Решения задач М821, М822, М824, М825; Ф800, Ф833—Ф836

38

Решения задач
M821, M822, M824, M825*); Ф800, Ф833—Ф836

М821. Решите уравнение
$$x^3 + x^2 + x = -\frac{1}{3}.$$

Перепишем уравнение в виде $3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$; получаем сумма кубов: $(x+1)^3 + 2x^3 = 0$. Запишем ее в виде $(x+1)^3 = -2x^3$ и извлечем кубический корень из обеих частей: $x+1 = -x\sqrt[3]{2}$; отсюда $x = -\frac{1}{1 + \sqrt[3]{2}}$.

Ю. И. Ионин

М822. Карточки четырех цветов — п зеленьх, п красных, п синих и п желтых — сложены стопкой так, что через четыре карточки цвет повторяется (например, 1-я, 5-я, 9-я, …, (4n—3)-я карточки — красные, 2-я, 6-я, …, (4n—2)-я — желтые и т. д.).
Неколько карточки сверху сияли, не перекладывая перевернули и произвольным образом встали между осташимися. После этого стопку разделили на п маленьких стопок по четыре карточки. Доказите, что в каждой из этих четырех встретиется карточки всех четырех цветов.

Занумерумем цвета карточек чисlam们 1, 2, 3, 4 таким образом, чтобы первоначально расположению карт в колоде соответствовала последовательность
12341234…1234

(левый конец этой последовательности соответствует низу колоды, правый — ее верху).

Мы делим колоду на две части так, как показано на рисунке 1, после чего карточки части II переворочиваем и произвольно встали между карточками части I. В новой колоде в первой (снизу) четверке будет $k$ карточки из начала части 1 (1, …, $k$) и $4-k$ карточки из конца части II ($k+1$, …, $4$) — см. рисунок 2; очевидно, что при этом каждой цвет будет представлен по разу. Остатки частей I и II (без первой четверки карточек) примут вид, показанный на рисунке 3. Прежде чем дивигаться данные, переумерумем цвета: $(k+1)$-й цвет получит номер 1, $(k+2)$-й цвет — номер 2, …, 4-й номер — номер $(4-k)$, 1-й цвет — номер $(4-k)+1$, …, $k$-й цвет — номер 4.

Рис. 1.
1234 … 1234 1 … s
11 s+1 … 4 1234 … 1234

Рис. 2.
1234 1234 … 1 … t
11 t+1 … 4 1234 … 1234

Рис. 3.
После этого части, изображенные на рисунке 3, будут выглядеть, как в самом начале, только номер $s$ заменится каким-то номером $t$ (рис. 4). Во второй четверке новой колоды (см. снова рисунок 2) будет $l$ карточки из части I (новые номера 1, …, $l$) и $4-l$ карточки из части II (новые номера $l+1$, …, $4$) — и снова каждой цвет будет представлен по разу. И так далее. Когда в новой колоде останется всего четыре карточки (каждую рассмотренную четверку карточки мы всякий раз убираем в новую стопку), часть I (точнее, её «остаток») будет иметь вид 1, …, $u$, часть II — вид $u+1$, …, 4, где $u$ — номер, который после всех переумеризации получит цвет, имеющий начальное номер $s$. И в этой последней четверке снова будет представлен все цвета.

С. Б. Шлюсман

М824. В сетке, изображенной на рисунке 1, каждая ячейка имеет размер $1 \times 1$. Можно ли эту сетку представить в виде объедининия $a)$ 8 ломанных длины 5; 6) 5 ломанных длины 8?

◆ a) Можно. Обозначим некоторые узлы сетки, как показано на рисунке 2. Тогда наша сетка распадается в объедининие восемми ломанных длины 5: $AR_1S_1$, $R_1R_2S_2$, $R_2R_3S_3$, $R_3BC$, $AP_1Q_1$, $P_1P_2Q_2$, $P_2P_3Q_3$, $P_3DC$. Есть и другие способы.

*) Задачка M823 будет решена на «Геометрический страничке» в одном из следующих номеров «Квана».

39

М825. Множество M состоит из k попарно непересекающихся отрезков, лежащих на одной прямой. Известно, что любой отрезок длины, не больше 1, можно расположить на прямой так, чтобы концы его принадлежали множеству M. Доказите, что сумма длины отрезков, составляющих M, не меньше 1/k.

Ф800. Схема состоит из конденсатора emkoctи C, диодов D1 и D2 и катушки с индуктивностью L1 и L2, собранных, как показано на рисунке 1. Найти перiod колбающий напряжение на конденсаторе в этой схеме.

Рис. 1.

Рис. 2.

6. Нельзя. Заметим, что суммарнаялина наших ломанных равна суммарной длине всех линей сетки, так что ломанные не могут давать в обедении всю сетку и в то же время пересекаются по отрезку прямой. Поэтому в каждой из точек R1, R2, R3, Q1, Q2, Q3, S1, S2, S3, P1, P2, P3 образательно должны расположаться конец хотя бы одной ломанной. Так как концов всего 12, ломанных должны не менше шести.

Н. И. Авилов

◆ Будем считать, что множество M расположено на числовой прямой и составлено из отрезков [a1, b1], [a2, b2], …, [ak, bk], a1 < b1 < a2 < b2 < … < bk; Длины этих отрезков обозначаем, соответствующим, δ1, δ2, …, δk. Для каждой пары номеров i и j (1 ≤ i ≤ j ≤ k) через Mij обозначаем множество длини отрезков с концами, лежащими на отрезках [ai, bi], [aj, bj]. Эти множества, очевидно, на числовой прямой образуют отрезки, длины которых равны δi, если i = j, и δi + δj, если i < j. По условияю задачи сумма длины отрезков не меньше 1. Следовательно, δ1 + (δ1 + δ2) + … + (δ1 + δk) + δ2 + (δ2 + δ3) + (δ2 + δ4) + … + δk ≥ 1.

В сумме, написанной в левой части неравенства, каждое δj (j = 1, …, k) встречает k раз. Таким образом, k (δ1 + δ2 + … + δk) ≥ 1, откуда δ1 + δ2 + … + δk ≥ 1/k, что и требовалось.

Е. И. Хухро

◆ Эта задача довольно сложная, и разобраться в ней нам помогет анализя с механическими колбациями.

Нужная нам механическая система изображена на рисунке 2. Это два бруска с массами m1 и m2, лежащие на гладкой горизонтальной плоскости и соединенные пружиной с жесткостью k. Каждый из брусков снабжен стором, позволяющим ему свободно движаться вправо, но не допускающим движения впево. Koординаты брусков в начальной момент обозначаем x1 и x2’, где x2’ = l + x2, l — длина нераспятой пружины.

Установим соответствие электрических и механических величины в наших колбационных системах.

Пусть положительному заряду Q на пластине A конденсатора соответствует растяжение пружины на длину x. Изменение x возможно за счет смешения каждого из брусков: x = x2 — x1; скорость удлинения пружины определяется разностью скоростей брусков: Δx/Δt = v2 — v1. Аналогичным образом скорость изменения заряд Q определяется разностью токов, протекающих по катушкам: ΔQ/Δt = I2 — I1. Стороны S1 и S2 допускают скорости лишь одного знака: v1 > 0, v2 > 0; аналогично диоды D1 и D2 пропускают токи лишь в одном направлении. Энергия конденсатора Q²/2C соответствует потенциальная энергия пружины kx²/2 (а величине 1/C, обратной емкости, — жесткость пружины k). Кинетические энергии брусков m1v1²/2 и m2v2²/2 соответствуют энергиям магнитных полей в катушках L1I1²/2 и L2I2²/2.

Как будет дивгаться механическая система, если только вправо или сместить один оба бруска? Если бы не стороны, то движение свелось бы к наложению (суперрозицини) поступательного движения с постоянной скоростью V и колбацией:

v1 = V + v10 cos(ωt + φ), v2 = V - v20 cos(ωt + φ). (*)

В некоторых моментах какая-либо из скоростей, v1 или v2, обращается в нуль; затем, как следует из (*), эта скорость должна быть отрицательной. В этот момент в игру вступает соответствующий стопор, и один из брусков оста-

41

относительно Земли, когда коробка уже не движется относительно транспорта, то есть $|\vec{AC}| = v_0$. За время просkalывания коробки по ленте транспорта вектор ее скорости относительно Земли опшет отрезок BC. Минимальным значением этой скорости будет тогда, когда она будет направлена вдоль перpendикуляра к отрезку BC. Следовательно (см. рисунок),

$$u_{\min} = |\vec{AD}| = \frac{u_0 v_0}{\sqrt{u_0^2 + v_0^2}} \approx 0,9 \text{ m/c.}$$

С. С. Кротов

Ф834. На очень длинной неевесомой нити подвешен к потолку шарик массы $m_1 = 0,1$ кг, к нему прекреплен на нити длины $l = 0,2$ м шарик массы $m_2 = 0,05$ кг. Нижнему шарику толком сообщают скорость $v_0$ в горизонтальном направлении. При какой величины $v_0$ шарики могут оказаться на одной высоте?

При очень длинной верхней нити можно считать, что верхний шарик движется по горизонтальной прямой. В тот момент, когда шарики окажутся на одной и той же высоте, то есть нижняя нить займет горизонтальное положение (см. рисунок), горизонтальная проекция скорости второго шарика будет равна скорости первого шарика. Это следует из нерастяжимости соединяющей их нити. Чтобы минимальное значение скорости $v_0$, при которой шарики окажутся на одной высоте, нужно считать, что в этот момент вертикальная проекция скорости второго шарика равна нулю (то есть скорости $v$ общих шариков равны и направлены горизонтально).

Все действующие на системе внешние силы (наяжение верхней нити и силы тяжесте) направлены по вертикали. Поэтому горизонтальная проекция полного импульса системы сохраняется:

$$m_2 v_0 \min = (m_1 + m_2) v.$$

Отсюда

$$v = v_0 \min \frac{m_2}{(m_1 + m_2)}.$$

Согласно закону сохранения механической энергии,

$$\frac{1}{2} m_2 v_0^2 \min = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + m_2 gl.$$

Подставляя в это уравнение найденное выражение для $v$, находим

$$v_0 \min = \sqrt{2 gl \left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)}.$$

Подставляя числовые данные, получаем

$$v_0 \min = \sqrt{3 gl} \approx 2,4 \text{ m/c.}$$

В пределном случае $m_2 \ll m_1$ верхний шарик остается неподвижным, и, чтобы нижний шарик поднялся на высоту $l$, ему нужно сообщить скорость $v_0 = \sqrt{2 gl}$.

Е. И. Бутиков

Ф835. В стакан с водой опустили нарезаватель и силизависимость температуры воды от времени (таблица 1). 1) На сколько градусов остынет вода за 1 мин, если нарезаватель отключить от сети при температуре $t_1 = 50^\circ\text{C}$? 2) Закипит ли вода, если нарезаватель не выключать достагоно долю? Мощность нарезавателя считать неизмененной.

Будем считать, что мощность, которой нарезаватель отделяет воде, не меняется, а температура воды увеличивается неравномерно за счет увеличения теплотадачи с ростом температуры. Чтобы учесть влияние теплотадачи, проследим, как меняется приращение $\Delta t$ температуры за 1 минуту работы нарезавателя в зависимости от температуры воды ( температура будем брать среднюю между значениями ее в начале и в конце каждой минуты). Соответствующие данные приведены в таблице 2. Построим по этим данным график зависимости $\Delta t(t)$. Как видно из графика (см. рисунок), все точки хорошего логасяна на прямую, пересекающую ось температуры в точке $t_{\text{кр}} = 85^\circ\text{C}$. Ясно, что если даже закон теплотадачи не изменится (а с ростом температуры испарение должно увеличиться, что уvelличит теплотадачу), вода

42

нагреется только до 85°С и, следовательно, при нормальных условиях не закипит.

Из этого же графика видно, что при температуре $t_1=50^\circ\text{C}$ вода за одну минуту нагрелась на 3,5 градуса, а без теплотдачи она нагрелась бы на 6,5 градуса (температура окружающей среды 20°С). Значит, если при температуре 50°С отключить нагреватель, то за 1 мин вода остынет на 3 градуса.

А. Р. Зильберман

Ф836. Пластина А плоское конденсатора неподвижна, пластина Б прикреплена к стене пружиной и может двуцаться, оставясь параллельной пластине А (см. рисок). После замыкания ключа К пластина Б начала двуцаться и остановилась в новом положении равновесия. При этом расстояние между пластинами уменьшилось на $a_1=10\%$. На сколько изменилось бы равновесное расстояние между пластинами, если бы ключа К замкнул на короткое время? Предполагается, что за это время пластина Б не успевает заметно сdvинуться.

Когда ключ $K$ замкнут, направление на конденсатор поддерживает постоянным и равным ЭДС $\mathcal{E}$ источника. Пусть начальное расстояние между пластинами конденсатора (когда пружина не растянута) равно $d$, а смешение пластины Б при достижении нового положения равновесия равно $x_1=a_1d=0,1d$. Заряд на конденсатор при этом будет

$$Q_1 = C_1 \mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}}{(d-x_1)},$$

где $S$ — площадь пластина конденсатора. Например, поля в конденсаторе $E_1=\mathcal{E}/(d-x_1)$. Это поле создает двумя пластинами, так что поле, создаваемое одной пластиной, имеет направленность $E_1/2$. В соответствии с этим для сил, действующих на пластину $B$, можно записать

$$\frac{E_1 Q_1}{2} = \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}^2}{2(d-x_1)^2} = kx_1$$

(к — жесткость пружины).

Рассмотрим теперь ситuation, когда ключ $K$ замкнут на короткое время. Конденсатор при этом получаем загрязнД

$$Q_2 = \varepsilon_0 S \mathcal{E}/d$$

(плastины не успели сdvинуться с места), который в дальнейшем остается постоянным. Пусть в новом положении равновесия смешение пластины $B$ равно $x_2$. тогда направленность поля в конденсаторе будет $E_2 = Q_2/C_2(d-x_2)$, где $C_2=\varepsilon_0 S/(d-x_2)$. Условие равновесия пластины $B$ запишется в виде

$$\frac{E_2 Q_2}{2} = \frac{Q_2^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{\varepsilon_0 S \mathcal{E}^2}{2d^2} = kx_2.$$

Из уравнения (1) и (2) находим $x_2$:

$$x_2 = x_1 \left(\frac{d-x_1}{d}\right)^2 = 0,081d,$$

то есть расстояние между пластинами конденсатора уменьшается на $a_2=8,1\%$.

А. И. Буздин

44

06—08, 14, 15, 17; М. Бижк (Краснодар) 06, 07, 17; С. Бойко (Винница) 07, 08, 14; В. Бряжников (Запорожье) 05—07, 15; А. Бураев (Орджонкидзе) 06; Н. Бурдейная (Винница) 05—07; О. Важевский (Москва) 06, 07; В. Вайсман (Винница) 08, 14; В. Ванцелов (Бургас, НРБ) 08, 14, 15, 17; Д. Владимиров (Новолукомль) 06—08, 17; А. Выровов (Осинники) 06—08; О. Гаврилов (Киев) 05—08, 17; Б. Галцикий (Москва) 08; В. Глазолев (Тула) 15; П. Глазырин (Воткинск) 06, 07; О. Голинский (Тамбов) 07, 08, 17; Ю. Гордиенко (Винница) 05, 08, 15; Г. Гореликов (Елец) 06, 07; С. Гребенциков (п. Черновогловка Московской обл.) 05—07, 17; М. Грибере (Краснойрск) 05—08, 14, 15, 17; И. Гришина (Елец) 06—08; Г. Данелия (Тбилиси) 08; Л. Демидова (Винница) 05—07; В. Дерендлев (Березняки) 06, 07; Г. Долюпятов (Донецк) 05—07, 11, 14, 15, 17; Е. Дубинин (с. Вострецов Пrimорского кр.) 08; А. Еричан (Ереван) 06—08; Д. Ermosшин (Москва) 08; О. Ефремов (Воронеж) 05—07, 14, 15, 17; М. Житомирский (Харьков) 05—07; Н. Жоков (Александров) 05—07; Г. Жуков (Куйбышев) 07; Р. Жмайтис (Вильнос) 05—07; Э. Заводчик (Тамбов) 06—08; А. Зайцев (Целиновград) 06; И. Зайцев (Москва) 06, 07; Д. Иванов (Оренбург) 05—07; Э. Иванов (Орджонкидзе) 06, 07; Е. Ивлева (Свердловск) 06, 07; М. Имас (Донецк) 08, 14; Б. Иричанин (Бельгард, СФРЮ) 06, 07; Л. Иосыпив (Иванов-франковская обл.) 06, 07; Т. Каталози (Кутанси) 05—07; Д. Каледин (Москва) 06, 07; И. Калииновский (Киев) 05—08, 15, 17; Е. Канцыпер (Таллин) 06, 07; В. Карасев (Алма-Ата) 08, 14; А. Карнаухов (Ижевск) 05, 06; Е. Качковская (Винница) 06, 07; Ю. Кившарь (Харьков) 05—07; А. Кириценко (Москва) 07; П. Кларк (Тула) 08; А. Клишин (Киев) 05—07; М. Кыщин (Краснодар) 07; Ю. Коваль (Киев) 17; М. Козлов (Москва) 08; К. Кондратец (Киев) 05—07; А. Корбуш (Свердловск) 08; Е. Корнилова (Ефремов) 05—07; А. Коршак (Киев) 08, 11, 15; И. Коршун (Коммунарск) 05—07; А. Котляр (Минск) 06; С. Кравчук (Киев) 07, 08, 15; А. Краснов (Ташкент) 06, 08; О. Краснойров (Грозный) 06, 07, 15, 17; А. Круев (Киев) 07; И. Крылов (Куйбышев) 06; С. Ксеневич (Куйбышев) 06, 08; В. Кудашов (п. Вуктыл Коми АССР) 05—07; Д. Кузнецов (Куйбышев) 14; Д. Кузотин (Алма-Ата) 06, 07; И. Куличик (Брест) 07, 17; Д. Купцов (Москва) 05—07, 10, 14, 15, 17; И. Кухаркин (Москва) 05—08, 15, 17; С. Лауринавичус (Мажейкий) 05—07, 10, 14, 15, 17; И. Левин (Донецк) 05—07, 12; К. Липников (Ярославль) 08; А. Лихачев (Барнаул) 07; И. Лорман (Киев) 06, 07, 15; Д. Лунц (Саратов) 05—08, 14; А. Люлько (Москва) 06, 07; Б. Мавлонов (Хорезмская обл.) 06; Д. Макаров (п. Черноголовка Московской обл.) 03—17; К. Макарчук (Киев) 05—07, 15, 17; И. Мамедов (Баку) 06, 08; А. Мамырева (Москва) 05; А. Маркин (Егорьевск) 17; Л. Маркович (Минск) 06—08, 14, 15, 17; О. Маров (Канев) 06, 07, 14, 15; А. Мартишенко (Днепропетровск) 06, 07, 15, 17; С. Меднов (Калинин) 05—07; П. Милотин (Хабаровск) 06—08, 15; А. Михеев (Кимры) 06—08; К. Мишин (Днепропетровск) 06, 07, 17; П. Молодчик (Киев) 05; С. Моланов