Trường học yêu thích bài toán

30

Bài tập
7. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ mà số $2p^4 - p^2 + 16$ là bình phương của một số nguyên.
8. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ mà số $3^n + 55$ là bình phương của một số nguyên.
9. Số tự nhiên $n$ sao cho số $n^2 + 1$ là số có mười chữ số. Chứng minh rằng số có mười chữ số này có hai chữ số giống nhau.
10. Số tự nhiên $n$ sao cho số $n^{n+1} + (n+1)^n$ chia hết cho 3. Chứng minh rằng $n-1$ chia hết cho 6.
11. Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên bằng 0, 1 hoặc - 1 modulo 7.
12. Chứng minh rằng phương trình $15x^3 + 13y^3 = 101$ không có lời giải ở dạng số nguyên.

Trường học ở «Kvant»

Các bài tập của trường đã chọn

lớp tám

1. Tính toán:
   $$\frac{1}{\sqrt{8} - \sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{10} + \sqrt{8}} - \frac{3}{\sqrt{10} - \sqrt{7}}$$
2. a) Các đường chéo của một tứ giác lồi chia nó thành 4 hình tam giác, có diện tích bằng $S_1, S_2, S_3, S_4$ (Hình 1). Chứng minh rằng $S_1S_3 = S_2S_4$.
3. Các đường chéo được vẽ theo hình thang $ABCD$ (Hình 2). Được biết, $S_{BOC} = S_1, S_{AOD} = S_2$. Tìm $S$, diện tích tam giác $ABO$.
4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác
   $$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c},$$
   trong đó $r$ là bán kính của hình tròn nội tiếp trong tam giác, $h_a, h_b, h_c$ là độ cao của hình tròn đó.
5. Giải hệ phương trình:
   $$\begin{cases} x^2 + 2y + 1 = 0, \\ y^2 + 2z + 1 = 0, \\ z^2 + 2y + 1 = 0. \end{cases}$$
   Hình 1.
   Hình 2.

lớp chín
6. Cho hai vectơ neoclipnear $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài bằng nhau. Tìm góc giữa các vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ và $\vec{a} - \vec{b}$.
7. Tính toán:
$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{1984^2}\right).$$
8. Chứng minh các số là số vô tỉ: a) $\sqrt{6}$; b) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.
9. Giải các phương trình:
a) $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40,$
b) $(x+1)^4 + (x+3)^4 = 82.$
10. Có thể: a) chẵn, b) lẻ, b) hàm tuần hoàn - có $n$ điểm cực trị nếu $n=0$; 1; 3; 4?

lớp mười
11. Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là số thực dương và $abc=1$ thì $a+b+c+ab+ac+bc \geq 6$.
12. Chứng minh rằng khi cắt một góc tứ giác lồi bất kỳ bởi một mặt phẳng thì sẽ thu được hình bình hành.
13. Chứng minh rằng trong mọi hình bình hành tam giác
$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4},$$
trong đó $r$ là bán kính của hình tròn nội tiếp trong tam giác, $h_1, h_2, h_3, h_4$ là độ cao của hình tròn đó.
14. Giải các phương trình:
a) $x^4 - 2x^3 - 13x^2 - 2x + 1 = 0,$
b) $x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 6x + 4 = 0.$
15. Trong một góc tam diện, tất cả các góc phẳng ở đỉnh $O$ đều vuông. Trên các cạnh của góc này, chọn điểm: $A, B, C$. a) Chứng minh tam giác $ABC$ nhọn. b) Chứng minh rằng có thể chọn các điểm $A, B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác nhọn đã cho.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi B. M. Ivlev