Задачи М846—М850; Ф858—Ф862

41

Задачик
кванта

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Найболее трудные задания отмещаются звездочек. После формировки задания мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задания публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 30 апреля 1984 года по адресу: 103006, Москва, K-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 2 — 84» и номера задач, решения которых вы посылаете, например, «M846, M847» или «Ф858». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах с вашим решением этой задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указать номер школа и класс, в котором вы учитесь.

М846. Докажите, что среднее арифметическое длин сторона правильно многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей.

В. Ф. Лев

М847. Квадрат расчерчен на $n \times n$ клеток. Двое игроков по очереди обводят по одной стороне одной клетки (дважды обводить одну и ту же сторону нельзя). Кто выиграет при правильной игре, если
a) побеждает игрок, первый построивший замкнутую линию;
b) проигравает игрок, который вынужден первым построить замкнутую линию.

И. Ветров, А. Кодан

М848. a) Постройте график функции
$$f_0(x) = \left| x - 1 \right| - 2 \left| x \right| - 3$$

б) На рисунке 1 изображены графики трех «кусочно-линейных» функции $f_1, f_2, f_3$. Запишите формулы для них в виде
$$y = kx + b + c_1 |x - a_1| + \dots + c_m |x - a_m|,$$
где $k, b, c_i, a_i$ — некоторые числа, $m$ — количество точек излома графика ($a_i$ — абсциссы точек излома, $i = 1, 2, \dots, m$).

в) Запишите в таком же виде функцию $f_0$ из пункта a).

г) * Некоторые функции являются комбинацией линейных функций, «модуля» и операции сложения, причем знак modulo использован в ее записи $n$ раз (в примере a) $n = 4$. Какое наиболее число изломов (при каждой $n$) может иметь ее график?

П. Г. Сатьянов

М849. Из цифр 1, 2, …, 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равнять сумму седьмых степеней остальных чисел.

Г. А. Гальперин

М850*. Через точку пересечения биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Докажите, что длина меншшего основания об-

42

разовавшейся трапеци равна получиме длине ее боковых сторон.

В. Н. Дубровский

Ф858. После удара футболиста мяч полетел в направлении ворот, находящихся на расстоянии $L=32$ м, со скоростью $v=25$ м/c под углом $\alpha$ к горизонту ($\cos \alpha=0,8$). Из-за бокового ветра, душшего вдоль ворот перепendlukулярно скорости $\vec{v}$, горизонтальное смещение мяча в плоскости ворот оказалось равным $s=2$ м. Найти время полета мяча до плоскости ворот. Мяч не врашается; скорость ветра $u=10$ м/c.

В. И. Чивилёв

Ф859. Шар радиуса $R$ и массы $m$ движется по горизонтальной поверхности под действием постоянной силы натяжения $\vec{F}$ легкой нерсатяжимой нити. Точка закрепления нити находится на высоте $h$ над поверхностью (рис. 2), нить все время горизонтальная, шар движется поступательно. При каком максимальном коэффициенте треня это возможно? Чему равноускорение шара?

Л. Г. Маркович

Ф860. В кончекской непроводящей лунке с углом $2\alpha$ при вершине на глубине $h$ находится два небольших одинаково заряженных тела, связанных нитью (рис. 3); масса каждой тела $m$. После пережигания нити тела начинают скольнить вверх по поверхности лунки и вылетают из лунки на высоте $H$ над ее основанием со скоростью $v$. Коэффициент треня тела по вершине лунки $\mu=a \text{tg} \alpha$ ($a<1$). Определить заряды тел.

О. Я. Савченко

Ф861. В колебательном RLC контуре сопротивление невелико, так что колебания затухают в нем слабо. Для получения незатухающих колебаний поступают следующим образом: дважды за период в моменты, когда ток в цепи максимален, катушку индуктивности быстро растягивают от длины $l$ до длины $l+\Delta l$, а в моменты, когда максимален заряд на конденсаторе, катушку быстро скжимают до прежнего размена (параметрический резонанс). При каком относительной изменении длины катушки $\Delta l/l$ колебания в контуре будет незатухающим? Индуктивность катушки считать обратно пропорциональной ее длине.

А. И. Киркинский

Ф862. Линза с фокусным расстоянием $F$ и диаметром $d$ вставлена в ответе такого же диаметра в экране из светопоглощающего материалов ($d/F<2$). Экран расположен так, что оптическая ось линзы совпадает с биссектральной плоскостью и перепendlukулярна ребру ду-

45

Из этого соотношения видно, что $|AD| = |BC|$ тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{MN} = 0$, то есть отрезки $PQ$ и $MN$ перпендикулярны (или вырождаются).

Оба решения без изменений проходят для любой четырёх точек $A, B, C, D$ на плоскости или в пространстве. В частности, справедливы, например, такие утверждения: если у четырехугольника средние линии перпендикулярны, то его диагонали равны; если три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер tetrahedра, попарно перпендикулярны, то каждое его ребро равно противоположному (о таких — «равнограничных» — tetrahedра рассказываюсь в стате В. Э. Матизена в «Кванте» № 7 за 1983 г.). Из приведенных решений также видно, что в условиях задачи прямые $AD$ и $BC$ образуют равные углы с $PQ$ (и с $MN$).

В. В. Прасолов,
В. Н. Дубровский

**M832. a) Докажите, что для любого натурального $n \geqslant 6$ квадрат можно разрезать на $n$ квадратов (среди которых могут быть и квадраты одинакового размера).

б) Докажите, что для любого натурального $n \geqslant 100$ куб можно разрезать на $n$ кубов.

a) Если квадрат разрезан на $n$ квадратов, то разрезая любой из них на 4 равных квадрата, мы получим разрезание исходного на $n+3$ квадрата. Поэтому достаточно придумать разрезания для $n=6$ (что дает все $n=3k$, $k=2, 3, \dots$), для $n=7$ (что дает все $n=3k+1$) и для $n=8$ (что дает все $n=3k+2$). Эти разрезания показаны на рисунке 1.

б) Идея решения также же, как в пункте a). Разрезая любой из кубов, составляющих исходный куб, на $m$ равных кубов, мы увеличим общее число частей

Рис. 2.

Рис. 3.

*M833. Последовательность $x_n$ задается условиями:

$$x_1 = 2; \quad x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} \quad (n=1, 2, 3, \dots).$$

Рис. 1.

на $m-1$. Нам попадобятся три основных способа разрезания: для $m=8$ (по схеме $2 \times 2 \times 2$), для $m=20 = 3^3 - 2^3 + 1$ (8 кубов из 27, образующих куб $3 \times 3 \times 3$, заменяются на один размер $2 \times 2 \times 2$; рис. 2) и для $m = 38 = 4^3 - 3^3 + 1$ (27 кубов в разрезании $4 \times 4 \times 4$ заменяются на один размер $3 \times 3 \times 3$; рис. 3). Комбинируя эти разрезания по указанному прицилиу, мы получим, что куб можно разрезать на $n$ кубов для

$$n=1+7k, \quad (1+19)+7k, \quad (1+2 \cdot 19)+7k, \quad (1+3 \cdot 19)+7k, \quad (1+4 \cdot 19)+7k, \quad (1+37)+7k, \quad (1+2 \cdot 37)+7k$$

($k=0, 1, 2, \dots$).

А так как первые слагаемые в этих выражениях — 1, 20, 39, 58, 77, 38 и 75 — меньше 100 и дают при делении на 7 все возможные остатки (соответственно, 1, 6, 4, 2, 0, 3 и 5), среди выписанных чисел содержатся все числа $n, n \geqslant 100$. В действительности, как легко понять, среди этих чисел содержат все числа, больше 70. Подумайте, можно ли еще уменьшить эту границу.

В. А. Ли

**Прежде всего докажем индуцией по $n$, что $x_n = tg n a$, где $a = \arctg 2$. При $n=1$ это верно по условиям. Пусть теперь $x_n = tg n a$; тогда

$$x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} = \frac{tg a + tg n a}{1 - tg a \ tg n a} = tg(n+1)a,$$

47

Угольники со сторонай $R$, каждый из которых поливается своей установкой.

В горизонтальном направлении ряд из 6 установлен обслуживает расстояние $6b = 600\sqrt{3} \approx 1039,23 > 1000$, так что и в этом направлении все объекты благополучно. Правда, в ряде из 7 установлен на рисунках 2 и 3 крайние выступают за границы поля, но это легко исправить — можно просто сдиинуть каждую из них на край поля или равномерно уменшить все расстояния по горизонтали.

С различными проявлениями «оптимальное» шестиугольной решетки в математических задачах и физических явлениях можно позначить, например, в книге Г. Штейнгауза «Математический калейдоскоп» из серии Библотечка «Квант» (М., 1981). Напишите нам, встречались ли вам интересные ее использования в живой природе (не считая, конечно, всем известных пчелиных сот), в технике.

Н. Б. Васильев

M835*. На однокрутовой шахматный турир приехало пшахматов из страны $A$ и пшахматов из страны $B$. Окзадось, что как бы ни разбить шахматов на пары (читы другие с другой церрали шахматисты разных стран), найдется хотя бы одна пара шахматистов, которые уже встречались ранее другие с другой. Докажите, что можно выбрать а шахматов из страны $A$ и пшахматов из страны $B$ так, что каждый из выбранных а шахматов встречался с каждой из выбранных в шахматов, $a + b > n$.

Доказательство проводем индykцией по $n$.

При $n = 1$ утверждение задачи очевидно ($a = b = n = 1$). Теперь надо доказать его для $n = k$, предполагая, что оно верно для всех $n < k$.

В случае, когда каждый из $k$ шахматов, прибивших из страны $A$, встречался ранее с каждой, прибившим из $B$, доказываясь нечего ($a = b = k$). Поэтому будем считать, что какне-то два шахматства — $a$ из $A$ и $B$ — друг с другом не встречались. Тогда остальные шахматные удовлетворяют условию задачи для $n = k - 1$. (Если составить из них пары и присоединить к ним ($a, \beta$), то по условию в одну из этих пар, но заведomo не в ($a, \beta$), попадут встречавшиеся шахматные.) По предположению индykции можно обращать группу $A$ из $a_1$ шахматов страны $A$ и группу $B$ из $b_1$ шахматов страны $B$ так, что каждый шахматист группы $A$ встречался с каждой из $B$ и $a_1 + b_1 > k - 1$. Если окажется, что $a_1 + b_1 > k$, — все в порядке ($a = a_1, b = b_1$). Остается рассмотреть случай $a_1 + b_1 = k$; рассудения иллюстрирует рисунок на полях.

Пусть $A$ — группа из $k - a_1 = b_1$ шахматов из $A$, не вошедших в группу $A$, $B$ — группа шахматов из $B$, не вошедших в $B$. Устройм два новых турира — для групп $A$ и $B$ ($n = a_1$) и $A$ и $B$ ($n = b_1$). Один из этих туриров (для определения, с учетом групп $A$ и $B$) удовлетворяет условию задачи. (В противном случае можно так составить пары из шахматов групп $A$ и $B$, и независям, групп $A$ и $B$, что ни в одной из этих пар не попадут встречавшиеся шахматные, а это противоречит условию для «общего» турира.) По предположению индykции в группе $A$ можно найти $a_2$ шахматов, каждой из которых встречался с каждой из таких $a_1 + b_2 > a_1$. Кроме того, по выбору групп $A$ и $B$ можно найти эти $a = a_2$ шахматов встречался с каждой из $b_1$ шахматов группы $B$. Таким образом мы можем выбрать $a = a_2$ шахматов из страны $A$ и $b = b_1 + b_2$

48

В этой «таблице встреч» каждый столбец отвечает шахматному из страны $A$, а строка — шахматному из $B$ (здеся $n=6$). Единицы ставятся на пересечении строк и столбцов, отвечающих встречавшимся ранее шахматистам, на остальных местах — нулы. Желтым цветом отмечены клетки, отвечающие параметры шахматистов, красным — одна из максимальных систем независящих нулей.

В нашем случае строки и столбцов в матрице («таблице встреч» — см. рис.) одинаково (и равно $n$); условие задачи означает, что в любом наборе независящих чисел есть единица, то есть максимальное число независящих нулей меньше $n$. По теореме Кёнга можно указать меньше $n$ линей, содержащих все нулы. Тогда на пересечениях отмеченных линей — $a$ столбцов и $b$ строк, где $a+b>n$, — стояят единицы, а это, по существу, и утверждается в задаче.

Еще одно эквивалентное утверждение, часто непользуемое в оптимизации задач, — теорема Холла о различных представлениях (или «теорема о свойстваве»): пусть каждый из $n$ ионишей знаком с некоторыми из $n$ деваушек, причем для любых $k$ ионишей ($k=1, 2, \dots, n$) имеется по крайней мере $k$ деваушек, знакомх хотя бы с одним из них; тогда их можно разбить на пары так, что в каждой паре будут знакомые деваушка и иониша. Эту теорему в разных формулировках и с несколькоми доказательствами можно найти в статьях М. И. Башмакова («Квант», 1970, № 4, с. 14) и В. Н. Вагутена («Квант», 1974, № 11, с. 23).

Л. Д. Менихес

Ф842. В схеме, изображенной на рисунке, в некоторых моментах замыкают ключи $K$. Найти установленное значение точки, текущего через катушки с индуктивностью $L$ и активным сопротивлением $r$. Какой заряд протечет через галванометр $\Gamma$ после замыкания ключи? Параметры элементов, указанные на рисунке, считать заданными. Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением галванометра пребрежить.

В установившемся режиме, когда в схеме будет точь постоянный ток, а катушка индуктивности будет обладать только активным сопротивлением $r$, схема будет симметричной. В этом случае ток через галванометр равен нулю, а точки в правой илевой части разветвленного участка схемы будут равны друг другу и равны $\frac{\varepsilon}{(R+r)}$. Следовательно, в установившемся режиме ток через катушка будет равен.

$$I_L(\infty) = \frac{\varepsilon}{(R+r)}$$

Пусть теперь в некоторый произвольный момент через элементы схемы текут также точки, как это показано на рисунке. Поскольку сопротивление галванометра равен нулю, при любых конечных значениях точки через галванометр равен нулю, при любых конечных значениях точки через галванометр равен нулю, и следовательно, в любой момент времени точки $I_1$ и $I_2$ будут равны.

Согласно закону сохранения заряда,

$$I_1 = I_\Gamma + I_L,$$

$$I = I_1 + I_2 = 2I_1 = I_L + I_3$$

Согласно закону Ома для контура abcd,

$$I_L r - I_3 r = -L \frac{dI_L}{dt}$$

Из уравнения (3) и (2) получаем:

$$I_1 - I_L = \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt}$$

Используя уравнение (1), найдем связь точки $I_\Gamma$ через галванометр с током $I_L$ через катушки индуктивности:

*См., например, Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

49

$$I_\Gamma = \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt}.$$

Заряд, протекший через галванометр, очень удобен

$$Q = \int_0^\infty I_\Gamma dt = \int_0^\infty \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt} dt = \frac{L}{2r} \int_0^\infty dI_L =$$

$$= \frac{L}{2r} \left[ I_L(\infty) - I_L(0) \right] = \frac{L}{2r(R+r)}.$$

Здесь $I_L(0)$ — ток через катушка в начальной момент времени. До замыкания ключа ток $I_L$ был равен нулю; следовательно, и после замыкания он также будет равен нулю: $I_L(0) = 0$.

В. В. Можаев

Ф843. Колесо радиуса $R$, расположенное на высоте $H$ над землей, врачается с угловой скоростью $\omega$. С колеса скрывается калля и падает на землю в точке $B$ под центром колеса (рис. 1). Найти время nadения калля и точку $A$ колеса, в которой калля отрывается.

Рис. 1

Рис. 2.

Ф844. В сосуд, наполненный смесью жидкости, плотность которого изменяется с глубиной по закону $\varphi = \varphi_0 + \alpha h$, опускают тело массы $m$ и объема $V$. Тело целиком поружается в жидкость. На

Чтобы найти время nadения калли, представим себе, что одновременно с каждой точки колеса скрывается калли, и рассмотрим движение этих каллы в системе отчета, падающей сускорением $g$. В этой системе калли движется по инерции со скоростью $v = \omega R$. Через время $t$ они будут находиться на окружности радиуса

$$r = \sqrt{R^2 + v^2 t^2}$$

(рис. 2). Чтобы найти положение калли в неподвижной системе отчета, связанной с землей, эту okружность надо опустить на расстояние

$$s = gt^2/2$$.

Ясно, что в тот момент, когда $r + s = H$, калля должен до точки $B$ на земле. Из условия

$$\sqrt{R^2 + v^2 t^2} + \frac{gt^2}{2} = H$$

находим:

$$t_{\text{пад}}^2 = \frac{2}{g^2} \left((v^2 + gH) \pm \sqrt{v^4 + 2gHv^2 + g^2R^2}\right).$$

В этой формуле нас устанавливает только знак «минус», так как второй корень соответствует приходу в точку $B$ той калли, которая находится в точке $N$ okружности (см. рис. 2), а эта калля задерживается колесом. Подставляя $v = \omega R$, находим:

$$t_{\text{пад}} = \sqrt{2(\omega^2 R^2 + gH - R \sqrt{\omega^4 R^2 + 2gH\omega^2 + g^2R^2})}$$

(*)

Зная время nadения калли до точки $B$, легко найти точку ее отрыва от колеса. Действительно, в падающей системе отчета эта калля через время $t = t_{\text{пад}}$ после отрыва должна оказаться в точке $M$ okружности (см. рис. 2). Следовательно, она отрывается в точке $A$ такой, что

$$tg a = \frac{vt_{\text{пад}}}{R} = \omega t_{\text{пад}},$$

где $t_{\text{пад}}$ определяется формулой (*).

А. Н. Григоренко

IIусть в состоянии равновесия центр тяжесте куба, погруженного в смесь, находится на глубине $H$. Сила тяжесте, действующая на куб, уравновешивается в仗алкивающей силой, равной численному весу смеси в объеме куба.

Чтобы найти этот вес, разобем мысленно жидкость в объеме куба на $n$ тонких горизонтальных слоев

50

какой глубине оно окажется, если имеет форму куба? шара?

толщины $\Delta h$ таких, что в пределах каждой плотность жидкости можно считать постоянной (см. рисунок). Тогда вес жидкости в объеме куба равен

$$P = gS \cdot \Delta h \left( \varrho_1 + \varrho_2 + \dots + \varrho_n \right)$$

($S$ — площадь грани куба). Поскольку плотность смеси меняется с глубиной по линейному закону, сумма, стоящая в скобках, равна $(\varrho_1 + \varrho_n)n/2$. Если $\varrho_1$ — плотность у верхней грани куба, а $\varrho_n$ — у нижней, то

$$\varrho_1 = \varrho_0 + a \left( H - \frac{a}{2} \right), \quad \varrho_n = \varrho_0 + a \left( H + \frac{a}{2} \right),$$

где $a$ — длина ребра куба. Таким образом,

$$P = gS \cdot \Delta h \cdot n \frac{\varrho_1 + \varrho_n}{2} = gSa(\varrho_0 + aH) = gV(\varrho_0 + aH).$$

Тепер из условия равновесия куба —

$$mg = gV(\varrho_0 + aH)$$

— найдем глубину его погружения:

$$H = \frac{m - \varrho_0 V}{aV}.$$

Аналогичным образом можно найти глубину погружения шара. Следовательно, вы убедитесь, что шар погружается в смесь на ту же глубину, что и куб.

Из приведенного решения понятно, что если тело массы $m$ и объема $V$ имеет такое форму, что площади его горизонтальных сечений, взятых на одинаковом расстоянии по вертикали от некоторой точки $O$ тела, равны, то при полном погружении тела в смесь точка $O$ будет находиться на глубине $H = \frac{m - \varrho_0 V}{aV}$.

Л. Г. Маркович

Ф845. Внутрь камеры автоматического колеса радиуса $R$ попал небольшой камейк. При какой минимальной скорости автоматическая камейк будет вращаться вместе с колесом, если коэффициент трения камейка о камеру равен $\mu$?

На камейк внутренки камеры действуют три силы (см. рисунок): сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции $\vec{N}$ и сила треня $\vec{F}$. Чтобы камейк вращался вместе с колесом, эти силы должны сообщать ему центростремительноеускорение $v^2/R$, где $v$ — линейная скорость вращения колеса, равная скорости движения автоматics (колеска вращаются без просkalзывания).

Запишем уравнение движения камейка в проекциях на оси $X$ и $Y$ (см. рисунок):

$$F = mg \sin (\pi - a) = 0,$$

$$N + mg \cos (\pi - a) = mv^2/R.$$

Из уравнения (1) находится:

$$F = mg \sin a.$$

Абсолютное значение силы треня не может быть больше $\mu N$, и следовательно, $N \geqslant F/\mu$. Minimalному значению $v$ соответствует как видно из уравнения (2), $N = \frac{F}{\mu} = \frac{m}{\mu} g \sin a$. С учетом этого получаем:

$$v_{\text{min}}^2 = Rg \left( \frac{\sin a}{\mu} - \cos a \right).$$

Выражение, стоящее в скобках, минимально, когда произвольная функция $f(a) = \frac{\sin a}{\mu} - \cos a$ равна нулю, то есть

$$\frac{\cos a}{\mu} + \sin a = 0 \Rightarrow -\mu = \text{ctg} a.$$

Тогда

$$\sin a = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{ctg}^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$