2
Роль
математической
физики
в современной науке
Академик
В. С. ВЛАДИМИРОВ,
доктор физико-математических наук
А. С. МИШЕНКО
Едиство природы обнаруживается в «позицительной аналоциности» дифференциальных уравнений, относится к разным областям явлений.
В. И. Лен и н. «Материализм и эмпириокритиизм»
Уже само название «математическая физика» говорит о том, что эта дисциплина занимает как бы промежутную область между математикой и физикой, находясь под непосредственным и сильным влиянием как той, так и другой. Чем же конкретоно занимается эта «промежутная область» науки? Говоря коротко и, может быть, не совсем понятно, на этот вопрос можно ответить так: «Matематическая физика — это теория математических модели физических явлений». Чтобы понять это краткое определение, обратимся к некоторым (хорошо известным школьникам) примерам таких математических модели.
Описывая закономерности движения твердых тел, физики формулируют второй закон Ньютона: ускорение материального тела прямо пропционально сумме всех сил, действующих на данное тело.
Как использовать на практике второй закон Ньютона? Пусть твердое тело настоящего малого, что его положение в трехмерном пространстве задается одной точкой. Если в пространстве физирована некоторая декартова система координат, то точка, а значит, положение твердого тела определяется темя числами — координатами точки x, y, z, или, что то же самое, положение твердого тела определяется вектором в трех-
4
шero математика XVIII века, академика Российской академии наук Л. Эйлера. Это задачи о количеях струн и распространении звука, гидравлика и гидродинамика, сопротивление материалов, оптика, электричесво, магнетизм и многое другое.
Характерной особенность этих методов является построение математических моделей в виде дифференциальных уравнений в частиных произвольных — уравнений, в которых входят неизвестная функция, зависящая не от одной, а от нескольких переменных, и ее частные произвольные (то есть произвольные по отдельным переменным). Поэтому такие уравнения иногда называют уравнениями математической физики, хотя в настоящее время арсенал математических средств, используемых в математической физике, им не исчерпывается.
В XIX веке большой вклад в развитие и идеи методов математической физики внесли русские учены М. В. Острогадский (1801—1862), П. Л. Чебышев (1821—1892), А. М. Ляпунов (1857—1918), Н. Е. Жуковский (1847—1921), В. А. Стеклов (1864—1926) и С. А. Чаплгиин (1869—1942).
Замечательный русский и советский математик, создатель Петербургской школи математической физики В. А. Стеклов так писал о классической математической физике в 1922 году:
«Решение задач математической физики приводится к определению одной или нескольких величины, характеризующих тот или иной физический процесс, совершающего в данной среде (в данном теле) зависяности от положения каждой точки этой среды и времени при помощи одного или нескольких дифференциальных уравнений.
Эти уравнения выводятся при помощи небольшего числа возможных простых гипотез, которые полагаются в основу теории каждой физической и представляют как результат обобщения длинного ряда оптов и наблюдай над физическим процессами, которые делятся в逮ительно проискодят в окружающей нас природа или создаются искусственно.
В результате такого отвлечения (обобщения) создается небольшое число основных положений (гипотез), которые должны быть независимы между собой и не противоречит ни одному из известных в данной время фактов действительности.
Эти гипотезы полагаются в основу теории того или иного физического явления, и все теории развивается затем детективно при помощи аксиом математики и основных законов обещей механики по методам дифференциального и интегрального искусственности.
Таким путем, по физическим данным каждой задачи, составляют дифференциальные уравнения, характеризующие существо расматриваемого процесса для каждой точки среды и для каждой момента времени.
Задача сводится к определению в функции времени, координат каждой точки среды, в котором происходит изучаемое явление, и величины, определяющих физические свойства среды, тех неизвестных, которые фигурируют в полученных дифференциальных уравнениях, то есть к интеграрованию этих уравнений.
При этом получаем таким путем решения должно удовлетворять всем данным, которые получаются как результат непосредственного наблюдания над изучаемым процессом».
Еще больше развитие получила математическая физика в XIX веке и в нашем, двацатом. Расширяется число физических явлений, изучаемых методами математической физики: теплопроводность, диффузия, оптика, электродинамика, нелинейные волновые процессы, квантовая физика и теория относительности. Расширяется и область математики, применяемая при построении математических моделей. Кроме дифференциальных уравнений для исследования задач математической физики служат интегральные уравнения, выраженное исчисление, теория функций, функциональной ana-
5
лиз, теория вероятностей, приближенные и численные методы.
Математическая физика сегоднянего дня благодаря своим глубоким связи с всеми разделами математики занимает центральную, центральную роль в общирномздании современной математики.
Своими темными связями с физкой и другими естественными науки математическая физика всегда привлекала внимание многих крупных ученых. Этот она стимулировала развитие математики. Хорошо известно, что в течение последнего десятилетия многие крупные представители «числой» математики стали заниматься математической физикой. Однако обратное влияние математики на физку часто недооценивается. Быут заблуденное, «что настоящая» математика не имеет ничего общего с решением проблем, интересных для практики», что математика нужна физике только как средство для вычисления, что физика нужна только «упрощенная» математика, что можно даже обойти одним лишь компьютером. На самом деле математики города глубже. Хорошо известны многие примеры из истории науки, когда в рамках удачного выбранной математической модели, с помощью только расужений и вычислений, как говорят, «на кончке пера», удавалось представить новые физические явления или существование новых физических объектов. И эти представления последствии блестише подтвердились на опыта.
Одним из наиболее замещательных примеров теоретического представления является открытие планеты Нептун Солнечной системы. В 1781 году английский астроном Вильям Гершель обнаружил с помощью построенного им самим телексана новое небесное тело. Вначале он предоплал, что обнаруженное им тело является кометой. Но тщательно изучение движения этого объекта, которое в течение двух лет проводил русский астроном Андрей Иванович Лексель, показало, что обнаруженное В. Гершелем тело является новой планетой. Этот планету называли вычисления орбиты Урана и обнаружил, что ее движение не согласуется с теоретическими расчетами. Он высказал предположение, что неправильности в движении Урана вызываются приженением еще одной неизвестной ранее планеты, образующейся на более далеком расстоянии от Солнца. Начальись поиск этой неизвестной планеты. Спустя более половина Дж. Адамс, английский астроном, в centябре 1845 года закончил вычисления орбиты этой новой планеты и сообщил результат своих вычислений директору Гринвичской общеватории Дж. Эри. Однако последний не организовал свое время поиск новой планеты. Одовременно с Дж. Адамсом аналогичные вычисления произвольного во Франции Урбен Леверь. 18 сентября 1846 года У. Леверь отправил в Берлинскую астрономическую общеватorio письмо, в котором сообщил местоположение гипотетического планеты. Письмо было получено немецким астрономом Иоганном Галле 23 сентября 1846 года. В тот же вечер И. Галле обнаружил планету. Она находилась в вычисленного места всего в 52 угловых минутах.
Теоретическое представление существенно новой планеты Нептун явилось триумфом научной мысли XIX века.
Примеров таких представлений последствии появилось очень много. Пожалуй, наиболее почтательной является история возникновения и развития теории электромагнитного поля. В истории физики считается, что основополагающей работой, посвященной созданию диамической теории электромагнитного поля, являетсяfundamentalная работа выдающегося английского физика Дж. Максвелла «Динамическая теория электромагнитного поля» (1864 г.) В ней Максвелла написал систему дифференциальных уравнений, которые количественно связывают воедно известные до этого величины электрического и магнитного полей. Стройная система уравнения Максвелла
6
велла дала многочисленные предсказания, которыеlectraшие подтвердились впоследствии. Самый важный выбор из теории Максвелла заключается в установлении электромагнитной природы света. То, что световые лучи являются ничем иным, как электромагнитными волнами высокой частоты, было проведены доказано непредставенной экспериментальной проверкой немецким физиком Герцем.
Приведем еще пример, относящийся к самому последнему времени. В января 1983 года в Женеве, в Европейской организации ядерных исследований, было объявлено об открытии новой части — W-бозона*). Открытие этой части давно уже ожидалось — ее существование было предсказано несколько лет назад. Бозоны — «главные действующие лица» теории электрослабого взаимодействия, единой теории электромагнитных и слабых процессов (ее авторы С. Вайнберг, Ш. Глэшоу и А. Салам получили Нобелевскую премию 1979 г.). Теория предсказала не только сам факт существования W-бозонов, но и их массу. Подготовка к опытам длилась два года, наконец приборами были зарегистрированы первые базоны. Явление этого чрезвычайно редкое — и за два месяца работы установки было зарегистрировано лишь шесть случаев W-бозонов. Самое замечательное, что опытные оценки массы части оказылись очень близкими к теоретическим — практическим нахождением в пределях точности эксперимента. Таким образом, теория электромагнитного и слабого взаимодействия получила экспериментальное обоснование.
В современной математической физике стало привчным установить те или иные физические эффекты с помощью теории, а потом подтверждать эти эффекты в экспериментах. Об этом огромном влиянии математики на физку недократно высказывались выдающие учены математики и физики. Так, на Всемирном конгрессе математиков в 1900 году великий немецкий математик Д. Гильберт, выдвигая свои знаменитые математические проблемы (воспользушись названия «проблем Гильберт»), назвал б-то проблему об «аксиоматизация тех физических наук, в которых важную роль играет математика». Постановка этой проблемы, нарушу с другими узловыми проблемами «чистой» математики, свидетельствует о той важной роли, которую Гильберт придавал математике для прогресса физики, для ее теоретической формулировки. Ту же мысль выразил В. А. Стеклов в 1921 году, обосновывая настоящее необходимость организации при Академии наук физико-mатематического института: «Ни одна из естественных наук, если дело идет не о собственном материале, а о действительном творчестве, не обойдется без математики, материи всех наук. Что же касается физики, поставленной впереди всех других наук, …, то в настоящее время математика и физика до такой степени слились в одно целое, что иногда трудно отделить — где кончается математика и начинается физика».
Еще более определенно сказал выдающийся физик-теоретик и математик П. Дирак в известной статье 1930 года, в котором он теоретический предсказал существование античасти: «Прогресс физики требует для ее теоретической формулировки все более «высокой» математики… Кажется вероятным, что этот процесс непрерывного абстрагирования будет продолжаться и в будущем и что успех физики должен в большой степени опираться на непрерывные модификации и обобщения аксиом на математическом основе…»
*) Об этом см. статью «Открытие новой части» («Квант», 1983, № 5).