Bài toán M846—M850; F858—F862

41

Vấn đề
lượng tử

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Những nhiệm vụ khó khăn nhất được trao sao. Sau khi hình thành một nhiệm vụ, chúng ta thường chỉ ra ai đã đề xuất nhiệm vụ đó cho chúng ta. Tất nhiên, không phải tất cả các nhiệm vụ này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 4 năm 1984 đến địa chỉ: 103006, Moscow, K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Sự cố «Kvant» Số 2 - 84” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ: “M846, M847” hoặc “F858”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải trong phong bì này). Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được gán trong một phong bì riêng, trùng lặp với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học.

M846. Chứng minh rằng trung bình số học độ dài các cạnh của một đa giác đều nhỏ hơn trung bình số học độ dài các đường chéo của nó.

V. F. Lev

M847. Hình vuông được chia thành $n \times n$ ô. Hai người chơi lần lượt vẽ một cạnh của cùng một hình vuông (bạn không thể vẽ cùng một cạnh hai lần). Ai sẽ thắng nếu chơi đúng nếu
a) người chơi xây dựng đường khép kín đầu tiên sẽ thắng;
b) người chơi buộc phải xây dựng một đường khép kín trước sẽ thua.

I. Vetrov, A. Kodan

M848. a) Vẽ đồ thị hàm số
$$f_0(x) = \left| x - 1 \right| - 2 \left| x \right| - 3$$

b) Hình 1 thể hiện đồ thị của ba hàm “tuyến tính từng đoạn” $f_1, f_2, f_3$. Viết các công thức của chúng dưới dạng
$$y = kx + b + c_1 |x - a_1| + \dots + c_m |x - a_m|,$$
trong đó $k, b, c_i, a_i$ là một số số, $m$ là số điểm ngắt của đồ thị ($a_i$ là hoành độ của các điểm ngắt, $i = 1, 2, \dots, m$).

c) Viết hàm $f_0$ từ điểm a) dưới dạng tương tự.

d) * Một số hàm là sự kết hợp của các hàm tuyến tính, “modulo” và phép tính phép cộng, và dấu modulo được sử dụng trong ký hiệu $n$ lần (ví dụ a) $n = 4$. Số lần ngắt tối đa (tại mỗi $n$) mà biểu đồ của nó có thể có là bao nhiêu?

P. G. Satyanov

M849. Từ các số 1, 2, …, 7 xếp theo thứ tự khác nhau sẽ tạo thành bảy số có bảy chữ số. Chứng minh rằng tổng lũy ​​thừa bảy của một số số này không thể bằng tổng lũy ​​thừa bảy của các số còn lại.

G. A. Galperin

M850*. Qua giao điểm của đường phân giác của góc $A$ của tam giác $ABC$ và đoạn nối hai đáy của hai đường phân giác còn lại vẽ một đường thẳng song song với cạnh $BC$. Chứng minh rằng độ dài đáy nhỏ nhất của hình chữ nhật

42

hình thang thu được bằng chiều dài các cạnh của nó.

V. N. Dubrovsky

F858. Sau khi cầu thủ đánh bóng, quả bóng bay về phía khung thành, nằm ở khoảng cách $L=32$ m, với tốc độ $v=25$ m/s với góc $\alpha$ so với đường chân trời ($\cos \alpha=0,8$). Do gió bên thổi dọc theo khung thành vuông góc với tốc độ $\vec{v}$, độ dịch chuyển theo phương ngang của quả bóng trong mặt phẳng khung thành hóa ra bằng $s=2$ m. Tìm thời gian quả bóng bay đến mặt phẳng khung thành. Quả bóng không quay; tốc độ gió $u=10$ m/s.

V. I. Chivilev

F859. Một quả cầu có bán kính $R$ và khối lượng $m$ chuyển động dọc theo mặt phẳng nằm ngang dưới tác dụng của lực căng không đổi $\vec{F}$ của một sợi dây nhẹ không chịu kéo. Điểm bám của sợi chỉ ở độ cao $h$ so với bề mặt (Hình 2), sợi chỉ luôn nằm ngang, quả bóng di chuyển về phía trước. Điều này có thể đạt được với hệ số ma sát tối đa là bao nhiêu? Gia tốc đều của quả bóng là bao nhiêu?

L. G. Markovich

F860. Trong lỗ không dẫn điện Konchek có góc $2\alpha$ ở đỉnh ở độ sâu $h$ có ​​hai vật nhỏ tích điện bằng nhau được nối với nhau bằng một sợi dây (Hình 3); khối lượng của mỗi vật là $m$. Sau khi cháy hết, các sợi của thân bắt đầu trượt lên bề mặt lỗ và bay ra khỏi lỗ ở độ cao $H$ so với chân đế với tốc độ $v$. Hệ số ma sát của vật tại đỉnh lỗ $\mu=a \text{tg} \alpha$ ($a<1$). Xác định điện tích của các cơ quan.

Ồ, vâng. Savchenko

F861. Trong mạch RLC dao động, điện trở thấp nên các dao động trong mạch bị tắt dần. Để thu được dao động không tắt dần, hãy tiến hành như sau: hai lần mỗi chu kỳ, tại thời điểm dòng điện trong mạch đạt cực đại, cuộn cảm nhanh chóng được kéo dài từ chiều dài $l$ đến chiều dài $l+\Delta l$ và tại thời điểm điện tích trên tụ điện đạt cực đại, cuộn dây nhanh chóng bị nén về trạng thái trao đổi trước đó (cộng hưởng tham số). Khi độ dài của cuộn dây thay đổi tương đối bao nhiêu $\Delta l/l$ thì dao động trong mạch sẽ không bị suy giảm? Coi độ tự cảm của cuộn dây tỉ lệ nghịch với chiều dài của nó.

A. I. Kirkinsky

F862. Một thấu kính có tiêu cự $F$ và đường kính $d$ được lắp vào đáp số có cùng đường kính trong một màn làm bằng vật liệu hấp thụ ánh sáng ($d/F<2$). Màn hình được đặt sao cho trục quang của thấu kính trùng với mặt phẳng phân giác và vuông góc với cạnh kép

45

Từ mối quan hệ này, rõ ràng rằng $|AD| = |BC|$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{MN} = 0$, tức là các đoạn $PQ$ và $MN$ vuông góc (hoặc suy biến).

Cả lời giải đều vượt qua mà không thay đổi đối với bốn điểm $A, B, C, D$ bất kỳ trên mặt phẳng hoặc trong không gian. Cụ thể, ví dụ, các phát biểu sau đây là đúng: nếu các đường giữa của một tứ giác vuông góc thì các đường chéo của nó bằng nhau; nếu ba đoạn nối trung điểm của các cạnh đối diện của một tứ diện vuông góc từng cặp thì mỗi cạnh của nó bằng cạnh đối diện (Tôi nói về tứ diện “đẳng cấp” như vậy trong bài viết của V. E. Matizen trong «Kvant» Số 7 năm 1983). Từ lời giải đã cho, cũng thấy rõ rằng trong điều kiện bài toán các đường thẳng $AD$ và $BC$ tạo thành các góc bằng nhau với $PQ$ (và với $MN$).

V. V. Prasolov,
V. N. Dubrovsky

**M832. a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geqslant 6$ hình vuông có thể cắt thành $n$ hình vuông (trong đó có thể có những hình vuông có cùng kích thước).

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geqslant 100$ lập phương có thể cắt thành $n$ lập phương.

a) Nếu một hình vuông được cắt thành $n$ hình vuông, thì việc cắt bất kỳ hình vuông nào thành 4 hình vuông bằng nhau sẽ dẫn đến việc cắt hình vuông ban đầu thành $n+3$ hình vuông. Do đó, chỉ cần đưa ra các đường cắt cho $n=6$ (cung cấp tất cả $n=3k$, $k=2, 3, \dots$), cho $n=7$ (cung cấp tất cả $n=3k+1$) và cho $n=8$ (cung cấp tất cả $n=3k+2$). Những vết cắt này được thể hiện trong Hình 1.

b) Ý lời giải tương tự như ở điểm a). Bằng cách cắt bất kỳ khối nào tạo nên khối ban đầu thành $m$ các khối bằng nhau, chúng ta sẽ tăng tổng số phần

Hình 2.

Hình 3.

*M833. Dãy số $x_n$ được cho bởi các điều kiện:

$$x_1 = 2; \quad x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} \quad (n=1, 2, 3, \dots).$$

Hình 1.

đến $m-1$. Chúng ta sẽ tìm hiểu ba phương pháp cắt chính: cho $m=8$ (theo sơ đồ $2 \times 2 \times 2$), cho $m=20 = 3^3 - 2^3 + 1$ (8 khối trong số 27 khối tạo thành khối $3 \times 3 \times 3$ được thay thế bằng một kích thước $2 \times 2 \times 2$; Hình 2) và cho $m = 38 = 4^3 - 3^3 + 1$ (27 khối trong vết cắt $4 \times 4 \times 4$ được thay thế bằng một kích thước $3 \times 3 \times 3$; Hình 3). Kết hợp các vết cắt này theo nguyên tắc đã chỉ định, chúng ta thu được rằng khối lập phương có thể được cắt thành $n$ khối để

$$n=1+7k, \quad (1+19)+7k, \quad (1+2 \cdot 19)+7k, \quad (1+3 \cdot 19)+7k, \quad (1+4 \cdot 19)+7k, \quad (1+37)+7k, \quad (1+2 \cdot 37)+7k$$

($k=0, 1, 2, \dots$).

Và vì các số hạng đầu tiên trong các biểu thức này - 1, 20, 39, 58, 77, 38 và 75 - nhỏ hơn 100 và khi chia cho 7 sẽ cho tất cả các số dư có thể có (lần lượt là 1, 6, 4, 2, 0, 3 và 5), nên tất cả các số $n, n \geqslant 100$ đều được bao gồm trong các số được viết. Trên thực tế, dễ hiểu là trong những số này đều có số lớn hơn 70. Hãy suy nghĩ xem liệu giới hạn này có thể được giảm thêm hay không.

TRONG. A. Lý

**Trước hết, chúng ta chứng minh bằng quy nạp theo $n$ rằng $x_n = tg n a$, trong đó $a = \arctg 2$. Đối với $n=1$ điều này đúng tùy theo điều kiện. Bây giờ hãy $x_n = tg n a$; Sau đó

$$x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} = \frac{tg a + tg n a}{1 - tg a \ tg n a} = tg(n+1)a,$$

47

Các góc có các cạnh $R$, mỗi góc được tưới nước bằng cách lắp đặt riêng.

Theo hướng ngang, một hàng 6 được lắp đặt phục vụ khoảng cách $6b = 600\sqrt{3} \approx 1039,23 > 1000$, sao cho theo hướng này mọi vật thể đều an toàn. Đúng, trong một số 7 cái được cài đặt trong Hình 2 và 3, những cái ở ngoài cùng nhô ra ngoài ranh giới của trường, nhưng điều này rất dễ khắc phục - bạn có thể chỉ cần di chuyển từng cái trong số chúng đến rìa của trường hoặc giảm đều tất cả các khoảng cách theo chiều ngang.

Với nhiều cách biểu hiện khác nhau, mạng lục giác “tối ưu” trong các bài toán và hiện tượng vật lý có thể được chỉ ra, chẳng hạn như trong cuốn sách “Kính vạn hoa toán học” của G. Steinhaus từ bộ Thư viện «Kvant» (M., 1981). Hãy viết thư cho chúng tôi nếu bạn biết được bất kỳ công dụng thú vị nào của nó trong động vật hoang dã (tất nhiên là không tính tổ ong nổi tiếng) hoặc trong công nghệ.

N. B. Vasiliev

M835*. Pshakhmatov từ quốc gia $A$ và pshakhmatov từ quốc gia $B$ đã đến tham dự giải cờ vua một vòng. Hóa ra, cho dù bạn chia những người chơi cờ thành từng cặp như thế nào (cheat khác nhau ở các quốc gia khác nhau và người chơi cờ từ các quốc gia khác nhau), sẽ có ít nhất một cặp người chơi cờ đã gặp nhau trước những người khác. Chứng minh rằng có thể chọn một quân cờ từ quốc gia $A$ và quân cờ từ quốc gia $B$ sao cho mỗi quân cờ được chọn đều gặp từng quân cờ đã chọn $a + b > n$.

Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp trên $n$.

Đối với $n = 1$ mệnh đề bài toán là hiển nhiên ($a = b = n = 1$). Bây giờ chúng ta cần chứng minh nó cho $n = k$, giả sử rằng nó đúng với mọi $n < k$.

Trong trường hợp mỗi người trong số $k$ người chơi cờ từ quốc gia $A$ trước đó đã gặp từng người chơi từ $B$ thì không có gì để chứng minh ($a = b = k$). Do đó, chúng ta sẽ giả định rằng bằng cách nào đó hai ván cờ - $a$ từ $A$ và $B$ - chưa gặp nhau. Khi đó các quân cờ còn lại thỏa mãn điều kiện bài toán cho $n = k - 1$. (Nếu bạn tạo các cặp từ chúng và thêm ($a, \beta$) vào chúng, thì theo điều kiện, các cặp cờ gặp phải sẽ rơi vào một trong các cặp này, nhưng chắc chắn không rơi vào ($a, \beta$).) Theo giả định của Ấn Độ, bạn có thể đảo ngược nhóm $A$ từ $a_1$ cờ quốc gia $A$ và nhóm $B$ từ $b_1$ của cờ vua của đất nước $B$ để mọi người chơi cờ của nhóm $A$ gặp nhau trong số $B$ và $a_1 + b_1 > k - 1$. Nếu hóa ra $a_1 + b_1 > k$, mọi thứ đều ổn ($a = a_1, b = b_1$). Vẫn còn phải xem xét trường hợp $a_1 + b_1 = k$; Lý do được minh họa bằng hình vẽ bên lề.

Đặt $A$ là một nhóm gồm $k - a_1 = b_1$ cờ vua từ $A$ không được bao gồm trong nhóm $A$, $B$ là một nhóm gồm $B$ cờ vua không được bao gồm trong $B$. Chúng tôi sẽ tổ chức hai giải đấu mới - dành cho các nhóm $A$ và $B$ ($n = a_1$) và $A$ và $B$ ($n = b_1$). Một trong những khách du lịch này (để định nghĩa, có tính đến các nhóm tài khoản $A$ và $B$) thỏa mãn điều kiện bài toán. (Mặt khác, có thể tạo các cặp từ các nhóm cờ vua $A$ và $B$, và độc lập với các nhóm $A$ và $B$, sao cho không có cặp nào trong số này chứa các quân cờ gặp phải và điều này mâu thuẫn với điều kiện của hành trình “chung”.) Theo giả định quy nạp trong nhóm $A$ người ta có thể tìm thấy $a_2$ của cờ vua, mỗi cặp trong số đó đã đáp ứng được từng điều này $a_1 + b_2 > a_1$. Ngoài ra, bằng cách chọn các nhóm $A$ và $B$, người ta có thể tìm thấy những lá cờ $a = a_2$ này gặp từng nhóm trong số $b_1$ nhóm cờ vua $B$. Vì vậy, chúng ta có thể chọn $a = a_2$ cờ vua từ quốc gia $A$ và $b = b_1 + b_2$

48

Trong “bàn họp” này, mỗi cột tương ứng với một quân cờ từ quốc gia $A$ và một hàng tương ứng với một quân cờ từ quốc gia $B$ (ở đây $n=6$). Các đơn vị được đặt ở giao điểm của các hàng và cột tương ứng với những người chơi cờ đã gặp trước đó và các số 0 được đặt ở những nơi khác. Các ô tương ứng với thông số của người chơi cờ được đánh dấu màu vàng và một trong những hệ số 0 độc lập tối đa được đánh dấu màu đỏ.

Trong trường hợp của chúng tôi, các hàng và cột trong ma trận (“bàn họp” - xem hình) giống nhau (và bằng $n$); điều kiện bài toán có nghĩa là trong bất kỳ tập hợp số độc lập nào cũng có một đơn vị, tức là số lượng số 0 độc lập tối đa nhỏ hơn $n$. Theo định lý Köng, có thể chỉ định ít hơn $n$ dòng chứa toàn số 0. Sau đó, tại giao điểm của các đường được đánh dấu - $a$ cột và $b$ hàng, trong đó $a+b>n$ - có những đường thẳng, và về bản chất, đây là những gì được nêu trong bài toán.

Một tuyên bố tương đương khác, thường không được sử dụng trong tối ưu hóa bài toán, là định lý biểu diễn riêng biệt của Hall (hoặc “định lý thuộc tính”): hãy để mỗi cô gái trong số $n$ biết một số cô gái $n$ và đối với bất kỳ người $k$ nào ($k=1, 2, \dots, n$) có ít nhất $k$ cô gái quen thuộc với ít nhất một trong số họ; Sau đó, chúng có thể được chia thành từng cặp để trong mỗi cặp sẽ có một cô gái quen thuộc và một ionisha. Định lý này dưới nhiều công thức khác nhau và với nhiều cách chứng minh có thể được tìm thấy trong các bài báo của M. I. Bashmkov («Kvant», 1970, No. 4, p. 14) và V. N. Vaguten («Kvant», 1974, No. 11, p. 23).

L. D. Meniches

F842. Trong mạch như hình vẽ, tại một số điểm các phím $K$ bị đóng. Tìm giá trị đặt của điểm chạy qua cuộn dây có độ tự cảm $L$ và điện trở hoạt động $r$. Điện tích nào sẽ chạy qua điện kế $\Gamma$ sau khi đóng công tắc? Các thông số của các phần tử chỉ ra trong hình được coi là đã cho. Bỏ qua điện trở trong của nguồn và điện trở của điện kế.

Ở trạng thái ổn định, khi mạch có dòng điện không đổi và cuộn cảm chỉ có điện trở tác dụng $r$ thì mạch sẽ đối xứng. Trong trường hợp này, dòng điện qua điện kế bằng 0 và các điểm ở phần bên phải và bên trái của phần phân nhánh của mạch sẽ bằng nhau và bằng $\frac{\varepsilon}{(R+r)}$. Do đó, ở trạng thái ổn định, dòng điện qua cuộn dây sẽ bằng nhau.

$$I_L(\infty) = \frac{\varepsilon}{(R+r)}$$

Bây giờ, tại một thời điểm tùy ý nào đó, các điểm cũng chạy qua các phần tử của mạch điện, như trong hình. Vì điện trở của điện kế bằng 0, nên đối với mọi giá trị hữu hạn của điểm đi qua điện kế đều bằng 0, đối với mọi giá trị hữu hạn của điểm đi qua điện kế đều bằng 0, và do đó, tại bất kỳ thời điểm nào, các điểm $I_1$ và $I_2$ sẽ bằng nhau.

Theo định luật bảo toàn điện tích thì

$$I_1 = I_\Gamma + I_L,$$

$$I = I_1 + I_2 = 2I_1 = I_L + I_3$$

Theo định luật Ohm cho đường viền abcd,

$$I_L r - I_3 r = -L \frac{dI_L}{dt}$$

Từ phương trình (3) và (2) chúng ta thu được:

$$I_1 - I_L = \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt}$$

Sử dụng phương trình (1), ta tìm được mối liên hệ giữa điểm $I_\Gamma$ qua điện kế và dòng điện $I_L$ qua cuộn cảm:

• Ví dụ, xem Hall M. Tổ hợp. M.: Mir, 1970.

49

$$I_\Gamma = \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt}.$$

Dòng điện chạy qua điện kế rất tiện lợi

$$Q = \int_0^\infty I_\Gamma dt = \int_0^\infty \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt} dt = \frac{L}{2r} \int_0^\infty dI_L =$$

$$= \frac{L}{2r} \left[ I_L(\infty) - I_L(0) \right] = \frac{L}{2r(R+r)}.$$

Ở đây $I_L(0)$ là cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây lúc đầu. Trước khi đóng công tắc, dòng điện $I_L$ bằng 0; do đó, sau khi đóng nó cũng sẽ bằng 0: $I_L(0) = 0$.

V. V. Mozhaev

F843. Một bánh xe có bán kính $R$, nằm ở độ cao $H$ so với mặt đất, chuyển động với vận tốc góc $\omega$. Calla biến mất khỏi bánh xe và rơi xuống đất tại điểm $B$ dưới tâm bánh xe (Hình 1). Tìm thời điểm gắn calla và điểm $A$ của bánh xe mà tại đó calla bong ra.

Hình 1

Hình 2.

F844. Một vật có khối lượng $m$ và thể tích $V$ được hạ xuống một bình chứa đầy hỗn hợp chất lỏng, mật độ của nó thay đổi theo độ sâu theo định luật $\varphi = \varphi_0 + \alpha h$. Toàn bộ cơ thể chìm trong chất lỏng. TRÊN

Để tìm thời điểm đặt một calla, chúng ta hãy tưởng tượng rằng cùng lúc đó một calla bị ẩn khỏi mỗi điểm của bánh xe và xem xét chuyển động của các calla này trong một hệ thống báo cáo rơi với gia tốc $g$. Trong hệ thống này, calli di chuyển theo quán tính với tốc độ $v = \omega R$. Sau thời gian $t$ chúng sẽ ở trên một vòng tròn bán kính

$$r = \sqrt{R^2 + v^2 t^2}$$

(Hình 2). Để tìm vị trí của calli trong hệ thống báo cáo cố định nối đất, vòng tròn này phải hạ xuống một khoảng

$$s = gt^2/2$$.

Rõ ràng là tại thời điểm $r + s = H$, calla phải đạt tới điểm $B$ trên mặt đất. Từ điều kiện

$$\sqrt{R^2 + v^2 t^2} + \frac{gt^2}{2} = H$$

chúng tôi tìm thấy:

$$t_{\text{пад}}^2 = \frac{2}{g^2} \left((v^2 + gH) \pm \sqrt{v^4 + 2gHv^2 + g^2R^2}\right).$$

Trong công thức này, chỉ dấu trừ xác định chúng ta, vì căn bậc hai tương ứng với điểm đến tại điểm $B$ của calla nằm ở điểm $N$ của đường tròn (xem Hình 2) và calla này bị trễ bởi bánh xe. Thay thế $v = \omega R$, chúng tôi tìm thấy:

$$t_{\text{пад}} = \sqrt{2(\omega^2 R^2 + gH - R \sqrt{\omega^4 R^2 + 2gH\omega^2 + g^2R^2})}$$

(*)

Biết thời gian để loa kèn đạt tới điểm $B$, người ta dễ dàng tìm được điểm tách nó ra khỏi bánh xe. Thật vậy, trong một hệ thống báo cáo đang rơi, calla này, sau thời gian $t = t_{\text{пад}}$ sau khi tách, sẽ kết thúc tại điểm $M$ của vòng tròn (xem Hình 2). Do đó, nó thoát ra ở điểm $A$ sao cho

$$tg a = \frac{vt_{\text{пад}}}{R} = \omega t_{\text{пад}},$$

trong đó $t_{\text{пад}}$ được xác định theo công thức (*).

A. N. Grigorenko

II, ở trạng thái cân bằng, trọng tâm của khối lập phương nhúng trong hỗn hợp có độ sâu $H$. Lực hấp dẫn tác dụng lên khối lập phương được cân bằng bởi lực nâng bằng trọng lượng của hỗn hợp có trong thể tích của khối lập phương.

Để tìm trọng lượng này, chúng ta hãy chia chất lỏng có thể tích hình lập phương thành $n$ các lớp mỏng nằm ngang

50

Nó sẽ sâu bao nhiêu nếu nó có hình khối? quả bóng?

độ dày $\Delta h$ sao cho trong mỗi mật độ chất lỏng có thể được coi là không đổi (xem hình). Khi đó trọng lượng của chất lỏng trong thể tích của khối lập phương bằng

$$P = gS \cdot \Delta h \left( \varrho_1 + \varrho_2 + \dots + \varrho_n \right)$$

($S$ là diện tích mặt hình lập phương). Vì mật độ của hỗn hợp thay đổi tuyến tính theo độ sâu nên tổng trong ngoặc đơn là $(\varrho_1 + \varrho_n)n/2$. Nếu $\varrho_1$ là mật độ ở mặt trên của hình lập phương và $\varrho_n$ ở dưới cùng thì

$$\varrho_1 = \varrho_0 + a \left( H - \frac{a}{2} \right), \quad \varrho_n = \varrho_0 + a \left( H + \frac{a}{2} \right),$$

trong đó $a$ là chiều dài của cạnh hình lập phương. Như vậy,

$$P = gS \cdot \Delta h \cdot n \frac{\varrho_1 + \varrho_n}{2} = gSa(\varrho_0 + aH) = gV(\varrho_0 + aH).$$

Bây giờ từ điều kiện cân bằng của khối -

$$mg = gV(\varrho_0 + aH)$$

• hãy tìm độ sâu của sự chìm đắm của nó:

$$H = \frac{m - \varrho_0 V}{aV}.$$

Theo cách tương tự, bạn có thể tìm thấy độ sâu ngâm của quả bóng. Do đó, bạn sẽ đảm bảo rằng quả bóng được ngâm trong hỗn hợp ở độ sâu tương đương với khối lập phương.

Từ lời giải trên, rõ ràng rằng nếu một vật có khối lượng $m$ và thể tích $V$ có ​​hình dạng sao cho diện tích các mặt cắt ngang của nó, lấy ở cùng khoảng cách thẳng đứng với một điểm $O$ nào đó của vật thể, bằng nhau, thì khi vật được nhúng hoàn toàn vào hỗn hợp, điểm $O$ sẽ ở độ sâu $H = \frac{m - \varrho_0 V}{aV}$.

L. G. Markovich

F845. Một va chạm nhỏ lọt vào bên trong buồng bánh xe tự động có bán kính $R$. Kameik tự động sẽ quay với bánh xe ở tốc độ tối thiểu bao nhiêu nếu hệ số ma sát giữa kameik và máy ảnh là $\mu$?

Ba lực tác dụng lên khoang bên trong kameik (xem hình): trọng lực $mg$, phản lực pháp tuyến $\vec{N}$ và lực ma sát $\vec{F}$. Để kameik quay cùng với bánh xe, các lực này phải truyền cho nó một gia tốc hướng tâm $v^2/R$, trong đó $v$ là tốc độ quay tuyến tính của bánh xe, bằng tốc độ chuyển động tự động (bánh xe quay không bị trượt).

Chúng ta hãy viết phương trình chuyển động của kameika trong các hình chiếu trên trục $X$ và $Y$ (xem hình):

$$F = mg \sin (\pi - a) = 0,$$

$$N + mg \cos (\pi - a) = mv^2/R.$$

Từ phương trình (1) chúng ta tìm thấy:

$$F = mg \sin a.$$

Giá trị tuyệt đối của lực ma sát không thể lớn hơn $\mu N$, và do đó $N \geqslant F/\mu$. Giá trị tối thiểu $v$ tương ứng, như có thể thấy từ phương trình (2), đến $N = \frac{F}{\mu} = \frac{m}{\mu} g \sin a$. Có tính đến điều này, chúng tôi nhận được:

$$v_{\text{min}}^2 = Rg \left( \frac{\sin a}{\mu} - \cos a \right).$$

Biểu thức trong ngoặc đơn là tối thiểu khi hàm tùy ý $f(a) = \frac{\sin a}{\mu} - \cos a$ bằng 0, nghĩa là

$$\frac{\cos a}{\mu} + \sin a = 0 \Rightarrow -\mu = \text{ctg} a.$$

Sau đó

$$\sin a = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{ctg}^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$