Xin lỗi về argon

NỤ CƯỜI SỐ LƯỢNG

Thủ thuật nhỏ
những đứa trẻ

Bản gốc lời giải

• Lisa, quyết định bài toán. Bạn bảy tuổi
  và bạn của bạn Olya trẻ hơn hai tuổi.
  Ole bao nhiêu tuổi?
• Năm năm.
• Phải. Bạn đã quyết định như thế nào?
• Hôm qua tôi đã đến dự tiệc sinh nhật của cô ấy!

Thời tiết nhà bếp
Một lần nữa, mẹ lại thông báo cho cô bé Marina sáu tuổi tại sao trời lại mưa. Bây giờ tôi đưa cô ấy vào bếp:

• Nhìn đây. Khi nước sôi trong chảo, hơi nước đọng lại trên nắp và khi nguội, nước sẽ rơi trở lại vào chảo thành từng giọt. Vì thế trời sẽ mưa.
  Cô gái hỏi:
  “Cuối cùng tôi cũng hiểu tại sao trời lại mưa!” Người ta đang nấu nó đấy!

Bạn cần phải học!
Ngày nắng đẹp. Tất cả bọn trẻ đều đang chơi ngoài sân, chỉ có Lena ba tuổi là khó chịu với những hình ảnh trong sách.

• Con gái, hay đi dạo đi.
• Không, chúng ta cần học! – cô gái trả lời nghiêm túc.

ống ăn được

• Bố ơi, đây là loại xe gì thế? - Dima bốn tuổi hỏi.
  – Máy hàn.
• Anh ấy đang làm gì vậy?
• Anh ấy nấu tẩu.
• Và khi anh ấy nấu chúng, ai sẽ ăn chúng?

V. A. Mironov

Điều quan trọng là phải chính xác
Tại một cuộc hội thảo về vật lý hạt nhân, E. Fermi, sau khi chỉ ra sự phụ thuộc của tiết diện hiệu dụng của sự tán xạ neutron vào năng lượng của chúng, đã vẽ biểu đồ sau trên dock:

Sau đó anh ngẫm nghĩ, lấy trong túi ra một thước trượt nhỏ, nhanh chóng thực hiện một số phép tính và với dòng chữ “a little concept” đã xóa đi đường cong cũ và vẽ một đường cong mới.

Sau một phút im lặng, khán giả bật cười (không nhập giá trị số nào vào cả hai biểu đồ). Lúc đầu Fermi không hiểu chuyện gì đang xảy ra, nhưng sau đó anh mỉm cười đầy ẩn ý và tiếp tục bài giảng của mình.
(Dựa trên tài liệu từ Tạp chí Vật lý Hoa Kỳ, 1976, câu 44, số 3, trang 235.)

Xin lỗi về argon
Khi vào năm 1895, các nhà khoa học người Anh Rayleigh và Ramsay phát hiện ra khí trơ đầu tiên - argon (vì phát hiện này sau đó họ đã được trao giải Nobel) và giới thiệu cột “không” cho các khí hiếm trong bảng tuần hoàn, hầu hết các nhà khoa học đều nghi ngờ về thành tựu này. Rayleigh cực kỳ kiên nhẫn và đúng đắn trả lời: “Không còn nghi ngờ gì nữa, kết quả rất kỳ lạ. Quả thực, tôi thấy một số dấu hiệu cho thấy các đặc tính dị thường của argon sẽ được khắc phục như một dạng cáo trạng chống lại chúng tôi. Nhưng chúng tôi đã làm việc rất tận tâm. Sự thật vẫn bám chặt lấy chúng tôi, và tất cả những gì chúng tôi có thể làm bây giờ là xin lỗi cho bản thân và cho khí đốt.”
(Dựa trên tài liệu từ tạp chí “Uspekhi Fizicheskikh Nauk”, 1966, tập 88, số 1, trang 149.)

54

góc tam diện tại các điểm A, B và C, có đoạn OA và OB có độ dài bằng nhau, đoạn OC ngắn hơn đoạn OA. Biết độ lớn của góc hai granim giữa mặt phẳng α và mặt OAB bằng β. Hai quả cầu đặt ở hai phía đối diện của mặt phẳng α sao cho mỗi quả cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của góc tam diện và mặt phẳng α. Tìm thấy:

1. góc giữa đường thẳng đi qua tâm các quả cầu và mặt phẳng OAB,
2. tỷ lệ bán kính của các quả bóng được chỉ định.

Tùy chọn 4
(Khoa Hóa học)

1. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 4 \sin x = 2 + \sqrt{2} (1 - \sin x).$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\left(\sqrt{x^2 - 4x + 3} + 1\right) \log_5 \left(\frac{x}{5}\right) + \frac{1}{x} \left(\sqrt{8x - 2x^2 - 6} + 1\right) \leq 0.$$
3. Một lăng trụ tam giác $ABCA'B'C'$ có đáy dưới $ABC$ và các cạnh bên $AA', BB', CC'$ bị cắt bởi một mặt phẳng đi qua các điểm E, F, C, trong đó điểm E là giữa cạnh AA’, điểm F nằm trên cạnh BB’ và $|BF|:|FB'| = 1:2$. Tìm thể tích phần lăng kính $ABCA'B'C'$ nằm giữa mặt phẳng cắt và đáy dưới của lăng kính này, biết thể tích của lăng kính bằng V.
4. Tìm tọa độ của điểm nằm trên đồ thị của hàm $y = 1 + \cos x$ tại $0 \leq x \leq \pi$ và cách đường $x\sqrt{3} + 2y + 4 = 0$ ít nhất.
5. Giá trị của các biến x, y là số thực. Tìm tất cả các giá trị nguyên của n sao cho hệ phương trình
   $$\left\{ \begin{array}{l} 6x^2 + 24y(x + y) + 2(3n - 2)x + 4(3n - 2)y + 3 = 0, \\ 4(x^2 + y^2) + (4n + 2)y + 2n^2 = 8xy + (4n + 2)x + \frac{5}{2} \end{array} \right.$$
   có lời giải. Cho các giá trị nguyên tìm được của n, hãy tìm tất cả lời giải của hệ này.

Tùy chọn 5
(Khoa Sinh học)

1. Giải phương trình
   $$4 \cos^3 x + 3\sqrt{2} \sin 2x = 8 \cos x.$$

2. Tìm tất cả các giá trị của x mà hàm tùy ý
   $$y(x) = 3x^3 \cdot \ln x - 36x \cdot \ln x - 7x^3 + 108x$$
   bằng không.

3. Giải bất đẳng thức
   $$8 + 6|3 - \sqrt{x + 5}| > x.$$

4. Diện tích của hình thang $ABCD$ là 6. Gọi E là giao điểm của các cạnh bên mở rộng của hình thang này. Một đường thẳng được vẽ qua điểm E và giao điểm của hình thang chéo, cắt cạnh đáy BC nhỏ hơn tại điểm P và đáy lớn AD tại điểm Q. Điểm F nằm trên đoạn EC và $|EF|:|FC| = |EP|:|EQ| = 1:3$. Tìm diện tích tam giác EPF.

5. Tìm tất cả các giá trị của b thỏa mãn cả hai bất đẳng thức
   $$2b \cdot \cos 2(x - y) + 8b^2 \cdot \cos(x - y) + 8b^2(b + 1) + 5b < 0,$$
   $$x^2 + y^2 + 1 > 2bx + 2y + b - b^2$$
   đúng với mọi x và y.

Tùy chọn 6
(Khoa Bưu chính)

1. Lĩnh vực này được chia thành ba phần. Trong ngày, một nửa thửa thứ nhất và 3/4 thửa thứ hai đã được cày, thửa thứ ba, chiếm 1/4 toàn bộ thửa ruộng, đã được cày hết. Diện tích ruộng cày mỗi ngày lớn gấp đôi diện tích thửa thứ hai. Diện tích được rửa sạch trong một ngày là bao nhiêu phần diện tích?
2. Giải phương trình
   $$\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \cos 2x = 1.$$
3. Tìm x, y thực thỏa mãn hệ phương trình
   $$\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 1 = 3, \\ 4x + 4y = 32. \end{array} \right.$$
4. Cho tam giác ABC, phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại điểm K. Biết |BC| = 2, |KC| = 1, |BK| = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Tìm diện tích tam giác ABC.
5. Tìm tất cả các giá trị của α thỏa mãn điều kiện 2 < α < 5 và phương trình nào
   $$\log_2(3 - |\sin \alpha|) = \cos \left(\pi x - \frac{\pi}{6}\right)$$
   đối với x có ít nhất một lời giải thỏa mãn điều kiện 2 ≤ x 3.

Tùy chọn 7
(khoa địa lý)

1. Giải phương trình
   $$\cos^2 2x - 5 \sin^2 x + 1 = 0.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2(\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x + 1}) + 1.$$
3. Trên cạnh AC của tam giác vuông ABC, vẽ một đường tròn cắt cạnh huyền AB tại điểm K. Tìm diện tích tam giác CKB nếu độ dài cạnh AC bằng b và giá trị của góc ABC bằng β.
4. Giải quyết hệ thống
   $$\left\{ \begin{array}{l} 2|x^2 - 2x - 3| - \log_2 3 = 3^{-y - 4}, \\ 4|y| - |y - 1| + (y + 3)^2 \leq 8. \end{array} \right.$$
5. Mỗi cạnh của đường thẳng tam giác và ABCD có độ dài 1. Lấy điểm P trên cạnh AB, điểm Q trên cạnh BC và điểm R trên cạnh CD sao cho độ dài đoạn AP là $\frac{1}{2}$, độ dài đoạn BQ là $\frac{1}{3}$ và độ dài đoạn CR là $\frac{1}{3}$. Mặt phẳng PQR cắt đường thẳng AD tại điểm S. Tìm góc giữa đường thẳng SP và SQ.

55

Tùy chọn 8
(Khoa Vật lý Địa cầu, Khoa Địa chất)

1. Tìm tất cả các phương trình lời giải thực
   $$(x+1)\sqrt{16x+17}=(x+1)(8x-23).$$

2. Trong tam giác $ABC$, góc $BAC$ là đường thẳng, độ dài cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt bằng 1 và 2. Các bissertis của góc $ABC$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $L$, $G$ là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $ABC$. Cái nào dài hơn, chiều dài $BL$ hay chiều dài $BG$?

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{\sin \frac{\pi}{3}}(x^2-3x+2) \geq 2.$$

4. Tìm tất cả các cặp số thực $x$ và $y$ thỏa mãn hệ phương trình
   $$\begin{cases} 3\sin 3x+\cos y=-4, \\ x+y=\frac{3\pi}{2}. \end{cases}$$

5. Theo lịch trình, thuyền đi dọc sông, tốc độ hiện tại là 5 km/h, quãng đường từ $A$ đến $D$ dài 15 km trong 1 giờ. Đồng thời, rời điểm $A$ lúc 12 giờ, anh đến các điểm $B$ và $C$, cách $A$ ở khoảng cách lần lượt là 11 km và 13 km vào lúc 12 giờ 20 và 12 giờ 40. Được biết, nếu thuyền di chuyển từ $A$ đến $D$ mà không dừng lại với tốc độ không đổi $v$ (so với nước), thì tổng các giá trị abscille của độ lệch so với lịch quy định tại các điểm $B$, $C$, $D$ sẽ không vượt quá thời gian giảm nửa giờ, cần thiết để thuyền đi với tốc độ 5 km $v$ trong nước đọng. Điểm nào - $A$ hoặc $D$ - nằm ở thượng nguồn?

6. Ở đáy của paramid $SABC$ là một tam giác đều $ABC$, trong đó độ dài các cạnh $AB$ và $AC$ bằng 1 và cosin của góc $BAC$ là $\frac{4}{5}$. Cạnh $SA$ vuông góc với cạnh $AB$ và $AC$, góc $BAC$ lớn gấp đôi góc $BSC$. Bên trong paramid có một hình trụ tròn thẳng, ma trận sinh của nó là paramedna $BC$. Diện tích bề mặt bên có thể có nhất của một hình trụ như vậy là bao nhiêu?

Tùy chọn 9
(Khoa Địa chất tổng hợp, Khoa Địa chất)

1. Tìm tất cả các phương trình lời giải thực
   $$(x+1)\sqrt{x^2+x-2}=2x+2.$$

2. Trong tam giác $ABC$, góc $BAC$ là đường thẳng, độ dài cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt bằng 1 và 3. Điểm $K$ chia cạnh $AC$ theo tỷ lệ 7:1, tính từ điểm $A$. Cái nào dài hơn, chiều dài $AC$ hay chiều dài $BK$?

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_3(5x^2+6x+1) \leq 0.$$

4. Tìm tất cả các cặp số thực $x$ và $y$ thỏa mãn hệ phương trình
   $$\begin{cases} \cos 4x+\sin 2y=-2, \\ x-y=2\pi. \end{cases}$$

5. Xe buýt đi qua đường $AE$ gồm các đoạn $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ với chiều dài lần lượt là 10 km, 5 km, 5 km, 6 km. Đồng thời, theo lịch trình, xuất phát điểm $A$ lúc 9 giờ, vượt qua điểm $B$ lúc 9 $\frac{1}{5}$, điểm $C$ lúc 9 $\frac{3}{8}$, điểm $D$ lúc 9 $\frac{2}{3}$.

Xe buýt phải di chuyển với tốc độ không đổi bằng bao nhiêu $v$ sao cho tổng giá trị abscille ​​của những sai lệch so với lịch trình quy định tại các điểm $B$, $C$, $D$ không vượt quá thời gian giảm đi nửa giờ cần thiết để thuyền đi được 5 km với tốc độ $v$ trong nước yên lặng. Rằng khoảng cách từ tâm của đáy dưới đến cạnh $BC$ là 11 $\frac{1}{16}$ độ dài đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$. Tìm thể tích của paramid $SABC$.

Tùy chọn 10
(chuyên ngành “Khoa học kinh tế” và “Kế hoạch kinh tế quốc dân” của Khoa Kinh tế)

1. Giải phương trình
   $$x^2+11+\sqrt{x^2+11}=42.$$

2. Tìm tất cả $x$ thỏa mãn phương trình
   $$\sqrt{4-x^2}(\sin 2\pi x-3\cos \pi x)=0.$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_3(x^2-2)<\log_3\left(\frac{3}{2}|x|-1\right).$$

4. Trong tam giác $ABC$, các đường trung tuyến hạ xuống các cạnh $AC$ và $BC$ cắt nhau vuông góc. Độ dài cạnh $AC$ là $b$, độ dài cạnh $BC$ là $a$. Tìm độ dài cạnh $AB$ của tam giác $ABC$.

5. Cửa hàng bán bút chì màu đỏ và màu xanh. Một cây bút chì màu đỏ có giá 17 kopecks, một cây bút chì màu xanh có giá 13 kopecks. Bạn có thể chi không quá 4 rúp 95 kopecks cho việc mua bút chì. Khi đặt hàng bút chì màu xanh, số lượng bút chì màu đỏ không được chênh lệch quá năm. Cần phải đính kèm tổng số bút chì màu đỏ và xanh tối đa có thể, trong khi số lượng bút chì màu đỏ phải được đính kèm càng ít càng tốt. Có thể kết luận được bao nhiêu bút chì đỏ và xanh với những điều kiện đã cho?

6. Với mỗi giá trị không âm của $a$, hãy giải bất đẳng thức
   $$a^3x^4+6a^2x^2-x+9a+3 \geq 0.$$

Tùy chọn 11
(chuyên ngành “kinh tế chính trị” của Khoa Kinh tế)

1. Giải phương trình
   $$2^{x+2}\cdot 5^{x+2}=2^{3x}\cdot 5^{3x}.$$

2. Tìm tất cả $x$ thỏa mãn phương trình
   $$\lg 3x=\lg 5x.$$

56

3. Giải bất đẳng thức
   $$4(x-1) < \sqrt{(x+5)(3x+4)}$$

4. Có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên nằm bên trong đường cong tạo bởi trục x, các đường thẳng $x = \frac{3}{2}$, $x = 129$ và đồ thị của hàm số $y = \log_2 x$? Các điểm nằm trên mép của đường biên cong xác định sẽ không được tính đến.

5. Khoa đã nhận được nhiều hơn 600 đơn đăng ký từ học sinh so với sinh viên tình nguyện. Số học sinh nữ trong số học sinh tự nguyện nhiều gấp 5 lần so với số nữ sinh trong số học sinh tự nguyện, và số học sinh nam trong số học sinh tự nguyện nhiều hơn $n$ lần so với số học sinh nam trong số học sinh tự nguyện, và $6 \leq n \leq 12$ (n là một số nguyên). Xác định tổng số đơn đăng ký nếu số học sinh nam tự nguyện nhiều hơn số học sinh nữ tự nguyện là 20 em.

6. Xác định giá trị nào của $a$ phương trình
   $$x - a = 2|2x| - a^2$$
   có đúng ba gốc. Tìm những gốc rễ này.

Tùy chọn 12
(Khoa Tâm lý học)

1. Giải phương trình
   $$\left(\frac{1}{4}\right)^{x-2} = 2^{5-x} + 9.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{\sqrt{51-2x-x^2}}{1-x} < 1.$$

3. Trong các tam giác $ABC$ và $A'B'C'$, độ dài cạnh $AB$ bằng độ dài cạnh $A'B'$, độ dài cạnh $AC$ bằng độ dài cạnh $A'C'$, độ lớn của góc $BAC$ bằng $60^\circ$ và độ lớn của góc $B'A'C'$ bằng $120^\circ$. Được biết, tỉ số giữa độ dài $B'C'$ và độ dài $BC$ là $\sqrt{n}$ (trong đó $n$ là số nguyên). Tìm tỷ lệ giữa chiều dài $AB$ và chiều dài $AC$. Đối với những giá trị nào $n$bài toán có ít nhất một lời giải?

4. Một tứ giác lồi $ABCD$ treo trong một đường tròn bán kính 7. Độ dài các cạnh $AB$ và $BC$ bằng nhau. Diện tích tam giác $ABD$ được chia cho diện tích tam giác $BCD$ là 2:1. Giá trị của góc $ADC$ bằng $120^\circ$. Tìm độ dài tất cả các cạnh của tứ giác $ABCD$.

5. Tìm tất cả các giá trị của $a$, ứng với mỗi giá trị đó là hệ phương trình.

Tùy chọn 13
(chuyên ngành “tuyến tính cấu trúc và ứng dụng” của Khoa Ngữ văn)

1. Giải phương trình
   $$\log_5(x-1) = \log_5 \frac{x}{1+x}.$$

2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} y^2 = 4x^2 + 8, \\ 2x^2 + y + 1 = 0. \end{cases}$$

3. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm $f(x) = 24x - \cos 12x - 3 \sin 8x$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$.

4. Trong hình thang $ABCD$, cạnh $AD$ là đáy lớn hơn. Được biết, $|AD| = |CD| = 4\frac{2}{3}$, $\widehat{AD} = 90^\circ$ và $\widehat{CD} = 150^\circ$. Dựa trên $AD$, một tam giác $AED$ được dựng sao cho các điểm $B$ và $E$ nằm trên cùng một phía của đường thẳng $(AD)$ và $|AE| = |DE|$. Độ dài đường cao của tam giác này vẽ từ đỉnh $E$ là $1\frac{2}{5}$. Tìm diện tích phần chung của hình thang $ABCD$ và hình tam giác $AED$.

5. Tìm tất cả các giá trị của $a$ mà phương trình
   $$|1-ax| = 1 + (1-2a)x + ax^2$$
   có chính xác một lời giải.

Vật lý
Bài thi vấn đáp

Khoa Vật lý

1. Hai vật chuyển động với vận tốc không đổi dọc theo những đường vuông góc với nhau. Vận tốc của vật thứ nhất là $v_1 = 30$ m/s, vật thứ hai là $v_2 = 20$ m/s. Tại thời điểm gọi tên khoảng cách giữa các vật, vật thứ nhất ở khoảng cách $s_1 = 500$ m tính từ giao điểm của các đường thẳng. Lúc này chúng ta là vật thể thứ hai ở khoảng cách bao nhiêu $s_2$ tính từ điểm giao nhau của các đường thẳng?

2. Một vòng phẳng chuyển động sao cho tại một thời điểm nào đó vận tốc của các đầu có đường kính $AB$ nằm trong mặt phẳng của vòng và vuông góc với đường kính $CD$ này, vuông góc với $AB$, tại cùng một thời điểm, giả sử rằng các vận tốc này cũng nằm trong mặt phẳng của vòng.

3. Một vật có khối lượng $m = 0,5$ kg được gắn bởi hai lò xo giống nhau vào tường thẳng đứng và thực hiện chuyển động thẳng đều trên một mặt phẳng nằm ngang (Hình 1). Độ lớn của hai độ lệch liên tiếp của vật so với vị trí trung bình (vị trí cân bằng) sang phải và trái lần lượt là $s_1 = 10$ cm và $s_2 = 7$ cm. Xác định hệ số của tam giác $m$ của vật trên mặt phẳng, biết độ cứng của mỗi lò xo là $k = 15$ N/m. (Gia tốc áp suất tự do $g = 10$ m/s².)

4. Trong cấu trúc thẳng đứng, một liên kết hình trụ với một piston chuyển động tự do (không có hình tam giác) có khối lượng $m_n$ và diện tích $S$ chứa một số bình khí lý tưởng. Khi một chất khí được làm nóng lên $\Delta T$ độ, thể tích của nó tăng $\Delta V$. Tìm khối lượng của khí $m$ nếu áp suất khí quyển không đổi và bằng $P_0$. Khối lượng mol của khí là $M$.

5. Một tụ điện phẳng, khoảng cách giữa các bản tụ là $d = 1$ cm, nằm trong chân không và được đặt sao cho vuông góc với các bản của nó (Hình 3). Tấm trên của tụ điện được cố định, còn tấm dưới được làm bằng giấy bạc có độ dày $h = 0,1$ mm, nằm trên một giá đỡ cách điện. Cần phải có điện áp $U$ là bao nhiêu

57

Sắp xếp tụ điện sao cho tấm đáy không còn ép vào giá đỡ? Mật độ lá $\varrho = 2830$ kg/m$^3$, gia tốc áp suất tự do $g = 10$ m/s$^2$, hằng số điện $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}$ F/m. Kết nối dây yêu cầu với mọi người.

6. Trong sơ đồ ở Hình 4, lúc đầu phím $K$ không được đóng. Giá trị tuyệt đối của điện tích $Q$ sẽ chạy qua một điện trở có điện trở $R$ nếu công tắc đóng là bao nhiêu? $\varepsilon_1 = 10$ V, $\varepsilon_2 = 20$ V, $C_1 = 1$ µF, $C_2 = 2$ µF.

7. Từ trạm biến áp hạ áp, giá trị hiệu dụng của điện áp ở đầu ra là $U = 220$ V, cần kéo dài đường dây điện hai dây dài $L = 1$ km để tiêu thụ. Tiết diện $S$ của dây nhôm đặt đường dây này phải là bao nhiêu nếu công suất tiêu thụ trong tải là $P = 10$ kW và giá trị hiệu dụng của điện áp trong đường dây không được vượt quá $U = 20$ V? Điện trở suất của nhôm là $\varrho = 2,8 \cdot 10^{-8}$ Ohm m, tải ở cuối dây là tải thuần ohm.

8. Chất lỏng được đổ vào một bình hình chữ nhật có đáy dày (Hình 5). Chùm sáng chiếu xuống đáy bình một góc, tạo ra tiếng ồn cực lớn từ $90^\circ$ dù cường độ nhỏ. Sau khi khúc xạ tại mặt phân cách, chất lỏng - thủy tinh và thủy tinh - sẽ nổi lên khỏi bình một góc $\delta = 30^\circ$ so với hướng ban đầu. Tính chiết suất của chất lỏng $n_j$ nếu bạn cho biết chiết suất của thủy tinh $n_c = 1,50$.

9. Ánh sáng sợi quang là một hình trụ thủy tinh - lõi - có chiết suất $n_c = 1,50$, được bao quanh bởi một lớp bọc có chiết suất $n_o = 1,41$ (Hình 6). Sự lan truyền bức xạ dọc theo sợi quang là do sự phản xạ toàn phần tại bề mặt lõi-vỏ. Một chùm tia hội tụ một góc $2a$ rơi vào đầu trước của ống dẫn sáng. Giá trị lớn nhất của góc $\alpha_m$ mà tại đó tất cả bức xạ đi vào ống dẫn sáng sẽ truyền dọc theo ống dẫn sáng là bao nhiêu?

10. Xác định khoảng cách tối thiểu có thể có $l_{\min}$ giữa vật và ảnh thật của nó thu được bằng thấu kính có tiêu cự $F$.

Khoa Cơ học và Toán học

1. Một vật có khối lượng $m = 20$ kg được kéo với một lực $F = 120$ N dọc theo một mặt phẳng nằm ngang. Nếu lực này tác dụng một góc $\alpha_1 = 60^\circ$ so với đường chân trời thì vật sẽ chuyển động đều. Vật sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu $a$ nếu cùng một lực tác dụng một góc $\alpha_2 = 30^\circ$ so với đường chân trời? Gia tốc áp suất tự do $g = 10$ m/s$^2$.

2. Có một doxa có khối lượng $M = 1$ kg đặt trên bàn và một tải trọng có khối lượng $m = 0,5$ kg đặt trên doxa. Lực nào $F$ phải được tác dụng lên doxa để nó trượt ra khỏi tải? Hệ số khay giữa tải và đế $\mu_1 = 0,1$; giữa đế và bàn $\mu_2 = 0,2$. Lấy gia tốc của áp suất tự do bằng $g = 10$ m/s$^2$.

3. Khối $A$ phải được di chuyển với gia tốc tối thiểu bằng bao nhiêu $a$ theo phương ngang để các vật $1$ và $2$ không chuyển động so với khối (Hình 7)? Khối lượng cơ thể bằng nhau, hệ số ba giữa khối và cơ thể là $\mu^2 = 0,4$. Không có khay trong thiết bị. Gia tốc áp suất tự do $g = 9,8$ m/s$^2$.

4. Trên một chiếc đĩa có thể quay quanh một trục thẳng đứng có một vòng đệm nhỏ có khối lượng $m = 100$ g. Máy giặt có lò xo kết nối với trục của đĩa. Nếu số vòng quay của đĩa không vượt quá $n_1 = 2$ vòng/phút thì lò xo ở trạng thái không biến dạng. Nếu số vòng quay của đĩa tăng dần lên $n_2 = 5$ vòng/phút thì chiều dài lò xo tăng gấp đôi. Xác định độ cứng $k$ của lò xo.

5. Với khí lý tưởng, $1-2-3-4$ được thực hiện, thể hiện trên sơ đồ V-T (Hình 8). Ở một số trạng thái $3$ trên đoạn được mô tả bởi quy trình $2-3-4$, áp suất khí giống như ở đoạn $1$. Được biết, $V_1 = 1$ m$^3$, $V_2 = 4$ m$^3$, $T_1 = 100$ K, $T_4 = 300$ K. Thể tích của khí $V_3$ ở trạng thái $3$ là bao nhiêu?

6. Một lò xo, được gắn ở đầu trên của nó vào nắp của xi lanh phía trên đã được hút chân không, giữ piston không trọng lượng ở ngay dưới cùng của xi lanh. Piston sẽ chia khối lượng và thể tích của hình trụ theo tỷ lệ nào $V_{\text{верх}}/V_{\text{ниж}}$ nếu

58

bởi cùng một khối lượng của cùng một loại khí?
Được biết, khoảng cách giữa ngôi nhà và piston tăng lên đến một mức nhất định nếu không gian phía trên piston được làm sạch khí.

7. Tám điện trở giống hệt nhau, mỗi điện trở có điện trở $R=15$ Ohm, tạo thành mạch như trong Hình 9. Nguồn điện áp được nối với các điểm $A$ và $O$. Tìm điện trở $R_{AO}$ của mạch điện.

8. Một hình vuông được hàn từ một sợi dây dài $l=2$ m, có điện trở $R=4$ Ohm. Về phía hình vuông, các nguồn có EMF $\varepsilon_1=10$ V và $\varepsilon_2=8$ V được tắt theo sơ đồ ở Hình 10. Mạch được đặt trong một từ trường đều, phân bố lại mặt phẳng của hình vuông, hướng ra ngoài hình vẽ và tăng theo thời gian theo định luật $B=kt$, trong đó $k=16$ T/s. Tìm dòng điện $I$ trong mạch. Bỏ qua điện trở trong của các nguồn.

9. Một electron chuyển động trong từ trường đều có cảm ứng $\vec{B}$. Tại thời điểm ban đầu, electron đang ở điểm $O$ và tốc độ của nó $\vec{v}$ được phân phối lại cho vectơ cảm ứng từ. Tìm khoảng cách của $l$ electron từ điểm $O$ tại thời điểm $t$. Khối lượng của electron $m$ và điện tích của nó $q$ được coi là đã biết.

10. Một nguồn sáng điểm được đặt trên trục quang chính của thấu kính thu có tiêu cự $F=8$ cm và cách thấu kính $d=12$ cm. Thấu kính bắt đầu dịch chuyển theo hướng phân bố lại chuyển động quay tự do không ma sát quanh trục hoành. Một sợi dây không mọc được ném ngang qua khối, gắn các vật nặng có khối lượng $m_1=200$ g và $m_2=300$ g vào các đầu của nó. Bỏ qua khối lượng của khối và ren, xác định số đọc $F$ của đường kính.

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Một thước đo đường kính được gắn vào trần cabin thang máy, tăng tốc với gia tốc $a=1,2$ m/s$^2$. Một khối được treo vào máy đo đường kính và quay tự do không ma sát quanh một trục nằm ngang. Một sợi dây không mọc được ném ngang qua khối, gắn các vật nặng có khối lượng $m_1=200$ g và $m_2=300$ g vào các đầu của nó. Bỏ qua khối lượng của khối và ren, xác định số đọc $F$ của đường kính.

2. Một phân tử bay với tốc độ $v=300$ m/s trên bề mặt của một piston nặng đang chuyển động sẽ va chạm mạnh với nó. Pít-tông chuyển động cùng hướng với phân tử với tốc độ $V=30$ m/s. Phân tử sẽ mất đi phần năng lượng $\Lambda/E$ nào khi va chạm?

3. Một ít không khí lọt vào khoảng trống phía trên cột que trong ống khí áp kế. Khi phong vũ biểu hiển thị áp suất $p_1=$

Puc. 7. Puc. 8.

Puc. 9. Puc. 10.

= 748 mm điểm. Điều., chiều dài của phần hình trụ chứa không khí là $l=60$ mm. Ống được cẩn thận di chuyển ra khỏi thùng thủy ngân thêm $\Lambda h=21$ mm nữa, sau đó phong vũ biểu bắt đầu hiển thị áp suất $p_2=751$ mm pt. Nghệ thuật. Giả sử nhiệt độ không đổi, hãy xác định áp suất khí quyển $p_n$ tại thời điểm thí nghiệm.

4. Quá trình trong khí lý tưởng trước tiên diễn ra theo cách mà áp suất và thể tích có liên hệ với nhau bởi đẳng thức $p\sqrt{V}=B$. Khi nhiệt độ khí đạt đến giá trị $T$, quá trình tiếp tục với sự phụ thuộc bình thường của áp suất vào thể tích: $p=D/V^2$. Tìm nhiệt độ đã đề cập $T$ nếu các hằng số $B$ và $D$, cũng như lượng chất $V=m/M$ được cho.

5. Hai bình giống hệt nhau được nối với nhau bằng một ống mỏng có vòi. Bình thứ nhất chứa một lượng khí lý tưởng nhất định ở nhiệt độ $t_1=27$ ° C, và bình thứ hai chứa một lượng khí lý tưởng nhất định ở nhiệt độ $t_2=227$ ° C và cùng áp suất. Áp suất khí sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu bạn mở vòi và đưa nhiệt độ của các chất trong bình lên $t_3=127$ °C?

6. Hai quả bóng chì giống hệt nhau lần lượt được ném thẳng đứng lên trên sau một khoảng thời gian nhất định với vận tốc ban đầu bằng nhau $v_0$. Các quả bóng va chạm ở độ cao $h$ và dính vào nhau. Nhiệt độ của quả bóng đo được là bao nhiêu? Nhiệt độ riêng của chì là $c$.

7. Một quả cầu nhỏ có khối lượng $m=0,01$ mg, mang điện tích $q=10$ nC, được đặt trong một điện trường đều hướng theo phương ngang. Quả bóng bắt đầu chuyển động với tốc độ không ban đầu và sau một thời gian $t=4$ s nó đạt tốc độ $v=50$ m/s. Tìm trường điện áp $E$. Giả sử gia tốc rơi tự do là $g=10$ m/s$^2$.

8. Một mạch kín gồm một nguồn và một biến trở mắc nối tiếp. Dòng điện chạy trong mạch là $I_0=0,5$ A. Nếu điện trở của biến trở giảm $k=4$ lần thì dòng điện sẽ tăng $l=2$ lần. Dòng điện $I$ nào sẽ chạy trong mạch nếu điện trở của biến trở giảm xuống 0?

9. Dọc theo một khung hình chữ U được đặt trong một từ trường đều, ngang với mặt phẳng của khung, một người nhảy chuyển động không ma sát với tốc độ không đổi $v=2$ m/s, điện trở của nó là $R=0,2$ kOhm (Hình 11). Một lực $F=4$ N tác dụng lên người nhảy. Tìm dòng điện $I$ trong jumper. Bỏ qua sức cản của khung. Lực lượng và cử chỉ không được tính đến.

10. Một tia sáng từ không khí chiếu vào một quả bóng đồng nhất tùy ý, tạo ra nó và chạm tới mặt phân cách quả bóng-không khí. Góc $\varphi$ được tạo bởi tia ló khi va chạm vào quả bóng là bao nhiêu nếu góc tới của tia sáng là $a=26^\circ$ và góc tới là $\beta=17^\circ$?

59

Khoa Hóa học và Khoa Khoa học Đất

1. Động cơ gói, được phóng thẳng đứng lên trên từ bề mặt Trái đất, hoạt động trong thời gian $t=1$ phút và truyền cho gói một gia tốc không đổi $a=3g$. Chiều cao tối đa $h$ mà gói hàng đạt được là bao nhiêu? Gia tốc rơi tự do được coi là không đổi và bằng $g=9,8 \text{ m/c}^2$. Bỏ qua sức cản của không khí.

2. Hai quả bóng có cùng bán kính $R=1$ cm được thả từ một quả bóng bay: một quả bóng bằng nhôm (mật độ $\varrho_1=2,7 \cdot 10^3 \text{ kg/m}^3$), quả còn lại là sắt (mật độ $\varrho_2=7,8 \cdot 10^3 \text{ kg/m}^3$). Các quả bóng được nối với nhau bằng một sợi dài mỏng. Tìm lực căng của các sợi $T$ sau khi chuyển động của các quả bóng được thiết lập do lực cản không khí, nghĩa là chúng thu được tốc độ không đổi.

3. Xy lanh kín được chia thành các phần bằng nhau bằng piston khí. Ở một nửa trạng thái có một loại khí lý tưởng có khối lượng mol $M_1$, nửa còn lại - $M_2$. Khối lượng, thể tích và nhiệt độ của các chất khí bằng nhau. Piston đã được thả ra. Thể tích của một phần của hình trụ tăng lên (hoặc thể tích của phần khác giảm) bao nhiêu $\Delta V/V$ so với giá trị ban đầu của nó sau khi thiết lập trạng thái cân bằng ở cùng nhiệt độ?

4. Hai mạch điện được làm từ hai dây dẫn giống hệt nhau - một hình vuông và một hình tròn. Cả hai mạch được đặt trong cùng một mặt phẳng trong từ trường một chiều, biến thiên theo thời gian. Trong mạch tròn, độ tự cảm là dòng điện không đổi $I_1=0,4$ A. Tìm cường độ dòng điện $I_2$ trong mạch vuông.

5. Một chùm ánh sáng hội tụ chiếu vào một thấu kính phân kỳ có tiêu cự - $F$ và đồng quy tại một điểm nằm trong mặt phẳng tiêu cự ở phía bên kia của thấu kính. Chùm tia đặt ở khoảng cách $f$ bao nhiêu so với thấu kính nếu thấu kính tán xạ được thay thế bằng một thấu kính trùng khớp có tiêu cự + $F$?

Đáp số, gợi ý, lời giải

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Toán học

Tùy chọn 1

1. $[-2; -1] \cup \{3\}$. Gợi ý. Bất bình đẳng $\sqrt{(x+2)(3-x)} \cdot \frac{x+1}{(x+4)(x+\frac{5}{2})} < 0$

nghiêng như nhau về hệ thống

$$\begin{cases} (x+1)(x+4) \left(x+\frac{5}{2}\right) < 0, \\ (x+2)(3-x) > 0. \end{cases}$$

2. $x, \frac{1}{6} + 4\pi k, x_2 = \frac{5}{6} \pi + 2\pi l(k, l, Z)$. Gợi ý. Phương trình này tương đương với hệ

$$\begin{cases} \cos 2x = \sin x, \\ \sin x + \cos \frac{x}{2} > 0. \end{cases}$$

Hàm $\cos \frac{x}{2}$ có dấu chấm $4\pi$.

3. $\frac{1}{2}(p-a)^2tg \frac{a}{2}$. Gợi ý. $|BK| = p-a$.

4. $a_1=6k-1, a_2=6l+3, a_3=6m, a_4=6n+2(k, l, m, n \in Z)$.

Lời giải. Khám phá chức năng phụ trợ

$$F(z) = |12z-5| - |12z-7| + |24z+13|.$$

Dễ dàng tính được rằng

$$\begin{cases} 24z+11, \text{ если } 0 \leq z < \frac{5}{12}, \\ 48z+1, \text{ если } \frac{5}{12} \leq z < \frac{7}{12}, \\ 24z+15, \text{ если } z \geq \frac{7}{12}. \end{cases}$$

60

Do đó, hàm $F$ tăng thêm $[0; +\infty]$. Do đó, với $z \geq 0$ chúng ta có $F(z) \geq F(0) = 11$. Điều này có nghĩa là vế trái của phương trình đầu tiên của hệ là $\geq 11$ và chỉ bằng 11 với $\sqrt{\cos \frac{\pi y}{2}} = 0$. Mặt khác, vế phải của phương trình này là $\leq 11$ và chỉ bằng 11 tại $\sqrt{\sin \frac{\pi(x-2y-1)}{3}} = 0$. Do đó phương trình thứ nhất tương đương với hệ

$$\begin{cases} \cos \frac{\pi y}{2} = 0, \\ \sin \frac{\pi(x-2y-1)}{3} = 0. \end{cases}$$

Thay thế $t = x^2 + (y-a)^2$ vào phương trình thứ hai, ta thấy phương trình này tương đương với phương trình

$$x^2 + (y-a)^2 = 1.$$

Từ (1) suy ra rằng một cặp số $(x; y)$ là nghiệm của một hệ đã cho khi và chỉ nếu $x$ và $y$ thỏa mãn các đẳng thức

$$\begin{cases} y = 2p + 1 \quad (p \in \mathbf{Z}), \\ x = 2y - 1 = 3q \quad (q \in \mathbf{Z}). \end{cases}$$

Đặc biệt, điều này có nghĩa là $x$ phải là số nguyên. Khi đó từ (2) $x$ bằng $-1$, 0 hoặc 1. Với $x = -1$ từ (2) $y = a$ và đẳng thức (3) là hệ tương đương

$$\begin{cases} y + 1 = 2(p + 1), \\ 2(y + 1) = -3q. \end{cases}$$

Điều này có nghĩa là $y + 1$ chia hết cho 6, do đó $a = 6k - 1$ ($k \in \mathbf{Z}$). Tương tự, với $x = 1$ chúng ta nhận được $y = a$ và

$$\begin{cases} y - 3 = 2(p - 1), \\ 2(y - 3) = -3(q + 2). \end{cases}$$

Điều này có nghĩa là $y - 3$ chia hết cho 6, do đó $a = 6l + 3$ ($l \in \mathbf{Z}$). Với $x = 0$ chúng ta có $y - a = \pm 1$ và

$$\begin{cases} y - 1 = 2p, \\ 2(y - 1) = -3(q + 1). \end{cases}$$

Điều này có nghĩa là $y - 1$ chia hết cho 6, do đó $a = 6m$ hoặc $a = 6n + 2$ ($m, n \in \mathbf{Z}$).

5. $\frac{(17-\sqrt{17})R}{8h}$. Lời giải. Gọi $S$ là diện tích của các mặt $ABC$, $S_1$, $S_2$, $S_3$ là diện tích của các mặt còn lại, $R'$ bán kính của quả bóng ghi trong paramid $DABC$. Sau đó

$$\frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}SR' + \frac{1}{3}S_1R' + \frac{1}{3}S_2R' + \frac{1}{3}S_3R'$$

từ đó, để loại trừ $\lambda = \frac{S}{S + S_1 + S_2 + S_3}$, chúng ta thu được $\lambda = \frac{R'}{h}$.

Kim tự tháp $KLHC$ (Hình 1) được lấy từ kim tự tháp $DABC$ có tâm $C$ và hệ số

$$k = \frac{|CH|}{|CB|}.$$

Vì vậy $R = kR'$. Có nghĩa,

$$\lambda = \frac{R}{kh}.$$

Vì vậy, để tìm $\lambda$, bạn cần tìm $k$. Chúng ta hãy chiếu toàn bộ cấu hình lên mặt phẳng $ABC$ song song với mặt phẳng $NM$ ($M$ là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $ABC$). Trong trường hợp này, phần trên $D$ sẽ chuyển sang phần giữa $D_1$

Hình 1.

Hình 2.

các cạnh $AC$ (vì $\frac{|DN|}{|NB|} = \frac{1}{2} = \frac{|D_1M|}{|MB|}$ theo sau $(DD_1) \parallel (NM)$; Hình 2); điều này có nghĩa là mặt $ADC$ sẽ đi vào cạnh $AC$; mặt khác, mặt phẳng $FNM$ sẽ biến đổi thành đường thẳng $HM$ (kể từ $(FNM) \parallel (NM)$); do đó, điểm $F$ sẽ chuyển sang $F_1 = (HM) \cap (AC)$. Vì vậy, $(FF_1) \parallel (NM) \parallel (DD_1)$. Chúng ta hãy vẽ qua điểm $B$ một đường thẳng song song với $(HF_1)$ (xem Hình 2). Hãy đặt $|F_1D_1| = a$ và $\frac{|AF|}{|FD|} = m$. Sau đó $|AF_1| = \frac{|AF|}{|FD|} \cdot |F_1D_1| = ma$, $|B_1F_1| = \frac{|BM|}{|MD_1|} \times |F_1D_1| = 2a$, $|CD_1| = |AD_1| = |AF_1| + |F_1D_1| = (m + 1)a$, $m^2 = \left(\frac{|AF|}{|FD|}\right)^2 = \frac{|CH|}{|HB|} = \frac{|CF_1|}{|F_1B_1|} = \frac{|CD_1| + |D_1F_1|}{|F_1B_1|} = \frac{m + 2}{2}$. Do đó $2m^2 - m - 2 = 0$, $m = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$. Vì vậy, $k = \frac{|CH|}{|CB|} = \frac{|CH|}{|CH| + |HB|} = \frac{1}{1 + \frac{1}{m^2}} = \frac{17 + \sqrt{17}}{34}$.

Tùy chọn 2

1. $[-4; 2[U]3; 4]$.
2. $x = \frac{3}{4}\pi + 2\pi k$ ($k \in \mathbf{Z}$).
4. $\frac{2\pi\sqrt{3} + 9}{27}$.
5. $\{1 - \sqrt{a^2 - 2a + 5}, 1 + \sqrt{a^2 + 4a + 8}\}$ tại

61

$$a < -2, \{1 - \sqrt{a^2 - 2a + 5}, 1 - \sqrt{a^2 + 4a + 8}\} \text{ при } -2 \leq a < -\frac{1}{2}, \{-\frac{3}{2}\} \text{ при } a = -\frac{1}{2}, \{1 - \sqrt{a^2 - 2a + 5}, 1 - \sqrt{a^2 + 4a + 8}\} \text{ при } -\frac{1}{2} < a \leq 1, \{1 + \sqrt{a^2 - 2a + 5}, 1 - \sqrt{a^2 + 4a + 8}\} \text{ при } a > 1.$$
6. {(-1; 2); (-1; -2)}. Gợi ý. Chứng minh rằng $5 \sin^2 x - 6 \sin x \cdot \cos x - 9 \cos^2 x + 3 \sqrt{33} = -\sqrt{58} \sin (2x + \varphi) + 3 \sqrt{33}$ $> 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Sử dụng đẳng thức arcsin $x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, chứng minh rằng vế phải $\leq 0$ nằm trên miền định nghĩa của nó và nó chỉ bằng 0 đối với arcsin $x = -\frac{\pi}{2}$.
Tùy chọn 3

1. $x_1 = \frac{\pi}{4} k, x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.

2. $\{-1, -\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 1\}$.

3. $] 0; \frac{1}{16} [$.

5. $\frac{1}{2} (1 + 2 \cos 2a)^2 \text{tg} 2a$.

6. 1. arcsin $\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \text{tg} \frac{\varphi}{2} \right)$;
      $$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{3 \text{ctg}^2 \frac{\varphi}{2}} - 1 - \text{tg} \frac{\beta}{2}}{\sqrt{3 \text{ctg}^2 \frac{\varphi}{2}} - 1 + \text{ctg} \frac{\beta}{2}}.$$
      Gợi ý. Tâm $O_1, O_2$ của các quả bóng nằm trên đường thẳng $OH$, là giao điểm của các đường phân giác của các góc nhị diện của một góc tam giác cho trước (bài toán 538 trong “Hình học 9-10”). Đường phân giác của một góc nhị diện có cạnh $OC$ cắt mặt phẳng $OAB$ dọc theo đường phân giác $OD$ của góc $AOB$. Hình ảnh đối xứng có liên quan đến ($COD$). 1) Góc yêu cầu là $HOD$. Cắt từ góc tam giác này một tham số tam giác chính xác có cạnh, ví dụ: $|OA|$. 2) Trong mặt phẳng $COD$ ta có hình như ở Hình 3. $|OK_2| = |OK_1| + |K_1D| + |DK_2|$.
      Tùy chọn 4

7. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$.

8. $\{1\}$.

9. $\frac{5}{18} V$. Gợi ý. Gọi $h$ là khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $ABB'A', h_1$ là khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $AA'$. Hãy xây dựng tính năng này thành một tính năng song song. Nếu $V_1$ là âm lượng của nó thì $V = \frac{1}{2} V_1$. Lấy mặt $ABB'A'$ làm đáy của hình song song, ta thu được $V_1 = S_{ABB'A'} \cdot h = (|AA'| \cdot h_1) h$. Vì vậy, $V = \frac{1}{2} |AA'| \cdot h_1 h$ (công thức không riêng tư này cho khối lượng nhận dạng rất hữu ích để ghi nhớ!). Mặt khác, thể tích cần thiết của “phần dưới” là thể tích của paramid tứ giác $CABFI$ có ​​đỉnh $C$.

10. $(0: 2)$. Gợi ý., $d(x) = f(x) \cdot \cos \alpha$ (Hình 4).

11. $n = -1; \left\{ \frac{1}{9} + \frac{\sqrt{7}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{6}; \frac{13}{36} + \frac{\sqrt{7}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{12} \right\}, \left( \frac{1}{9} + \frac{\sqrt{7}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{6}; \frac{13}{36} + \frac{\sqrt{7}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{12} \right\}, \left( \frac{1}{9} - \frac{\sqrt{7}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{6}; \frac{13}{36} - \frac{\sqrt{7}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{12} \right\}, \left( \frac{1}{9} - \frac{\sqrt{7}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{6}; \frac{13}{36} - \frac{\sqrt{7}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{12} \right\}$. Gợi ý. Hệ thống này tương đương với hệ thống
    $$\begin{cases} 6(x+2y)^2 + 2(3n-2)(x+2y) + 3 = 0, \\ 4(x-y)^2 - 2(2n+1)(x-y) + 2n^2 - \frac{5}{2} = 0. \end{cases}$$
    Tùy chọn 5

12. $x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi k, x_2 = (-1)^l \frac{\pi}{4} + \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.

13. 2, $e^2$.

14. $[-5; 20]$.

15. $\frac{3}{32}$. Gợi ý. $|BP| = |PC|$.

16. $] -\infty; -1 - \frac{\sqrt{2}}{4} [U] - \frac{1}{2}; 0 [$. Lời giải. Bất đẳng thức thứ hai tương đương với bất đẳng thức $b(4 \cos^2(x-y) + 8b \cos(x-y) + 8b^2 + 8b + 3) < 0$, cả hai bất đẳng thức đều đúng với mọi $x$ và $y$ khi và chỉ khi $b < 0$ và với mọi $x, y$

62

4 $\cos^2(x-y) + 8b \cos(x-y) + 8b^2 + 8b + 3 > 0,$
nghĩa là khi $b < 0,$ và với bất kỳ $z \in [-1; 1]$ nào
$$f(z) = 4z^2 + 8bz + 8b^2 + 8b + 3 > 0.$$

Đỉnh của đồ thị tam thức $f(z)$ nằm tại điểm $z_0 = -b.$ Vì $b < 0,$ $z_0 > 0.$ Tam thức $f(z)$ có tính chất mong muốn là $f(z_0) > 0,$ tương đương với $b \in \left[-\frac{3}{2}; -1 - \frac{\sqrt{2}}{4}\right].$

Tùy chọn 6

1. $\frac{5}{7}.$
2. $x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l \quad (k, l \in \mathbb{Z}).$
3. $\{(-17; \log_2 10)\}.$
4. $\frac{15}{16} \sqrt{7}.$
5. $\frac{9}{13} \pi, \frac{15}{13} \pi.$ Gợi ý $\log_2 (3 - |\sin ax|) \geqslant 1$ cho tất cả $x.$

Tùy chọn 7

1. $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k \quad (k \in \mathbb{Z}).$
2. $[-1; 0].$
3. $\frac{1}{4} b^2 \sin 2\beta \cdot \text{ctg}^2 \beta.$
4. $\{(-1; -3), (3; -3)\}.$
5. hung hãn $\frac{46}{\sqrt{2641}}.$

Tùy chọn 8

1. $\{-1; 4\}.$
2. $|BL| > |BG|.$
3. $\left[\frac{1}{2}; 1 \mid U\right]^2; 2 \frac{1}{2}.$
4. $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad y = \pi - 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}).$ Gợi ý. Phương trình 3 sin $3x - \sin x = 4$ tương đương với hệ
   $$\begin{cases} \sin 3x = -1 \\ \sin x = 1. \end{cases}$$
5. $A.$ Lời giải. Gọi $\omega$ là tốc độ của thuyền so với tảng băng, nghĩa là, $\omega = v - 5,$ nếu $D$ cao hơn $A,$ và $\omega = v + 5,$ nếu cao hơn $A.$ Theo điều kiện
   $$\left| \frac{11}{\omega} - \frac{1}{3} \right| + \left| \frac{13}{\omega} - \frac{2}{3} \right| + \left| \frac{15}{\omega} - 1 \right| \leqslant \frac{5}{v} - \frac{1}{2}.$$
   Giả sử $D$ cao hơn $A.$ Khi đó
   $$\left| \frac{11}{v - 5} - \frac{1}{3} \right| + \left| \frac{13}{v - 5} - \frac{2}{3} \right| + \left| \frac{15}{v - 5} - 1 \right| \leqslant \frac{5}{v} - \frac{1}{2}.$$
   Kể từ $|a + b - c| \leqslant |a| + |b| + |c|,$
   $$\frac{9}{v - 5} \leqslant \frac{5}{v} - \frac{1}{2},$$
   và bất đẳng thức này không có lời giải. Giả sử $D$ cao hơn $A,$ dẫn đến mâu thuẫn. Do đó, nên sử dụng $U,$ nằm bên trong song song với $BC,$ có cùng một hình trụ $U'$, hình chiếu $U,$ đồng dạng của nó lên mặt phẳng $SAH$ chạm vào $(AH)$ và $(SH)$ (Hình 5, a) và hình chiếu của nó lên mặt phẳng $ABC$ chạm vào $(AB)$ và $(AC)$ (Hình 5, c).

Tùy chọn 9

1. $\{-3; 2\}.$
2. $|AC| > |BK|.$
3. $[-1\frac{1}{5}; -1[U] - \frac{1}{5}; 0].$
4. $x = \frac{7}{4} \pi + \pi k, y = -\frac{\pi}{4} + \pi_k (k \in \mathbb{Z}).$
5. 50km/giờ. Gợi ý. Vì vậy, nên sử dụng $\left| \frac{10}{v} - \frac{1}{5} \right| + \left| \frac{15}{v} - \frac{3}{8} \right| + \left| \frac{20}{v} - \frac{2}{3} \right| + \frac{26}{v} \leqslant \frac{517}{600}$
   thay thế $v = \frac{5}{x},$ vẽ đồ thị bên trái và bên phải.
6. $\frac{4}{5} \sqrt{13}.$

Tùy chọn 10

1. $\{-5; 5\}.$
2. $\{-2, -1\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\frac{1}{2}, 2\}.$
3. $|-2; -\sqrt{2} \mid U \mid \sqrt{2}; 2\}.$
4. $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{5}}.$
5. 19 đồng và 14 đỏ. Gợi ý. Chúng ta hãy biểu thị số bút chì đồng bộ cần thiết bằng $x,$ đỏ - cherzu $y.$ Khi đó nghiệm bài toán là điểm $(x_0; y_0)$ có tọa độ nguyên, nằm trong đường chấm được đánh dấu trong Hình 6, trong đó $x_0 + y_0$ là lớn nhất và $y_0$ là nhỏ nhất.
6. $|-\infty; 3|$ tại $a = 0.$ $-\infty; \frac{1 - 12a}{2a}$ $U$
   $U \left[ \frac{1 + \sqrt{1 - 12a}}{2a}; + \infty \right]$ tại $0 < a < \frac{1}{12}, R$ tại $a \geqslant \frac{1}{12}.$ Gợi ý. $a^3x^4 + 6a^2x^2 - x + 9a + 3 = (ax^2 - x + 3) (a^2x^2 + ax + 3a + 1).$ (Có thể đoán phần mở rộng này bằng cách viết $a^3x^4 + 6a^2x^2 - x + 9a + 3 = a(ax^2 + 3)^2 - x + 3.$ (1)

*) Điều này lời giải là do các biên tập viên của tạp chí đề xuất. Trong lời giải của tác giả cũng đã xác minh thêm rằng khi câu “A” cao hơn $D$ thì bất đẳng thức (1) có lời giải. (Ghi chú của biên tập viên)

63

Theo đó, bất kỳ nghiệm nào của tam thức $ax^2+x+3$ đều là nghiệm của đa thức ở vế trái; do đó đa thức này chia hết cho $ax^2-x+3$. Quét. Đẳng thức (1) chứng tỏ rằng nếu đặt $f(x)=ax^2+3$ thì đa thức ở vế trái của bất đẳng thức sẽ có dạng $f(f(x))-x$. Dễ dàng chứng minh rằng trong trường hợp này phương trình $f(f(x))=x$ tương đương với phương trình $f(x)=x$. Sau khi giải phương trình bậc hai cuối cùng, chúng ta có thể áp dụng thêm phương pháp tích phân cho bất đẳng thức này.

Tùy chọn 11

1. {1}.
2. $x=\pi k$ ($k\in\mathbb{Z}$).
3. $]-\infty;-5]$ $U[-1\frac{1}{3};4]$.
5. 832. Gợi ý. Tất cả “số câu lệnh” đều là số tự nhiên.
6. Tại $a=-2$ ($\{-2,1\frac{1}{5},3\frac{1}{3}\}$) và tại $a=-\frac{1}{2}$ ($\{-1\frac{1}{5},0,\frac{1}{3}\}$). Gợi ý. Vẽ đồ thị về phía bên phải.
   Tùy chọn 12
7. $2(1-\log_23)$.
8. $[-1-2\sqrt{13};-5[U]1;-1+2\sqrt{13}]$.
9. $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ cho $n=2$ và $1$ cho $n=3$.
10. $|AD|=2\sqrt{21},|CD|=\sqrt{21},|AB|=|BC|=7\sqrt{3}$. Quét. Sử dụng “tăng cường định lý sin”: $\frac{a}{\sin A}=2R$, trong đó $R$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp (ví dụ, xem trang 42 trong sách “Hình học 8” (M.: Prosveshcheniye, 1977)).
11. $x=\pm\arccos\frac{1-2a}{2-3a}+2\pi k$, $y=(-1)^l\times a$

Hình 5.

Hình 6.

$\times\arcsin\frac{1}{2-3a}+\pi l$, $z=\frac{2a}{1-2a}$ ($k,l\in\mathbb{Z}$) tại $a\in]0;\frac{1}{4}[\cup]\frac{1}{4};\frac{1}{3}$.

Tùy chọn 13

1. $\{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\}$.
2. $\{(0;-3)\}$.
3. $\max\{f(x)=f\left(\frac{\pi}{6}\right)=4\pi+\frac{3}{2}\sqrt{3}-1,$
   $\min\{f(x)=f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=$
   $=-4\pi-\frac{3}{2}\sqrt{3}-1$.
4. $\frac{49}{3}(3\sqrt{3}-5)$. Gợi ý. Đừng quên chứng minh rằng điểm $E$ nằm trong góc $PCD$ ($P$ là điểm tùy ý trên sự tiếp tục của $[AC]$ ngoài điểm $C$).
5. 1, 0. Lời giải. Phương trình này có nghiệm 0 với mọi $a$. Vì vậy, chúng ta cần tìm $a$ mà nó không có gốc nào khác. Dễ dàng kiểm tra trực tiếp rằng với $a=0$ và $a=1$ phương trình chỉ có nghiệm bằng 0. Đối với $a\leq 2$, $\neq 0$, $\neq 1$ phương trình có nghiệm bằng 0 $\frac{a-1}{a}$ (nếu $x=\frac{a-1}{a}$ và $a\leq 2$ thì $ax\leq 1$ và phương trình có dạng $ax^2+(1-a)x=0$). Tại $a>2$ phương trình có nghiệm bằng 0 $\frac{3a-1+\sqrt{9a^2-14a+1}}{2a}$ (nếu $x=\frac{3a-1+\sqrt{9a^2-14a+1}}{2a}$ và $a>2$ thì $9a^2-14a+1>0$, $ax=\frac{3a-1}{2}+\frac{\sqrt{9a^2-14a+1}}{2}$ $\geq \frac{3a-1}{2}>1$ và phương trình này tương đương với phương trình $ax^2+(1-3a)x+2=0$).

Vật lý
Khoa Vật lý

1. $s_2=s_1v_1/v_2=750$ m.
2. Mô hình tốc độ của các điểm $C$ và $D$ giống nhau và bằng $v_C=v_D=\sqrt{(v_A^2+v_B^2)/2}$; hình chiếu của các vận tốc này lên trục ngang và trục dọc lần lượt bằng $v_Cx=v_Dx=$, $(v_A+v_B)/2$, $v_Cy=-v_Dy=(v_B-v_A)/2$.
3. $\mu=k(s_1-s_2)/(mg)=0,09$.
4. $m=\left(p_0+\frac{m_ng}{S}\right)\frac{M\Delta V}{R\Delta T}$.
5. $U=d\sqrt{2\phi hg/\varepsilon_0}\approx 8000$ B.
6. $Q=\mathcal{O}_1C_1+\mathcal{O}_2C_2=5\cdot 10^{-5}$Cl.
7. $S\geqslant\frac{2L_0P}{\Delta U(U-\Delta U)}=1,4\cdot 10^{-4}$ m$^2=1,4$ cm$^2$.
8. $n_{ж}=\sqrt{n_c^2-\sin^2\delta}\approx 1,41$.
9. $a_m=\arcsin\sqrt{n_c^2-n_0^2}\approx 30^\circ$.
10. $l_{\min}=4F$.

Khoa Cơ học và Toán học

1. $a=\frac{F}{m}\left(\cos a_2-\cos a_1\frac{mg-F\sin a_2}{mg-F\sin a_1}\right)\approx 0,825$ m/c$^2$.
2. $F>(M+m)(\mu_1+\mu_2)g=4,5$ H.
3. $a=g(1-\mu)/(1+\mu)=4,2$ m/c$^2$.