Диэлектрики, полупроводники, полуметаллы, металлы

25

(начальная координата), а скорость равна $v_{0x}$ (начальная скорость). Промежуток $\Delta t$ выберем настолько малым, чтобы в течение этого времени силу $F_x$, а значит, и ускорение $a_x$ можно было считать постоянными. Силу $F_{0x}$ мы знаем, поскольку нам известно, как сила зависит от координаты; $a_{0x}$ мы тоже знаем, так как $a_{0x} = F_{0x}/m$. Следовательно, по известным нам формулам равноускоренного движения для скорости $v_{1x}$ и координаты $x_1$ в конце промежутка времени $\Delta t$ мы можем написать:

$$v_{1x} = v_{0x} + a_{0x} \Delta t,$$

$$x_1 = x_0 + v_{0x} \Delta t + \frac{a_{0x} \Delta t^2}{2}.$$

Затем рассмотрим движение тела в следующий столь же малый промежуток времени $\Delta t$. Начальной координатой теперь будет найденное нами значение $x_1$ и начальной скоростью — значение $v_{1x}$. В течение этого второго промежутка на тело будет действовать уже другая сила — $F_{1x}$. Ее значение мы найдем, зная зависяство силы от координаты. Соответствие другим будет и ускорение тела $a_{1x}$. Таким образом, к концу второго промежутка времени скорость тела будет равна

$$v_{2x} = v_{1x} + a_{1x} \Delta t,$$

а координата —

$$x_2 = x_1 + v_{1x} \Delta t + \frac{a_{1x} \Delta t^2}{2}.$$

Эти значения скорости и координаты будут начальным для движения тела в течение следующого, третьего, промежутка, и мы таким же способом найдем значения скорости и координаты к концу этого промежутка. Так, «двигаясь» шаг за шагом, мы сможем определить координату $x$ тела в любой момент времени. Аналогично можно найти и координаты $y$ и $z$.

В рассмотренной нами процедуре нетрудно заметить систематически ошибку, которое мы допускаем. Состоит она в том, что сила и ускорение считаются постоянными в течение каждого малого промежутка времени $\Delta t$, а в конце промежутка они скачаком изменяются. Между тем в действительности и сила, и ускорение всегда изменяются непрерывно. Уменный эту ошибку можно, уменьшив значение $\Delta t$. Ошибка практически вовсе исчезнет, если промежутки времени сделать бесконечно малыми. Но тогда число «шагов» станет бесконечно большим, и процессура из-за этого сделается невозможно.

Специально для таких случаев разработан особый математический аппarat, называемый дифференциальным и интегральным исчислением (Ньютон придумал его именно для этой цели). С его помощью и решается основная задача механики. Но принципи решения именно тот, который мы здесь рассмотрели. Именно таким способом расчитывают сложные механические движения (например, спутников и ракет) современные ЭВМ.

В заключение отметим следующие. Когда мы говорим, что основная задача механики — нахождение координаты движения тела по известным силам и начальным условиям, то это вовсе не значит, что только этим и занимается механика. Бывает и так, что движение тела, то есть его положение в любой момент времени, известно из наблюданий. Тогда законы движения позволяют найти силу, действующего на тело. Эта задача, так называемая обратная задача механики, столжее важна, как и рассмотренная нами примая задача, но, как нетрудно понять, она значительная проще.

Диэлектрики, полупроводники, полуметаллы, металлы

В классической физике было принято все вещества по их электрическим свойством разделять на проводники и диэлектрики («Физика 9», §§ 44 и 46). Современная физика различает еще два промежутных состояния — полупроводники («Физика 9», § 78) и полуметаллы. Лишь с появлением квантовой механики стало ясно, в чем различа между всеми этим типами веществ. В этой заметке мы постараемся включить суть современной квантово-

27

обшить ему дополнительную энергию, а согласно законам квантовой механики, это можно сделать, только переведя его на более высокий энергетический уровень. Но прицип Паули запрещает электромамзанимать уже занятые уровни, а попасть в следующую разрешенную зону, которая совершенно пуста, они не могут, потому что энергия, полученная от электрического поля, много меньше ширины Δ запрещенной зоны.

При температуре, отличной от нуля, электроны, в принципе, могут перейти в зону проводимости и стать носительми электрического тока. Однако для того чтобы число электронов, перешедших в эту зону, было достаточно большим, нужно диэлектрик нагреть до такой высокой температуры, что он расплавится, прежде чем ток достигнет измененной величины. При комнатной температуре ток в диэлектрике практически нечетет.

Полупроводники. От диэлектрика полупроводник отличается только тем, что ширина Δ запрещенной зоны, отделяющей валентную зону от зоны проводимости, у него много меньше (в десяти раз). При T=0 валентная зона в полупроводнике, как и в диэлектрике, целиком заполнена, и ток по образцу текь не может. Но благодаря тому, что энергия Δ не велика, уже при незначительном повышении температуры часть электронов может перейти в зону проводимости (рис. 3). Тогда электрический ток в веществе станет возникным, причем сразу по двум «каналам».

Во-первых, в зоне проводимости электроны, прибрежая энергию в электрическом поле, переходит на более высокие энергетические уровни. Во-вторых, включает в электрический ток дают… пустые уровни, оставленные в валентной зоне электронами, щедшими в зону проводимости. Действительно, прицип Паули разрешает любому электрону занять освободившийся уровень в валентной зоне. Но, заняв этот уровень, он оставляет свободным свой собственный уровень и т. д. Если следить не за движением электронов по уровнем в валентной зоне, а за движением самих пустых уровней, то оказывается, что эти уровни, имеющие начное название дырки, тоже становятся носителем тока. Число дырок, оченьindo, равно числу электронов, щедших в зону проводимости (так называемых электронов проводимости), но дырки обладают положительным зарядом, потому что дырка — это отсутствующий электрон.

Таким образом, в полупроводнике электрический ток — это ток электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Такая проводимость полупроводника называется совственной.

Электроны и дырки при движении по кристаллу взаимодействуют с atomами кристаллической решетки, теряя при этом своего энергии. С этим потерями связано электрическое сопротивление вещества. При увеличении температуры потери энергии возрастает, так что сопротивление полупроводника должно быть с ростом температуры тоже увеличивается. Но при повышении температуры растет число электронов, переходящих в зону проводимости, а следовательно, и число дырок в валентной зоне. Это значит, что растет (и очень