho bởi một điểm duy nhất. Nếu một hệ tọa độ Descartes nhất định được vật lý hóa trong không gian, thì điểm, và do đó, vị trí của vật rắn, được xác định bởi các số trên cùng - tọa độ của điểm x, y, z, hoặc, giống nhau, vị trí của vật rắn được xác định bởi vectơ trong ba-
4
Nhà toán học Shero của thế kỷ 18, viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Nga L. Euler. bài toán này nói về số lượng dây và sự truyền âm thanh, thủy lực và thủy động lực học, điện trở của vật liệu, quang học, điện, từ tính và nhiều thứ khác.
Một đặc điểm đặc trưng của các phương pháp này là việc xây dựng các mô hình toán học dưới dạng phương trình vi phân từng phần tùy ý - các phương trình bao gồm một hàm chưa biết không phụ thuộc vào một mà phụ thuộc vào một số biến và các biến tùy ý từng phần của nó (nghĩa là tùy ý trong các biến riêng lẻ). Do đó, những phương trình như vậy đôi khi được gọi là phương trình toán học vật lý, mặc dù hiện nay kho công cụ toán học được sử dụng trong vật lý toán học vẫn chưa cạn kiệt.
Vào thế kỷ 19, các nhà khoa học Nga M. V. Ostrogadsky (1801-1862), P. L. Chebyshev (1821-1892), A. M. Lyapunov (1857-1918), N. E. Zhukovsky (1847-1921), V. A. Steklov đã có đóng góp to lớn cho sự phát triển và ý tưởng về các phương pháp vật lý toán học. (1864-1926) và S. A. Chapelgiin (1869-1942).
Nhà toán học nổi tiếng người Nga và Liên Xô, người sáng lập Trường Vật lý Toán học St. Petersburg V. A. Steklov đã viết về vật lý toán học cổ điển vào năm 1922:
“Lời giải bài toán toán vật lý dẫn đến việc xác định một hoặc nhiều đại lượng đặc trưng cho một quá trình vật lý cụ thể xảy ra trong một môi trường nhất định (trong một vật thể nhất định) tùy thuộc vào vị trí của từng điểm của môi trường này và thời gian bằng cách sử dụng một hoặc nhiều phương trình vi phân.
Các phương trình này được rút ra nhờ sự trợ giúp của một số lượng nhỏ các giả thuyết đơn giản có thể có, được sử dụng làm cơ sở lý thuyết của từng phương trình vật lý và được trình bày như là kết quả của sự khái quát hóa một chuỗi dài các quá trình vật lý bán buôn và được quan sát có thể được chia thành những quá trình thực sự bắt nguồn từ tự nhiên xung quanh chúng ta hoặc được tạo ra một cách nhân tạo.
Kết quả của sự trừu tượng hóa (khái quát hóa) như vậy là một số lượng nhỏ các điều khoản cơ bản (giả thuyết) được tạo ra, chúng phải độc lập với nhau và không mâu thuẫn với bất kỳ sự thật nào hiện đã biết về thực tế.
Những giả thuyết này được sử dụng làm cơ sở cho lý thuyết về hiện tượng vật lý này hay hiện tượng vật lý khác, và tất cả các lý thuyết sau đó được phát triển một cách khôn ngoan bằng cách sử dụng các tiên đề toán học và các định luật cơ bản của cơ học đã hứa bằng cách sử dụng các phương pháp nhân tạo vi phân và tích phân.
Bằng cách này, theo dữ liệu vật lý của mỗi bài toán, các phương trình vi phân được biên soạn để mô tả bản chất của quá trình đang được xem xét đối với từng điểm của môi trường và cho từng thời điểm.
Bài toán bắt nguồn từ việc xác định, như một hàm của thời gian, tọa độ của từng điểm của môi trường nơi hiện tượng được nghiên cứu xảy ra và các đại lượng xác định các tính chất vật lý của môi trường, những ẩn số xuất hiện trong các phương trình vi phân thu được, tức là sự tích hợp của các phương trình này.
Đồng thời, chúng tôi thu được theo cách này lời giải phải đáp ứng tất cả dữ liệu thu được nhờ quan sát trực tiếp quá trình đang được nghiên cứu.”
Vật lý toán học thậm chí còn phát triển hơn nữa trong thế kỷ 19 và thế kỷ 20 của chúng ta. Số lượng hiện tượng vật lý được nghiên cứu bằng các phương pháp vật lý toán học ngày càng mở rộng: tính dẫn nhiệt, khuếch tán, quang học, điện động lực học, quá trình sóng phi tuyến, vật lý lượng tử và lý thuyết tương đối. Lĩnh vực toán học được sử dụng để xây dựng các mô hình toán học cũng ngày càng mở rộng. Ngoài các phương trình vi phân phục vụ nghiên cứu bài toán toán vật lý là các phương trình tích phân, giải tích biểu diễn, lý thuyết hàm số, giải tích hàm
5
giải tích, lý thuyết xác suất, phương pháp gần đúng và số.
Vật lý toán học ngày nay nhờ mối liên hệ sâu sắc với tất cả các ngành của toán học nên chiếm một vị trí trung tâm, trung tâm trong cấu trúc tổng thể của toán học hiện đại.
Với những mối liên hệ đen tối với vật lý và các ngành khoa học tự nhiên khác, vật lý toán luôn thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học lỗi lạc. Điều này cô ấy đã kích thích sự phát triển của toán học. Người ta biết rằng trong thập kỷ qua, nhiều đại diện nổi bật của toán “số” đã bắt đầu tham gia vào toán vật lý. Tuy nhiên, ảnh hưởng ngược của toán học lên vật lý thường bị đánh giá thấp. Có những quan niệm sai lầm rằng toán học “thực” không liên quan gì đến việc giải các bài toán thú vị cho thực hành”, rằng vật lý chỉ cần toán học như một phương tiện để tính toán, rằng vật lý chỉ cần toán học “đơn giản hóa”, rằng người ta thậm chí có thể giải quyết nó chỉ bằng một chiếc máy tính. Trên thực tế, các nhà toán học của thành phố còn sâu sắc hơn. Nhiều ví dụ nổi tiếng từ lịch sử khoa học khi, trong khuôn khổ một mô hình toán học được lựa chọn thành công, chỉ với sự trợ giúp của lý luận và tính toán, như người ta nói, “ở đầu bút,” người ta có thể hãy tưởng tượng những hiện tượng vật lý mới hoặc sự tồn tại của những vật thể vật chất mới và những ý tưởng này sau đó đã được kinh nghiệm xác nhận một cách rõ ràng hơn.
Một trong những ví dụ gián tiếp nhất về biểu diễn lý thuyết là việc phát hiện ra hành tinh Sao Hải Vương trong hệ mặt trời. Năm 1781, nhà thiên văn học người Anh William Herschel đã phát hiện ra một thiên thể mới bằng cách sử dụng telexan do chính ông chế tạo. Lúc đầu, ông dự đoán thi thể mà ông phát hiện được là một sao chổi. Nhưng một nghiên cứu kỹ lưỡng về chuyển động của vật thể này, được thực hiện bởi nhà thiên văn học người Nga Andrei Ivanovich Leksel trong hai năm, cho thấy vật thể được V. Herschel phát hiện là một hành tinh mới. Hành tinh này được gọi là phép tính quỹ đạo của Sao Thiên Vương và nhận thấy rằng chuyển động của nó không phù hợp với các tính toán lý thuyết. Ông cho rằng những bất thường trong chuyển động của Sao Thiên Vương là do sự gắn kết của một hành tinh khác chưa được biết đến trước đây, được hình thành ở khoảng cách xa hơn so với Mặt trời. Cuộc tìm kiếm hành tinh chưa biết này bắt đầu. Hơn nửa sau, J. Adams, một nhà thiên văn học người Anh, đã hoàn thành việc tính toán quỹ đạo của hành tinh mới này vào tháng 9 năm 1845 và báo cáo kết quả tính toán của mình cho giám đốc Bệnh viện Đa khoa Greenwich, J. Erie. Tuy nhiên, người sau đã không sắp xếp thời gian để tìm kiếm hành tinh mới. Đồng thời với J. Adams, những tính toán tùy tiện tương tự ở Pháp cũng được Urbain Le Verre thực hiện. Vào ngày 18 tháng 9 năm 1846, W. Lever gửi một lá thư tới Đài quan sát thiên văn Berlin, trong đó ông báo cáo vị trí của hành tinh giả định. Bức thư được nhà thiên văn học người Đức Johann Halle nhận được vào ngày 23 tháng 9 năm 1846. Tối hôm đó, I. Galle đã phát hiện ra hành tinh này. Nó nằm ở vị trí được tính toán chỉ cách đó 52 phút cung.
Sự trình bày lý thuyết về một hành tinh thực sự mới, Sao Hải Vương, là một thắng lợi của tư tưởng khoa học thế kỷ 19.
Nhiều ví dụ về những ý tưởng như vậy sau đó đã xuất hiện. Có lẽ đáng kính trọng nhất là lịch sử ra đời và phát triển của lý thuyết trường điện từ. Trong lịch sử vật lý, người ta coi rằng công trình cơ bản nhằm xây dựng lý thuyết động lực của trường điện từ là công trình cơ bản của nhà vật lý xuất sắc người Anh J. Maxwell “Lý thuyết động lực học của trường điện từ” (1864). Trong đó, Maxwell đã viết một hệ phương trình vi phân liên hệ một cách định lượng các giá trị đã biết trước đó của điện trường và từ trường. Một hệ thống hài hòa của phương trình Maxwell
6
Vella đã đưa ra nhiều dự đoán và sau đó đã được xác nhận. Bài học quan trọng nhất rút ra từ lý thuyết của Maxwell là việc xác lập bản chất điện từ của ánh sáng. Việc tia sáng không gì khác hơn là sóng điện từ tần số cao đã được chứng minh bằng một thử nghiệm thực nghiệm chưa được trình bày của nhà vật lý người Đức Hertz.
Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ khác từ thời gần đây. Vào tháng 1 năm 1983, tại Geneva, tại Tổ chức Nghiên cứu Hạt nhân Châu Âu, việc phát hiện ra một phần mới đã được công bố - boson W *). Việc phát hiện ra phần này đã được mong đợi từ lâu - sự tồn tại của nó đã được dự đoán từ vài năm trước. Boson là “nhân vật chính” của lý thuyết tương tác điện yếu, một lý thuyết thống nhất về các quá trình điện từ và yếu (các tác giả của nó là S. Weinberg, S. Glashow và A. Salam đã nhận được giải Nobel năm 1979). Lý thuyết này dự đoán không chỉ sự tồn tại của boson W mà còn cả khối lượng của chúng. Quá trình chuẩn bị cho các thí nghiệm kéo dài hai năm, và cuối cùng những chiếc bazon đầu tiên đã được đăng ký cùng với các nhạc cụ. Hiện tượng này cực kỳ hiếm - và trong hai tháng vận hành hệ thống lắp đặt, chỉ có sáu trường hợp boson W được ghi nhận. Điều đáng chú ý nhất là các ước tính thực nghiệm về khối lượng của bộ phận hóa ra rất gần với lý thuyết - thực tế nằm trong giới hạn độ chính xác thực nghiệm. Vì vậy, lý thuyết về tương tác điện từ và yếu đã nhận được sự chứng minh bằng thực nghiệm.
Trong vật lý toán học hiện đại, người ta thường sử dụng lý thuyết để thiết lập một số hiệu ứng vật lý nhất định, sau đó xác nhận những hiệu ứng này trong các thí nghiệm. Các nhà toán học và vật lý xuất sắc đã nhiều lần nói về ảnh hưởng to lớn này của toán học đối với vật lý. Vì vậy, tại Đại hội các nhà toán học thế giới năm 1900, nhà toán học vĩ đại người Đức D. Hilbert, khi đưa ra các bài toán nổi tiếng của mình (dùng tên “các bài toán của Hilbert”), đã gọi bài toán này là “sự tiên đề hóa của các ngành khoa học vật lý trong đó toán học đóng một vai trò quan trọng”. Việc hình thành bài toán này, mâu thuẫn với các bài toán then chốt khác của toán học “thuần túy”, chứng tỏ vai trò quan trọng mà Hilbert gắn với toán học đối với sự tiến bộ của vật lý, đối với việc hình thành lý thuyết của nó. Ý tưởng tương tự đã được V. A. Steklov thể hiện vào năm 1921, biện minh cho nhu cầu hiện nay về việc tổ chức một viện vật lý và toán học tại Viện Hàn lâm Khoa học: “Không một ngành khoa học tự nhiên nào, nếu nó không phải là về chất liệu của chính nó, mà là về sự sáng tạo thực sự, có thể hoạt động mà không cần đến toán học, vấn đề của tất cả các ngành khoa học. Đối với vật lý, vốn được đặt trước tất cả các ngành khoa học khác…, hiện nay toán học và vật lý đã hợp nhất thành một tổng thể đến mức đôi khi khó có thể phân biệt đâu là toán học kết thúc và đâu là vật lý bắt đầu.”
Nhà vật lý lý thuyết và toán học xuất sắc P. Dirac thậm chí còn nói chắc chắn hơn trong một bài báo nổi tiếng năm 1930, trong đó ông dự đoán về mặt lý thuyết sự tồn tại của phản hạt: “Sự tiến bộ của vật lý đòi hỏi việc xây dựng lý thuyết của nó ngày càng nhiều toán học “cao cấp” hơn… Có vẻ như quá trình trừu tượng hóa liên tục này sẽ tiếp tục trong tương lai và rằng sự thành công của vật lý phải dựa phần lớn vào những sửa đổi và khái quát hóa liên tục của các tiên đề trên cơ sở toán học…”
*) Về điều này, xem bài “Mở phần mới” («Kvant», 1983, số 5).