Маленькие хитрости маленьких

КВАНТ УЛЬБАЕТСЯ

Маленькие хитрости
маленьких

Оргинальное решение
— Лиза, реши задачу. Тебе семь лет,
а твоей подружке Оле на два года меньше.
Сколько лет Оле?
— Пять лет.
— Правильно. А как ты решала?
— Я вчера была у нее на дне рождения!

Кухня погоды
В который раз мама объявляет шестилетней Марине, почему идет дожь. Сейчас привела ее на кухню:
— Вот смотри. Когда вода кипит в кастрюле, то на ее крышку садится пар, а потом он, охлаждаясь, спадает назад в кастрюлю каплями. Так и дожь.
Девочка просила:
— Наконец-то я поняла, почему идет дожь! Его люди варят!

Заниматься надо!
Хороший солнечный день. Все детей играют во дворе, только одна трехлетняя Лена расстривает картины в книжке.
— Доченька, или погуляй.
— Нет, заниматься надо! — строго ответила девочка.

Съедобные …трубы
— Папа, что это за машина? — спросил четырелетний Дима.
— Сварочный аппарат.
— А что он делает?
— Трубы варит.
— А когда он их сварит, кто их будет есть?

В. А. Миронов

Как важно быть точным
На семинаре по ядерной физике Э. Ферми, появив зависимости эфективного секения рассеяния нейтронов от их энергии, изобразил на докке следующий график:

Затем задумался, извлек из кармана маленькую логарифмической линейку, быстро произведел какие-то вычисления и со словами «немного понятие» стер старую кривую и проевел новую

После минутного молчания аудитория разразилась смехом (введи никаких численных значений ни на том, ни на другом графике проставлено не было). Ферми сначала не понял, в чем дело, но затем понимающее улыбнулся и продолжил лекцию.
(По материалам журнала «American journal of physics», 1976, v. 44, № 3, p. 235.)

Извините за аргон
Когда в 1895 году замениты англичские учены Рэлей и Рамзай открыли первый инертный газ — аргон (за это открытие позднее им была присуждена Нобелевская премия) и ввели «нулевую» колонку для благородных газов в таблицу Мендлеева, большинство учены относилось к этому достинению скеттичски. Чрезвычайно терпельный и корректный Рэлей ответил: «Без сомнения, результат очень странен. В самом деле, я вижу некоторые признаки того, что анomalные свойства аргона преодолются как своего рода обвининия против нас. Но мы работали очень добросовестно. Факты были слипком за нас, и все, что мы можем сделать сейчас, это извиниться за самих себя и за газ».
(По материалам журнала «Успехи физических наук», 1966, т. 88, № 1, стр. 149.)

54

трехгранного угла в точках A, B и C, причем отрезки OA и OB равной длины, а отрезок OC короче отрезка OA. Известно, что величины двумя гранимного угла между плоскостью α и гранью OAB равна β. Два шара расположены по разные стороны от плоскости α так, что каждой шар касается всех гранитрехгранного угла и плоскости α. Найдите:

1. величины угла между прямой, проходящей через центры шаров, и плоскостью грани OAB,
2. отношение радиусов указаных шаров.

Вариант 4
(химический факультет)

1. Найдите все решения уравнения
   $$\cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 4 \sin x = 2 + \sqrt{2} (1 - \sin x).$$
2. Решите неравенство
   $$\left(\sqrt{x^2 - 4x + 3} + 1\right) \log_5 \left(\frac{x}{5}\right) + \frac{1}{x} \left(\sqrt{8x - 2x^2 - 6} + 1\right) \leq 0.$$
3. Треугольная призама $ABCA'B'C'$ с нижним основанием $ABC$ и боковым ребрами $AA', BB', CC'$ рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F, C, где точка E является серединой ребра AA’, а точка F лежит на ребре BB’, причем $|BF|:|FB'| = 1:2$. Найдите объем части призмы $ABCA'B'C'$, заключенной между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы, если известно, что объем призмы равен V.
4. Найдите координаты точки, лежащей на графике функции $y = 1 + \cos x$ при $0 \leq x \leq \pi$ и наименее удаленной от прямой $x\sqrt{3} + 2y + 4 = 0$.
5. Значениями переменных x, y являются действительными числа. Найдите все целые значения n, при которых система уравнения
   $$\left\{ \begin{array}{l} 6x^2 + 24y(x + y) + 2(3n - 2)x + 4(3n - 2)y + 3 = 0, \\ 4(x^2 + y^2) + (4n + 2)y + 2n^2 = 8xy + (4n + 2)x + \frac{5}{2} \end{array} \right.$$
   имеет решение. При найденных целых значениях n найдите все решения этой системы.

Вариант 5
(биологический факультет)

1. Решите уравнение
   $$4 \cos^3 x + 3\sqrt{2} \sin 2x = 8 \cos x.$$

2. Найдите все значения x, при которых произвольная функция
   $$y(x) = 3x^3 \cdot \ln x - 36x \cdot \ln x - 7x^3 + 108x$$
   равна нулю.

3. Решите неравенство
   $$8 + 6|3 - \sqrt{x + 5}| > x.$$

4. Площадь трапеции $ABCD$ равна 6. Пусть E — точка пересечения продолженной боковых сторон этой трапеции. Через точку E и точку пересечения диагональной трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание BC в точке P, а больше основание AD — в точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причем $|EF|:|FC| = |EP|:|EQ| = 1:3$. Найдите площадь треугольника EPF.

5. Найдите все значения b, при которых оба неравенства
   $$2b \cdot \cos 2(x - y) + 8b^2 \cdot \cos(x - y) + 8b^2(b + 1) + 5b < 0,$$
   $$x^2 + y^2 + 1 > 2bx + 2y + b - b^2$$
   выполняется при любых x и y.

Вариант 6
(факультет почтоведения)

1. Поле разделено на три участка. За день были вспаханы поливина первого участка и 3/4 второго участка, а третий участок, который составляет четвертую часть всего поля, был вспахан полностью. Вслаханная за день площадь поля в два раза больше площади второго участка. Какую часть площади площадь составляет площадь, Вслаханная за день?
2. Решите уравнение
   $$\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \cos 2x = 1.$$
3. Найдите действительные x и y, удовлетворяющие системе уравнения
   $$\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 1 = 3, \\ 4x + 4y = 32. \end{array} \right.$$
4. В треугольнике ABC bisсектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке K. Известно, что |BC| = 2, |KC| = 1, |BK| = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Найдите площадь треугольника ABC.
5. Найдите все значения α, которые удовлетворяют условию 2 < α < 5 и при которых уравнение
   $$\log_2(3 - |\sin \alpha|) = \cos \left(\pi x - \frac{\pi}{6}\right)$$
   относительно x имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 2 ≤ x ≤ 3.

Вариант 7
(географический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\cos^2 2x - 5 \sin^2 x + 1 = 0.$$
2. Решите неравенство
   $$\log_2(\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x + 1}) + 1.$$
3. На катете AC прямогоного треугольника ABC как на диаметре построена округность, которая пересекает гипotenуzy AB в точке K. Найдите площадь треугольника CKB, если длина катета AC равна b и величины угла ABC равна β.
4. Решите систему
   $$\left\{ \begin{array}{l} 2|x^2 - 2x - 3| - \log_2 3 = 3^{-y - 4}, \\ 4|y| - |y - 1| + (y + 3)^2 \leq 8. \end{array} \right.$$
5. Каждое из ребер треугольной прямой и ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC и точка R на ребре CD взяты так, что длина отрезка AP равна $\frac{1}{2}$, длина отрезка BQ равна $\frac{1}{3}$ и длина отрезка CR равна $\frac{1}{3}$. Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найдите величины угла между прямыми SP и SQ.

55

Вариант 8
(отделение геофизики геологического факультета)

1. Найдите все действительные решения уравнения
   $$(x+1)\sqrt{16x+17}=(x+1)(8x-23).$$

2. В треугольнике $ABC$ угол $BAC$ — прямой, длины сторона $AB$ и $BC$ равны, соответственно, 1 и 2. Биссертиса угла $ABC$ пересекает сторону $AC$ в точке $L$, $G$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Что больше — длина $BL$ или длина $BG$?

3. Решите неравенство
   $$\log_{\sin \frac{\pi}{3}}(x^2-3x+2) \geq 2.$$

4. Найдите все пары действительных чисел $x$ и $y$, удовлетворяющие системе уравнений
   $$\begin{cases} 3\sin 3x+\cos y=-4, \\ x+y=\frac{3\pi}{2}. \end{cases}$$

5. Согласно расписанию, катер проходит по реке, скорость текения которого 5 km/ч, путь из $A$ в $D$ длиной 15 km за 1 час. При этом, выходя из пункта $A$ в 12 часов, он прибивает в пункты $B$ и $C$, отстоящие от $A$ на расстояние 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигаллся из $A$ в $D$ без остановок с постоянной скоростью $v$ (относительно воды), то сумма абсцилных величины отклонений от расписания прибиты в пункты $B$, $C$, $D$ не превышает бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью $v$ в стояней воды. Какой из пунктов — $A$ или $D$ — находится выше по течение?

6. В основании парамиды $SABC$ лежит равноведренный треугольник $ABC$, в котором длины сторона $AB$ и $AC$ равны 1, а косинус угла $BAC$ равен $\frac{4}{5}$. Ребро $SA$ перpendикулярно ребрам $AB$ и $AC$, угол $BAC$ вдвое больше угла $BSC$. Внутри парамиды находится прямой круговой цилиндр, образующая которого парамедна $BC$. Какова наиболее возможная площадь боковой поверхности такого цилиндра?

Вариант 9
(отделение общеей геологии геологического факультета)

1. Найдите все действительные решения уравнения
   $$(x+1)\sqrt{x^2+x-2}=2x+2.$$

2. В треугольнике $ABC$ угол $BAC$ — прямой, длины сторона $AB$ и $BC$ равны, соответственно, 1 и 3. Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении 7:1, считая от точки $A$. Что больше — длина $AC$ или длина $BK$?

3. Решите неравенство
   $$\log_3(5x^2+6x+1) \leq 0.$$

4. Найдите все пары действительных чисел $x$ и $y$, удовлетворяющие системе уравнений
   $$\begin{cases} \cos 4x+\sin 2y=-2, \\ x-y=2\pi. \end{cases}$$

5. Автобус проходит путь $AE$, состоящий из участков $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ длиной 10 км, 5 км, 5 км, 6 км соответственно. При этом, согласно расписанию, выездная из пункта $A$ в 9 часов, он проходит пункт $B$ в 9 $\frac{1}{5}$ ч, пункт $C$ — в 9 $\frac{3}{8}$ ч, пункт $D$ — в 9 $\frac{2}{3}$ ч.

С какой постоянной скоростью $v$ должен двигаться автобус, чтобы сумма абсцилных величины отклонений от расписания прибиты в пункты $B$, $C$, $D$ не превышает бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью $v$ в стояней воды. Что расстояние от центра нижнего основания до ребра $BC$ составляет 11 $\frac{1}{16}$ длины медианы $AM$ треугольника $ABC$. Найдите объем парамиды $SABC$.

Вариант 10
(специальности «экономическая книбертика» и «планирование народного хозяйства» экономического факультета)

1. Решите уравнение
   $$x^2+11+\sqrt{x^2+11}=42.$$

2. Найдите все $x$, удовлетворяющие уравнению
   $$\sqrt{4-x^2}(\sin 2\pi x-3\cos \pi x)=0.$$

3. Решите неравенство
   $$\log_3(x^2-2)<\log_3\left(\frac{3}{2}|x|-1\right).$$

4. В треугольнике $ABC$ медианы, опущенные на стороны $AC$ и $BC$, пересекаются под прямым углом. Длина стороны $AC$ равна $b$, длина стороны $BC$ равна $a$. Найдите длину стороны $AB$ треугольника $ABC$.

5. В магазине продаются красные и сине карандаши. Красный карандаш стоит 17 копеек, синий карандаш — 13 копеек. На покупку карандашей можно затратить не более 4 рублей 95 копеек. При заказке синиих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей более, чем на пять. Необходимо заключить максимальное возможное суммарное количество красных и синиих карандашей, при этом красных карандашей нужно заключить как можно меньше. Сколько красных и синой карандашей можно заключить при указанных условиях?

6. Для каждой неотрицательного значения $a$ решите неравенство
   $$a^3x^4+6a^2x^2-x+9a+3 \geq 0.$$

Вариант 11
(специальность «политическая экономия» экономического факультета)

1. Решите уравнение
   $$2^{x+2}\cdot 5^{x+2}=2^{3x}\cdot 5^{3x}.$$

2. Найдите все $x$, удовлетворяющие уравнению
   $$\lg 3x=\lg 5x.$$

56

3. Решите неравенство
   $$4(x-1) < \sqrt{(x+5)(3x+4)}$$

4. Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри кривойной границы, образованной осью абсцисс, прямыми $x = \frac{3}{2}$, $x = 129$ и графиком функции $y = \log_2 x$? Точки, лежащие на границе указаанной кривойной границы, не учитываются.

5. На факультет подано от школьников на 600 заявленной больше, чем от произвольственных. Девушек среди школьников в 5 раз больше, чем девушек среди произвольственных, а юношей среди школьников больше, чем юношей среди произвольственных в $n$ раз, причем $6 \leq n \leq 12$ (п — целое число). Определите общее количество заявлений, если юношей среди произвольственных на 20 больше, чем девушек среди произвольственных.

6. Определите, при каких значениях $a$ уравнение
   $$x - a = 2|2x| - a^2$$
   имеетровно три корня. Найдите эти корни.

Вариант 12
(факультет психологии)

1. Решите уравнение
   $$\left(\frac{1}{4}\right)^{x-2} = 2^{5-x} + 9.$$

2. Решите неравенство
   $$\frac{\sqrt{51-2x-x^2}}{1-x} < 1.$$

3. В треугольниках $ABC$ и $A'B'C'$ длина стороны $AB$ равна длине стороны $A'B'$, длина стороны $AC$ равна длине стороны $A'C'$, велича угла $BAC$ равна $60^\circ$ и велича угла $B'A'C'$ равна $120^\circ$. Известно, что отношение длины $B'C'$ к длине $BC$ равно $\sqrt{n}$ (где $n$ — целое число). Найдите отношение длины $AB$ к длине $AC$. При каких значениях $n$ задача имеет хотя бы одно решение?

4. В окружность радиуса 7 висан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Длины стороны $AB$ и $BC$ равны. Площадь треугольника $ABD$ относится к площади треугольника $BCD$, как 2:1. Величина угла $ADC$ равна $120^\circ$. Найдите длины всех сторон четырехугольника $ABCD$.

5. Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнения.

Вариант 13
(специальность «структурная и прикладная линейстика» филологического факультета)

1. Решите уравнение
   $$\log_5(x-1) = \log_5 \frac{x}{1+x}.$$

2. Решите систему уравнения
   $$\begin{cases} y^2 = 4x^2 + 8, \\ 2x^2 + y + 1 = 0. \end{cases}$$

3. Найдите наиболее и наиболее значения функции $f(x) = 24x - \cos 12x - 3 \sin 8x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$.

4. В трапеции $ABCD$ сторона $AD$ является большим основанием. Известно, что $|AD| = |CD| = 4\frac{2}{3}$, $\widehat{AD} = 90^\circ$ и $\widehat{CD} = 150^\circ$. На основании $AD$ построен треугольник $AED$ так, что точки $B$ и $E$ лежат по одному сторону от прямой $(AD)$, причем $|AE| = |DE|$. Длина высоты этого треугольника, проведенной из вершины $E$, равна $1\frac{2}{5}$. Найдите площадь общей части трапеции $ABCD$ и треугольника $AED$.

5. Найдите все значения $a$, при которых уравнение
   $$|1-ax| = 1 + (1-2a)x + ax^2$$
   имеетровно одно решение.

Физика
Задание устного экзамена

Физический факультет

1. Два тела двиггаются с постоянными скорости по взаимному перпендикулярным прямым. Скорость первого тела $v_1 = 30$ м/с, второго $v_2 = 20$ м/с. В тот момент, когда расстояние между телами наименование, первое тело находимся на расстоянии $s_1 = 500$ м от точки пересечения прямых. На каком расстоянии $s_2$ от точки пересечения прямых находимся в этот момент второе тело?

2. Плоский обруч двиггается так, что в некоторый момент времени скорости концов диаметра $AB$ лежат в плоскости обруча и перпендикулярны этому диаметра $CD$, перпендикулярного $AB$, в этот же момент времени, считая, что эти скорости также лежат в плоскости обруча.

3. Тело массы $m = 0,5$ кг прикреплено двумя одинаковыми пружинами к вертикальным стенкам и совершает колбанная, движения прямой по горизонтальной плоскости (рис. 1). Величины двух последовательных отклонений тела от среднего положения (положения равновесия) вправно и влево равны $s_1 = 10$ см и $s_2 = 7$ см. Определите коэффициент треугольника $m$ тела о плоскости, если известно, что жесткость каждой пружины $k = 15$ Н/м. (Ускорение свободного давления $g = 10$ м/с².)

4. В вертикальном строем цилиндрического соедение со свободно движущимся (без треугольника) поршнем массой $m_n$ и площадью $S$ нахождения некоторых колбентов идеального газа. При нагреве газа на $\Delta T$ градусов его объем увеличивается на $\Delta V$. Найдите массу $m$ газа, если атмосферное давление постоянно и равное $P_0$. Молярная масса газа $M$.

5. Плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого $d = 1$ см, нахождение в вакууме и расположен так, что силаяжет перпендикулярна его пластинам (рис. 3). Верхняя пластина конденсатора закреплена, а нижняя, которая изготовлена из фольги толщиной $h = 0,1$ мм, лежит на изолирующей подставке. До какого напряжения $U$ надо за-

57

рядить конденсатор, чтобы нижняя пластина перестала давить на опору? Плотность фольги $\varrho = 2830$ кг/м$^3$, ускорение свободного давления $g = 10$ м/с$^2$, электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м. Всем соединитьх проводов претензей.

6. В схеме, изобравенной на рис. 4, вначале ключ $K$ не замкнут. Какой по абсоциальной величины заряд $Q$ протечет через резistor с сопротивлением $R$, если ключ замкнут? $\varepsilon_1 = 10$ В, $\varepsilon_2 = 20$ В, $C_1 = 1$ мкФ, $C_2 = 2$ мкФ.

7. От поняжающей трансформаторной подстанции, действующое значение напряжения на выходе которого $U = 220$ В, необходимо протянуть до потребления двухпроводную линию электропередачи длиной $L = 1$ км. Какого сечения $S$ должен быть алюминевый провод, который будет прокладывать эта линия, если потребляемая в нагрузке мощность $P = 10$ кВт, а действующое значение напряжения в линии не должно превышать $U = 20$ В? Удельное сопротивление алюминия $\varrho = 2,8 \cdot 10^{-8}$ Ом·м, нагрузка на конце линия чисто омическая.

8. Жидкость налита в прямоугольный сосуд с толстым дном (рис. 5). Световой луч падает на дно сосуда под углом, отлично шумится от $90^\circ$ на пребрежению малую величины. Преломившись на границе раздела жидкость — стекло и стекло — возникнет из сосуда по углом $\delta = 30^\circ$ к первоначальному направлению. Вычислите показатель преломления жидкости $n_j$, если показать преломления стекла $n_c = 1,50$.

9. Оптический волоконный световой представляет собой стеклянный цилиндр — сердцевину — с показателем преломления $n_c = 1,50$, окруженный оболочкой с показателем преломления $n_o = 1,41$ (рис. 6). Распространение излучения по световоду осуществляется за счет полного внутреннего отражения на границе раздела сердцевина — оболочка. На передний торц световода падает сходящейся под углом $2a$ пучок. Каково максимальное значение $\alpha_m$ угла, при котором все попадающее в световоду излучение будет распространться по световоду?

10. Определите минимальное возможное расстояние $l_{\min}$ между предметом и его дей-ствительным изображением, полученным с помощью линзы с фокусным расстоянием $F$.

Механико-mатематический факультет

1. Телю массой $m = 20$ кг тянут с силой $F = 120$ Н по горизонтальной поверхности. Если эта сила приложена под углом $\alpha_1 = 60^\circ$ к горизонту, то тело движется равномерно. С каким ускорением $a$ будет движаться тело, если ту же сила приложить под углом $\alpha_2 = 30^\circ$ к горизонту? Ускорение свободного давления $g = 10$ м/с$^2$.

2. На столе лежит докса массы $M = 1$ кг, а на доксе груз массы $m = 0,5$ кг. Какую силу $F$ нужно приложить к доксе, чтобы она выскользнула из-под груза? Коэффициент трея между грузом и докской $\mu_1 = 0,1$; между докской и столом $\mu_2 = 0,2$. Ускорение свободного давления приять равным $g = 10$ м/с$^2$.

3. С каким минимальным ускорением $a$ нужно перемещать в горизонтальном направлении брусок $A$, чтобы тела $1$ и $2$ не двигались относительно бруска (рис. 7)? Массы телодинаковы, коэффициент трея между бруском и обомни темали $\mu^2 = 0,4$. В блоке трея нет. Ускорение свободного давления $g = 9,8$ м/с$^2$.

4. На диске, который может врашать вокруг вертикальной оси, лежит маленькая шайба массой $m = 100$ г. Шайба соединительной пружиной с осью диска. Если число оборотов диска не превышает $n_1 = 2$ об/c, пружина находится в недеформированном состоянии. Если число оборотов диска медленно увеличивается до $n_2 = 5$ об/c, то пружина удлиняется вдвое. Определите жесткость $k$ пружины.

5. С идеальным газом проводится $1-2-3-4$, изображенный на V-T диаграмме (рис. 8). В некотором состоянии $3$ на отрезке, изображенной проессе $2-3-4$, давление газа такое же, как и в отрезке $1$. Известно, что $V_1 = 1$ м$^3$, $V_2 = 4$ м$^3$, $T_1 = 100$ К, $T_4 = 300$ К. Каков объем $V_3$ газа в состоянии $3$?

6. Пружина, прикрепленная верхимом концом к крышке откачанного верхимного цилиндра, удерживает неевесомый поршень у самого дня цилиндра. В каком относении $V_{\text{верх}}/V_{\text{ниж}}$ поршень будет делить вес объем цилиндра, если по обе стороны поршня ввести

58

по одинаковой массе одного и того же газа?
Известно, что расстояние между дом и поршнем возрастворен вадное, если пространство над поршнем от газа освободить.

7. Восемь одинаковых резисторов, сопротивление каждого из которых $R=15$ Ом, образуют цепь, показанную на рисунке 9. Источник напряжения подключен к точкам $A$ и $O$. Найдите сопротивление $R_{AO}$ цепи.

8. Из провода длиной $l=2$ м, обладающего сопротивлением $R=4$ Ом, спаян квадрат. В стороны квадрат выключены источники с ЭДС $\varepsilon_1=10$ В и $\varepsilon_2=8$ В согласно схеме, приведенной на рисунке 10. Цепь помещена в однородное магнитное поле, перепределения плоскости квадрата, направленное за чертеж и возрастворшее во времени по закону $B=kt$, где $k=16$ Тл./с. Найдите силу тока $I$ в цепи. Внутренним сопротивлением источников пребрежь.

9. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$. В начальной момент времени электрон находится в точке $O$ и его скорость $\vec{v}$ была перепределения вектору магнитной индукции. Найдите расстояние $l$ электрона от точки $O$ в момент времени $t$. Массу электрона $m$ и его заряд $q$ считать известными.

10. Точчный источник света помещен на главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=8$ см на расстоянии $d=12$ см от линзы. Линза начинает смещаться в направлении, перепределения свободно врашащийся без трения вокруг горизонтальной оси. Через блок перекинута нерастящая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами $m_1=200$ г и $m_2=300$ г. Пренебрегая массами блока и нити, определяйте показание $F$ диамометра.

Факультет вычислительной математики и кибернетики

1. К потолку кабины лифтта, поднимающегося сускорением $a=1,2$ м/c$^2$, прикреплен диамометр. К диамометру подвешен блок, свободно врашащийся без трения вокруг горизонтальной оси. Через блок перекинута нерастящая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами $m_1=200$ г и $m_2=300$ г. Пренебрегая массами блока и нити, определяйте показание $F$ диамометра.

2. Молекula, летящая со скоростью $v=300$ м/c перепределкурно поверхности движущегося тяжелого поршня, испытывает с ним уругое столкновение. Поршень движется в туже столкону, что и молекula, со скоростью $V=30$ м/c. Какую часть $\Lambda/E$ энергии молекula потеряет при соударении?

3. В пространство над рутным столбком в трубке барометра попало немного воздуха. Когда барометр показывает давление $p_1=$

Puc. 7. Puc. 8.

Puc. 9. Puc. 10.

=748 мм pt. ст., длина цилиндрической части, занятой воздухом, была $l=60$ мм. Трубку осторожно выдвинут из сосуда со ртутью еще на $\Lambda h=21$ мм, после чего барометр стал показывать давление $p_2=751$ мм pt. ст. Считая температуру постоянной, определяйте атмосферное давление $p_n$ в момент опыта.

4. Процесс в идеальном газе идет сначала так, что давление и объем связываны равенством $p\sqrt{V}=B$. Когда температура газа достигает значения $T$, процесс продолжается при номхарактере зависимости давления от объема: $p=D/V^2$. Найдите упомянутую температуру $T$, если константы $B$ и $D$, а также количество веществ $V=m/M$ заданы.

5. Два одинаковых соуда соединены тонкой трубкой с краном. В первом сосудите находится неокоторое количество идеального газа при температуре $t_1=27$ °C, а во втором —ное количество того же газа при температуре $t_2=227$ °C и том же давлении. Во сколько раз изменится давление газа, если открыть кран и довести температуру содержимого соудов до $t_3=127$ °C?

6. Два одинаковых свинцовых шарика брошены вертикально вверх один вслед за другим через неокоторый промежуток времени с одинаковыми начальными скоростями $v_0$. Шарики столкнулись на высоте $h$ и слиплись. На сколько подпометrites температура шариков? Удельная темпераимость свинцова равна $c$.

7. Маленький шарик массой $m=0,01$ мг, несущий заряд $q=10$ нКл, помещен в однородное электрическое поле, направленное горизонтально. Шарик приходит в движение без начальной скорости и через время $t=4$ с прибретает скорость $v=50$ м/c. Найдите напряжение $E$ поля. Ускорение свободного падения приньим $g=10$ м/c$^2$.

8. Замкнутая цепь состоит из источника и реостата, содержимых последовательно. В цепи течение ток $I_0=0,5$ А. Если сопротивление реостата уменьшить в $k=4$ раза, ток возрастет в $l=2$ раза. Какой ток $I$ будет течь в цепи, если сопротивление реостата уменьшить до нуля?

9. По П-образной рамке, помещенной в однородное магнитное поле, перепределкурно плоскости рамки, движется без трения с постоянной скоростью $v=2$ м/c перемычка, сопротивление которой $R=0,2$ кОм (рис. 11). К перемычке приложена сила $F=4$ Н. Найдите силу тока $I$ в перемычке. Сопротивлением рамки пребрежь. Силуяжесте не учитываются.

10. Луч света из воздуха попадает на однородный произвольный шар, произвед в него и достигает поверхности раздела шар — воздух. Какой угол $\varphi$ составляет вышедший луч с надюшим на шар, если угол падения луча $a=26^\circ$, а угол предомления $\beta=17^\circ$?

59

Химический факультет и факультет почвоведения

1. Двигатель пакеты, запущенной вертикально вверх с поверхностным Земли, работали в течение времени $t=1$ мин и сообщили пакете постоянное ускорение $a=3g$. Какой максимальный высоты $h$ достигала пакета? Ускорение свободного падения считать постоянным и равным $g=9,8 \text{ m/c}^2$. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2. С аэростата сбросили два шарика одинакового радиуса $R=1$ см: один — алюминиевая (плотность $\varrho_1=2,7 \cdot 10^3 \text{ kg/m}^3$), другой — железный (плотность $\varrho_2=7,8 \cdot 10^3 \text{ kg/m}^3$). Шарики соединены длиной тонкой нитью. Найти натяжение $T$ нитей после того, как из-за сопротивления воздуха движение шариков устанавливается, то есть они приобретут постоянные скорости.

3. Герметический цилиндр разделен газопроводным поршнем на равные части. В одной половине нахождения идеальный газ с молярной массой $M_1$, в другой — $M_2$. Массы газов, их объемы и температуры одинаковы. Поршень освободили. На какую долю $\Delta V/V$ своего пероначального значения оказывается увеличенным объем одной из частей цилиндра (или уменьшенным объем другой части) после установки равновесия при той же температуре?

4. Из двух одинаковых проводников изготовлены два контур—a квадратный и круглый. Оба контур помещены в одной плоскости в одноморном, изменяющемся во времени магнитном поле. В круглом контуре индуктивность постоянной ток $I_1=0,4$ А. Найти силу тока $I_2$ в квадратном контуре.

5. Сходящейся световой пучок падает на рассеивающий линзу с фокусным расстоянием — $F$ и coincases в точку, лежащую в фокальной плоскости по другую сторону линзы. На каком расстоянии $f$ от линзы coincет пучок, если рассеивающий линзу заменить на coinc�aющий с фокусным расстоянием + $F$?

Ответы, указания, решения

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Математика

Вариант 1

1. $[-2; -1] \cup \{3\}$. Указание. Неравиентство $\sqrt{(x+2)(3-x)} \cdot \frac{x+1}{(x+4)(x+\frac{5}{2})} < 0$

равносклоно системе

$$\begin{cases} (x+1)(x+4) \left(x+\frac{5}{2}\right) < 0, \\ (x+2)(3-x) > 0. \end{cases}$$

2. $x, \frac{1}{6} + 4\pi k, x_2 = \frac{5}{6} \pi + 2\pi l(k, l, Z)$. Указание. Данное уравнение равносклоно системе

$$\begin{cases} \cos 2x = \sin x, \\ \sin x + \cos \frac{x}{2} > 0. \end{cases}$$

Функция $\cos \frac{x}{2}$ имеет период $4\pi$.

3. $\frac{1}{2}(p-a)^2tg \frac{a}{2}$. Указание. $|BK| = p-a$.

4. $a_1=6k-1, a_2=6l+3, a_3=6m, a_4=6n+2(k, l, m, n \in Z)$.

Решение. Исследуем вспомогательную функцию

$$F(z) = |12z-5| - |12z-7| + |24z+13|.$$

Легко посчитать, что

$$\begin{cases} 24z+11, \text{ если } 0 \leq z < \frac{5}{12}, \\ 48z+1, \text{ если } \frac{5}{12} \leq z < \frac{7}{12}, \\ 24z+15, \text{ если } z \geq \frac{7}{12}. \end{cases}$$

60

Таким образом, функция $F$ возрастает на $[0; +\infty]$. Следовательно, при $z \geq 0$ имеем $F(z) \geq F(0) = 11$. Значит, левая часть первого уравнения системы $\geq 11$ и равна 11 только при $\sqrt{\cos \frac{\pi y}{2}} = 0$. С другой стороны, правая часть этого уравнения $\leq 11$ и равна 11 только при $\sqrt{\sin \frac{\pi(x-2y-1)}{3}} = 0$. Поэтому первое уравнение равносильно системе

$$\begin{cases} \cos \frac{\pi y}{2} = 0, \\ \sin \frac{\pi(x-2y-1)}{3} = 0. \end{cases}$$

Сделав во втором уравнения подстановку $t = x^2 + (y-a)^2$, найдем, что это уравнение равносильно уравнению

$$x^2 + (y-a)^2 = 1.$$

Из (1) следует, что пара чисел $(x; y)$ тогда и только тогда является решением данной системы, когда $x$ и $y$ удовлетворяют равенствам

$$\begin{cases} y = 2p + 1 \quad (p \in \mathbf{Z}), \\ x = 2y - 1 = 3q \quad (q \in \mathbf{Z}). \end{cases}$$

Значит, в частности, $x$ должен быть целым числом. Тогда из (2) $x$ равен $-1$, 0 или 1. При $x = -1$ из (2) $y = a$ и равенства (3) равносильны системы

$$\begin{cases} y + 1 = 2(p + 1), \\ 2(y + 1) = -3q. \end{cases}$$

Значит, $y + 1$ делится на 6, откуда $a = 6k - 1$ ($k \in \mathbf{Z}$). Аналогично, при $x = 1$ получаем $y = a$ и

$$\begin{cases} y - 3 = 2(p - 1), \\ 2(y - 3) = -3(q + 2). \end{cases}$$

Значит, $y - 3$ делится на 6, откуда $a = 6l + 3$ ($l \in \mathbf{Z}$). При $x = 0$ имеем $y - a = \pm 1$ и

$$\begin{cases} y - 1 = 2p, \\ 2(y - 1) = -3(q + 1). \end{cases}$$

Значит, $y - 1$ делится на 6, откуда $a = 6m$ или $a = 6n + 2$ ($m, n \in \mathbf{Z}$).

5. $\frac{(17-\sqrt{17})R}{8h}$. Решение. Пусть $S$ — площадь грани $ABC$, $S_1$, $S_2$, $S_3$ — площади остальных граней, $R'$ — радиус шара, вписанного в парамиду $DABC$. Тогда

$$\frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}SR' + \frac{1}{3}S_1R' + \frac{1}{3}S_2R' + \frac{1}{3}S_3R'$$

откуда для исключения $\lambda = \frac{S}{S + S_1 + S_2 + S_3}$ получаем $\lambda = \frac{R'}{h}$.

Пирамида $KLHC$ (рис. 1) получается из парамиды $DABC$ готовей с центром $C$ и коэффициентом

$$k = \frac{|CH|}{|CB|}.$$

Позотому $R = kR'$. Значит,

$$\lambda = \frac{R}{kh}.$$

Таким образом, чтобы найти $\lambda$, надо найти $k$. Спроектируем всю конфигурацию на плоскость $ABC$ паралелюно примой $NM$ ($M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$). При этом вершина $D$ перейдет в середину $D_1$

Рис. 1.

Рис. 2.

ребра $AC$ (поскольку $\frac{|DN|}{|NB|} = \frac{1}{2} = \frac{|D_1M|}{|MB|}$ следует $(DD_1) \parallel (NM)$; рис. 2); значит, грань $ADC$ перейдет в ребро $AC$; с другой стороны, плоскость $FNM$ перейдет в прямую $HM$ (так как $(FNM) \parallel (NM)$); следовательно, точка $F$ перейдет в $F_1 = (HM) \cap (AC)$. Таким образом, $(FF_1) \parallel (NM) \parallel (DD_1)$. Проведем через точку $B$ прямую, паралелную $(HF_1)$ (см. рис. 2). Положим $|F_1D_1| = a$ и $\frac{|AF|}{|FD|} = m$. Тогда $|AF_1| = \frac{|AF|}{|FD|} \cdot |F_1D_1| = ma$, $|B_1F_1| = \frac{|BM|}{|MD_1|} \times |F_1D_1| = 2a$, $|CD_1| = |AD_1| = |AF_1| + |F_1D_1| = (m + 1)a$, $m^2 = \left(\frac{|AF|}{|FD|}\right)^2 = \frac{|CH|}{|HB|} = \frac{|CF_1|}{|F_1B_1|} = \frac{|CD_1| + |D_1F_1|}{|F_1B_1|} = \frac{m + 2}{2}$. Отсюда $2m^2 - m - 2 = 0$, $m = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$. Значит, $k = \frac{|CH|}{|CB|} = \frac{|CH|}{|CH| + |HB|} = \frac{1}{1 + \frac{1}{m^2}} = \frac{17 + \sqrt{17}}{34}$.

Вариант 2

1. $[-4; 2[U]3; 4]$.
2. $x = \frac{3}{4}\pi + 2\pi k$ ($k \in \mathbf{Z}$).
4. $\frac{2\pi\sqrt{3} + 9}{27}$.
5. $\{1 - \sqrt{a^2 - 2a + 5}, 1 + \sqrt{a^2 + 4a + 8}\}$ при

61

$$a < -2, \{1 - \sqrt{a^2 - 2a + 5}, 1 - \sqrt{a^2 + 4a + 8}\} \text{ при } -2 \leq a < -\frac{1}{2}, \{-\frac{3}{2}\} \text{ при } a = -\frac{1}{2}, \{1 - \sqrt{a^2 - 2a + 5}, 1 - \sqrt{a^2 + 4a + 8}\} \text{ при } -\frac{1}{2} < a \leq 1, \{1 + \sqrt{a^2 - 2a + 5}, 1 - \sqrt{a^2 + 4a + 8}\} \text{ при } a > 1.$$
6. {(-1; 2); (-1; -2)}. Указание. Доказите, что $5 \sin^2 x - 6 \sin x \cdot \cos x - 9 \cos^2 x + 3 \sqrt{33} = -\sqrt{58} \sin (2x + \varphi) + 3 \sqrt{33}$ $> 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. С помощью тождества arcsin $x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ доказите, что правая часть $\leq 0$ на своей области определения, причем равна она нулю только при arcsin $x = -\frac{\pi}{2}$.
Вариант 3

1. $x_1 = \frac{\pi}{4} k, x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.

2. $\{-1, -\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 1\}$.

3. $] 0; \frac{1}{16} [$.

5. $\frac{1}{2} (1 + 2 \cos 2a)^2 \text{tg} 2a$.

6. 1. arcsin $\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \text{tg} \frac{\varphi}{2} \right)$;
      $$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{3 \text{ctg}^2 \frac{\varphi}{2}} - 1 - \text{tg} \frac{\beta}{2}}{\sqrt{3 \text{ctg}^2 \frac{\varphi}{2}} - 1 + \text{ctg} \frac{\beta}{2}}.$$
      Указание. Центры $O_1, O_2$ шаров лежат на прямой $OH$, являющейся пересечением биссекторов двумгранных углов данного треугранного угла (задача 538 в «Геометрии 9-10»). Биссектор двумгранного угла с ребром $OC$ пересекается с плоскостью $OAB$ по биссекtrice $OD$ угла $AOB$. Картина симметрина относительно ($COD$). 1) Искомый угол — $HOD$. Отсеките от данного треугранного угла правильно треугольную парамиду с ребром, направимер, $|OA|$. 2) В плоскости $COD$ имеем картину, изображенную на рисунке 3. $|OK_2| = |OK_1| + |K_1D| + |DK_2|$.
      Вариант 4

7. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$.

8. $\{1\}$.

9. $\frac{5}{18} V$. Указание. Пусть $h$ — расстояние от $C$ до плоскости $ABB'A', h_1$ — расстояние от $B$ до прямой $AA'$. Достроим данную признаку до параллелипеда. Если $V_1$ — его объем, то $V = \frac{1}{2} V_1$. Приявив за основание параллелипеда грань $ABB'A'$, получаем, что $V_1 = S_{ABB'A'} \cdot h = (|AA'| \cdot h_1) h$. Итак, $V = \frac{1}{2} |AA'| \cdot h_1 h$ (эту непrivивную формулу объема признамы полезно запомнить!). С другой стороны, искомый объем « нижней части » это объем четырехугольной парамиды $CABFI$ с вершиной $C$.

10. $(0: 2)$. Указание., $d(x) = f(x) \cdot \cos \alpha$ (рис. 4).

11. $n = -1; \left\{ \frac{1}{9} + \frac{\sqrt{7}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{6}; \frac{13}{36} + \frac{\sqrt{7}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{12} \right\}, \left( \frac{1}{9} + \frac{\sqrt{7}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{6}; \frac{13}{36} + \frac{\sqrt{7}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{12} \right\}, \left( \frac{1}{9} - \frac{\sqrt{7}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{6}; \frac{13}{36} - \frac{\sqrt{7}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{12} \right\}, \left( \frac{1}{9} - \frac{\sqrt{7}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{6}; \frac{13}{36} - \frac{\sqrt{7}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{12} \right\}$. Указание. Данная система равnocильна система
    $$\begin{cases} 6(x+2y)^2 + 2(3n-2)(x+2y) + 3 = 0, \\ 4(x-y)^2 - 2(2n+1)(x-y) + 2n^2 - \frac{5}{2} = 0. \end{cases}$$
    Вариант 5

12. $x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi k, x_2 = (-1)^l \frac{\pi}{4} + \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.

13. 2, $e^2$.

14. $[-5; 20]$.

15. $\frac{3}{32}$. Указание. $|BP| = |PC|$.

16. $] -\infty; -1 - \frac{\sqrt{2}}{4} [U] - \frac{1}{2}; 0 [$. Решение. Второе неравенство равnocильно неравенству $b(4 \cos^2(x-y) + 8b \cos(x-y) + 8b^2 + 8b + 3) < 0$, оба неравенства выполняются при любых $x$ и $y$ тогда и только тогда, когда $b < 0$, и при любых $x, y$

62

4 $\cos^2(x-y) + 8b \cos(x-y) + 8b^2 + 8b + 3 > 0,$
то есть когда $b < 0,$ и при любых $z \in [-1; 1]$
$$f(z) = 4z^2 + 8bz + 8b^2 + 8b + 3 > 0.$$

Вершина графика трехчлена $f(z)$ лежит в точке $z_0 = -b.$ Так как $b < 0,$ $z_0 > 0.$ Трехчлен $f(z)$ обладает нужным свойством либо $f(z_0) > 0,$ что равносильно $b \in \left[-\frac{3}{2}; -1 - \frac{\sqrt{2}}{4}\right].$

Вариант 6

1. $\frac{5}{7}.$
2. $x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l \quad (k, l \in \mathbb{Z}).$
3. $\{(-17; \log_2 10)\}.$
4. $\frac{15}{16} \sqrt{7}.$
5. $\frac{9}{13} \pi, \frac{15}{13} \pi.$ Указание $\log_2 (3 - |\sin ax|) \geqslant 1$ при всех $x.$

Вариант 7

1. $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k \quad (k \in \mathbb{Z}).$
2. $[-1; 0].$
3. $\frac{1}{4} b^2 \sin 2\beta \cdot \text{ctg}^2 \beta.$
4. $\{(-1; -3), (3; -3)\}.$
5. агрессо $\frac{46}{\sqrt{2641}}.$

Вариант 8

1. $\{-1; 4\}.$
2. $|BL| > |BG|.$
3. $\left[\frac{1}{2}; 1 \mid U\right]^2; 2 \frac{1}{2}.$
4. $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad y = \pi - 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}).$ Указание. Уравнение 3 sin $3x - \sin x = 4$ равносильно системе
   $$\begin{cases} \sin 3x = -1 \\ \sin x = 1. \end{cases}$$
5. $A.$ Решение. Пусть $\omega$ — скорость катера относительно берга, то есть $\omega = v - 5,$ если $D$ выше по течение чем $A,$ и $\omega = v + 5,$ если выше $A.$ По условияю
   $$\left| \frac{11}{\omega} - \frac{1}{3} \right| + \left| \frac{13}{\omega} - \frac{2}{3} \right| + \left| \frac{15}{\omega} - 1 \right| \leqslant \frac{5}{v} - \frac{1}{2}.$$
   Предположим, что $D$ выше, чем $A.$ Тогда
   $$\left| \frac{11}{v - 5} - \frac{1}{3} \right| + \left| \frac{13}{v - 5} - \frac{2}{3} \right| + \left| \frac{15}{v - 5} - 1 \right| \leqslant \frac{5}{v} - \frac{1}{2}.$$
   Поскольку $|a + b - c| \leqslant |a| + |b| + |c|,$
   $$\frac{9}{v - 5} \leqslant \frac{5}{v} - \frac{1}{2},$$
   а это неравенство решения не имеет. Предположение, что $D$ выше чем $A,$ привести к противоречению. Следовательно, следует использовать $U,$ находящаяся внутри параллельна $BC,$ существует такой же цилиндр $U'$, конгруэнтийный $U,$ проекция которого на плоскость $SAH$ касается $(AH)$ и $(SH)$ (рис. 5, а) и проекция которого на плоскость $ABC$ касается $(AB)$ и $(AC)$ (рис. 5, в).

Вариант 9

1. $\{-3; 2\}.$
2. $|AC| > |BK|.$
3. $[-1\frac{1}{5}; -1[U] - \frac{1}{5}; 0].$
4. $x = \frac{7}{4} \pi + \pi k, y = -\frac{\pi}{4} + \pi_k (k \in \mathbb{Z}).$
5. 50 км/ч. Указание. Следовательно, следует использовать $\left| \frac{10}{v} - \frac{1}{5} \right| + \left| \frac{15}{v} - \frac{3}{8} \right| + \left| \frac{20}{v} - \frac{2}{3} \right| + \frac{26}{v} \leqslant \frac{517}{600}$
   замену $v = \frac{5}{x},$ нарисуйте графики левой и правой части.
6. $\frac{4}{5} \sqrt{13}.$

Вариант 10

1. $\{-5; 5\}.$
2. $\{-2, -1\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\frac{1}{2}, 2\}.$
3. $|-2; -\sqrt{2} \mid U \mid \sqrt{2}; 2\}.$
4. $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{5}}.$
5. 19 синх и 14 красных. Указание. Обозначим искомое число синх карандашей через $x,$ красных — черзу $y.$ Тогда решением задачи является точка $(x_0; y_0)$ с целочисленными координатами, лежащая в пятную линию, запятрихованном на рисунке 6, для которой $x_0 + y_0$ максимально, а $y_0$ при этом минимально.
6. $|-\infty; 3|$ при $a = 0.$ $-\infty; \frac{1 - 12a}{2a}$ $U$
   $U \left[ \frac{1 + \sqrt{1 - 12a}}{2a}; + \infty \right]$ при $0 < a < \frac{1}{12}, R$ при $a \geqslant \frac{1}{12}.$ Указание. $a^3x^4 + 6a^2x^2 - x + 9a + 3 = (ax^2 - x + 3) (a^2x^2 + ax + 3a + 1).$ (Логадается до этого разложения можно, написав $a^3x^4 + 6a^2x^2 - x + 9a + 3 = a(ax^2 + 3)^2 - x + 3.$ (1)

*) Данное решение предложено редакцией журнала. В авторском решение дополнительно проверялось, что при предложении «A» выше чем $D$ неравенство (1) имеет решение. (Прим. ред.)

63

Отсюда следует, что любой корень трехчлена $ax^2+x+3$ является корнем многочлена, стоящего в левой части; поэтому этот многочлен делится на $ax^2-x+3$. Заметание. Равенство (1) показывает, что если положить $f(x)=ax^2+3$, то многочлен, стоящий в левой части неравенства, будет иметь вид $f(f(x))-x$. Легко доказать, что в данной случае уравнение $f(f(x))=x$ равносильно уравнение $f(x)=x$. Решив последнее — квадратное уравнение, можно дальнейшим применить к данному неравенству метод интегралов.

Вариант 11

1. {1}.
2. $x=\pi k$ ($k\in\mathbb{Z}$).
3. $]-\infty;-5]$ $U[-1\frac{1}{3};4]$.
5. 832. Указание. Все «числа заявлений» — натуральные числа.
6. При $a=-2$ ($\{-2,1\frac{1}{5},3\frac{1}{3}\}$) и при $a=-\frac{1}{2}$ ($\{-1\frac{1}{5},0,\frac{1}{3}\}$). Указание. Нарисуйте график правой части.
   Вариант 12
7. $2(1-\log_23)$.
8. $[-1-2\sqrt{13};-5[U]1;-1+2\sqrt{13}]$.
9. $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ при $n=2$ и $1$ при $n=3$.
10. $|AD|=2\sqrt{21},|CD|=\sqrt{21},|AB|=|BC|=7\sqrt{3}$. Заметание. Используйте «усиление теоремы синусов»: $\frac{a}{\sin A}=2R$, где $R$- радиус описанной окружности (см., например, с. 42 в пособии «Геометрия 8» (М.: Просвещение, 1977)).
11. $x=\pm\arccos\frac{1-2a}{2-3a}+2\pi k$, $y=(-1)^l\times a$

Рис. 5.

Рис. 6.

$\times\arcsin\frac{1}{2-3a}+\pi l$, $z=\frac{2a}{1-2a}$ ($k,l\in\mathbb{Z}$) при $a\in]0;\frac{1}{4}[\cup]\frac{1}{4};\frac{1}{3}$.

Вариант 13

1. $\{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\}$.
2. $\{(0;-3)\}$.
3. $\max\{f(x)=f\left(\frac{\pi}{6}\right)=4\pi+\frac{3}{2}\sqrt{3}-1,$
   $\min\{f(x)=f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=$
   $=-4\pi-\frac{3}{2}\sqrt{3}-1$.
4. $\frac{49}{3}(3\sqrt{3}-5)$. Указание. Не забудьте докажать, что точка $E$ лежит внутри угла $PCD$ ($P$- произвольная точка на продолжении $[AC]$ за точку $C$).
5. 1, 0. Решение. Данное уравнение при любом $a$ имеет корень 0. Следовательно, надо найти $a$, при которых оно других корней не имеет. Легко проверить непосредственно, что при $a=0$ и при $a=1$ уравнение имеет только нулевой корень. При $a\leq 2$, $\neq 0$, $\neq 1$ уравнение имеет нулевой корень $\frac{a-1}{a}$ (если $x=\frac{a-1}{a}$ и $a\leq 2$, то $ax\leq 1$ и уравнение принимает вид $ax^2+(1-a)x=0$). При $a>2$ уравнение имеет нулевой корень $\frac{3a-1+\sqrt{9a^2-14a+1}}{2a}$ (если $x=\frac{3a-1+\sqrt{9a^2-14a+1}}{2a}$ и $a>2$, то $9a^2-14a+1>0$, $ax=\frac{3a-1}{2}+\frac{\sqrt{9a^2-14a+1}}{2}$ $\geq \frac{3a-1}{2}>1$ и данное уравнение равносильно уравнению $ax^2+(1-3a)x+2=0$).

Физика
Физическая факультет

1. $s_2=s_1v_1/v_2=750$ м.
2. Модели скоростей точек $C$ и $D$ одинаковы и равны $v_C=v_D=\sqrt{(v_A^2+v_B^2)/2}$; проекции этих скоростей на горизонтальном и вертикальном оси равны соответственно $v_Cx=v_Dx=$ $(v_A+v_B)/2$, $v_Cy=-v_Dy=(v_B-v_A)/2$.
3. $\mu=k(s_1-s_2)/(mg)=0,09$.
4. $m=\left(p_0+\frac{m_ng}{S}\right)\frac{M\Delta V}{R\Delta T}$.
5. $U=d\sqrt{2\phi hg/\varepsilon_0}\approx 8000$ B.
6. $Q=\mathcal{O}_1C_1+\mathcal{O}_2C_2=5\cdot 10^{-5}$ Кл.
7. $S\geqslant\frac{2L_0P}{\Delta U(U-\Delta U)}=1,4\cdot 10^{-4}$ м$^2=1,4$ см$^2$.
8. $n_{ж}=\sqrt{n_c^2-\sin^2\delta}\approx 1,41$.
9. $a_m=\arcsin\sqrt{n_c^2-n_0^2}\approx 30^\circ$.
10. $l_{\min}=4F$.

Механико-mатематический факультет

1. $a=\frac{F}{m}\left(\cos a_2-\cos a_1\frac{mg-F\sin a_2}{mg-F\sin a_1}\right)\approx 0,825$ м/c$^2$.
2. $F>(M+m)(\mu_1+\mu_2)g=4,5$ H.
3. $a=g(1-\mu)/(1+\mu)=4,2$ м/c$^2$.