mô hình Poincaré

5

mô hình Poincaré

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
K. L. SAMAROV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. M. UROEV

Không có hình học nào có thể đúng hơn hình học khác.
Anir Poincaré

Đến thế kỷ thứ hai trước Công nguyên, cấu trúc tiên đề của hình học, được Euclid phác thảo trong tác phẩm “Các phần tử” gồm mười ba tập, đã được hoàn thành. Kinh nghiệm thực tế về đo góc, độ dài và diện tích tích lũy qua nhiều thế hệ đã được chuyển hóa thành một lý thuyết toán học hài hòa với các tiên đề và cấu trúc, định lý, định nghĩa và chứng minh. Các hoạt động chính của bề mặt hình học đã được bộc lộ: điểm, mặt phẳng, đường thẳng.

Nhưng có điều gì đó bí ẩn được cảm nhận trong những khái niệm trừu tượng này. Hoạt động thực tế của con người, nhất là vào thời điểm đó, không thể biết được điều gì đang xảy ra với những đường thẳng ở rất xa, “ở vô cực”. Có lẽ vì lý do này mà Euclids đã cẩn thận xây dựng tiên đề quan trọng về các đường thẳng song song (Định đề V): nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng và tạo thành các góc một bên trong tổng nhỏ hơn hai đường thẳng, thì nếu hai đường thẳng này không kéo dài thì chúng sẽ cắt nhau ở phía có các góc nhỏ hơn hai đường thẳng.

Rõ ràng, người xưa đã mô tả việc vận hành với vô cực, coi mặt phẳng như thể được dán lại với nhau từ những mảnh hữu hạn giống hệt nhau hiện diện trong ý thức. Đây không phải là tai nạn. Theo những ý tưởng phổ biến thời bấy giờ, Trái đất được coi là một đĩa phẳng lớn. Lớn đến mức không thể thay đổi được. Và điều đó là không cần thiết, không cần thiết - ranh giới không gian của thế giới đã biết đã quá hẹp.

Trong thời đại của niềm đam mê và những khám phá địa lý hơn nữa, những ranh giới này đã mở rộng đáng kể; nhưng phải mất một thế kỷ nữa trước khi những thay đổi trong cách hiểu về thế giới xung quanh ảnh hưởng đến sự phát triển của hình học. Bằng cách này hay cách khác, vào thế kỷ 18, trong cuốn sách của giáo viên tiếng Anh Playfair,

6

lat về sự tương đương xuất hiện trong công thức hiện đại, táo bạo và ngắn gọn hơn: thông qua một điểm bên ngoài một đường thẳng, chỉ có thể vẽ được một đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho và nằm trong cùng một mặt phẳng với nó.

Vào những năm hai mươi của thế kỷ 19, hình học Lobachevsky ra đời*). Nó bảo toàn tất cả các tiên đề và tiên đề của hình học Euclid, ngoại trừ một - tiên đề thứ năm được thay thế bằng phát biểu sau: qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho và nằm trong cùng một mặt phẳng với nó.

Hầu như tất cả những người cùng thời với Lobachevsky đều chắc chắn rằng hình học của ông là sai lầm. Họ không chỉ phủ nhận khả năng ứng dụng của nó với thế giới bên ngoài mà còn coi nó là thiếu sót từ bên trong - mâu thuẫn bên trong, tức là họ tin rằng với sự phát triển hơn nữa của lý thuyết, chắc chắn sẽ có những tuyên bố mâu thuẫn từ ý tưởng về sự song song được Lobachevsky áp dụng.

Ở đây chúng ta sẽ không đề cập đến vấn đề phức tạp về mối liên hệ giữa hình học Lobachevsky và thế giới bên ngoài - nó chỉ được bộc lộ toàn bộ chiều sâu trong lý thuyết tương đối, được tạo ra vào đầu thế kỷ của chúng ta**). Mục tiêu của chúng tôi là khác nhau - để nói về việc nhà toán học đã táo bạo như thế nào với hình học Lobachevsky và buộc tội anh ta về sự không nhất quán. Chính vì mục đích này mà vào cuối thế kỷ này, nhà toán học người Pháp A. Poincaré đã xây dựng mô hình hình học Lobachevsky (1882). Nhưng để biết mô hình Poincaré là gì và tại sao nó thiết lập tính nhất quán của hình học Lobachevsky, trước tiên chúng ta phải giải quyết các tính chất của… đường tròn tổng quát.

Xây dựng các đường tròn và đường thẳng trực giao

Hãy gọi hai đường thẳng - đường tròn hoặc đường thẳng - trực giao nếu chúng cắt nhau vuông góc. Hãy nhớ rằng góc giữa các đường tròn có nghĩa là góc giữa

*) Về lịch sử hình thành của nó, xem Kvant, 1982, số 11, tr. 12 và số 12, tr. 7.
**) Ví dụ, điều này được viết trong cuốn sách “Thế giới Relatinsky” của V. N. Dubrovsky, Ya. A. Smorodinsky, E. L. Surkov (M., Nauka, 1984).

Hình 1.

7

Đảo ngược và tính chất của nó

Đảo ngược ($O, r$) (hoặc sự đối xứng của một đường tròn tương đối có tâm $O$ và bán kính $r$) là một phép biến đổi của mặt phẳng trong đó mỗi điểm $M$ được liên kết với một điểm $M'$ trên tia $OM$ sao cho
$$|OM| \cdot |OM'| = r^2.$$
Điểm $O$ được gọi là tâm nghịch đảo (đó là điểm duy nhất không xác định phép biến đổi), số $r$ là bán kính nghịch đảo và đường tròn ($O, r$) là đường tròn nghịch đảo.

Đảo ngược là một dạng đối xứng thực sự của một đường tròn tương đối; nó “biến” bên trong vòng tròn thành bên ngoài (và ngược lại), làm biến dạng hình dạng và kích thước của các hình một cách độc đáo (xem hình minh họa cho bài “Đảo ngược” ở «Kvant» Số 5, trang 26). Các thuộc tính chính của nghịch đảo ($O, R$) được hiển thị trong Hình 2, trong đó có thể thấy rằng

1. các điểm nằm trong đường tròn nghịch đảo đi đến các điểm nằm ngoài đường tròn đó và ngược lại;
2. các điểm của vòng tròn đảo ngược, và chỉ chúng, giữ nguyên vị trí;
3. các đường thẳng đi qua tâm đảo ngược biến thành chính chúng;

3’) những đường thẳng không đi qua tâm nghịch đảo sẽ trở thành đường tròn;

4. các đường tròn đi qua tâm nghịch chuyển thành đường thẳng;

4’) những đường tròn không đi qua tâm nghịch đảo sẽ trở thành những đường tròn;

5. các giá trị giữa các dòng được giữ nguyên;

6. sự đảo ngược, giống như các kiểu đối xứng khác, là sự tự tạo ảnh; nói cách khác, áp dụng phép đảo ngược hai lần sẽ trả về vị trí của tất cả các điểm (ngoại trừ $O$).

Những tính chất này không khó chứng minh; Bạn đọc có thể tìm thấy bằng chứng của mình trong bài “Đảo ngược” ở số trước «Kvant», tuy nhiên, không cần thiết phải hiểu thêm về phân tích của họ. Hãy để chúng tôi trình bày (đã có bằng chứng) một tính chất quan trọng khác của nghịch đảo.

7. Bất kỳ vòng tròn nào đi theo vòng tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó trong quá trình đảo ngược này.

Bằng chứng. Theo tính chất 4’), hình tròn $\gamma$ này sẽ đi vào hình tròn $\gamma'$. Theo tính chất 2), giao điểm $A$ và $B$ của đường tròn $\gamma$ với đường tròn nghịch đảo vẫn giữ nguyên, nghĩa là $\gamma'$ đi qua $A$ và $B$. Qua

10

mâu thuẫn nhau, thì điều tương tự cũng sẽ được áp dụng cho việc dịch hai định lý này được thực hiện với sự trợ giúp của từ điển của chúng tôi; nhưng những bản dịch này dựa trên định lý hình học khách quan (…), không có mâu thuẫn.

Lập luận này cho thấy tính nhất quán của hình học Eclidian bao hàm tính nhất quán của hình học Lobachevsky. Theo nghĩa này, Poincaré đã nói rằng không có hình học nào có thể đúng hơn hình học khác.

Vì vậy, để thiết lập tính nhất quán của hình học Lobachevsky, cần phải kiểm tra xem tất cả các tiên đề của nó có thỏa mãn đối với mô hình được xây dựng ở trên hay không.

Kiểm tra tiên đề

Chúng tôi sẽ không kiểm tra tất cả các tiên đề của hình học Lobachevsky cho mô hình Poincaré - đây là một công việc nhàm chán và tẻ nhạt, nhưng chúng tôi sẽ hạn chế chỉ chứng minh một số đặc điểm của các quy định chính của hình học Lobachevsky. Chính xác là những cái tiếp theo.

I. Bất kỳ sự dịch chuyển nào cũng biến “độ phẳng” λ thành chính nó, và “đường thẳng” biến thành “đường thẳng”.
II. Qua hai “điểm” bất kỳ của mặt phẳng λ có một và chỉ một “đường thẳng”.
III. “Sự dịch chuyển của mặt phẳng” λ bảo toàn các đường thẳng giữa “các đường thẳng”.
IV. Hai cái bất kỳ đều “thẳng” đồng dạng, nghĩa là có một “chuyển động của mặt phẳng” chuyển cái này sang cái kia.
V. Qua mỗi điểm không thuộc một “đường thẳng” cho trước sẽ đi qua ít nhất hai “đường thẳng” không có điểm chung với nó. (Đây là “tiên đề song song” của Lobachevsky; Hình 5).

Hãy chứng minh Mệnh đề I-V.
I. Chuyển động quay của đường tròn λ quanh tâm và sự đối xứng với đường kính của nó sẽ không dẫn λ vào chính nó. Đối với phép nghịch đảo đối với bất kỳ đường tròn τ trực giao với γ nào thì nó đưa γ vào chính nó (tính chất 7)), hơn nữa, hai vùng mà τ chia λ thay đổi vị trí, tức là λ đi vào chính nó.
II. Điều này theo Hệ quả bài toán 5.
III. Điều này đúng với tất cả các chuyển động cơ bản (xem một phần tính chất 5)), và do đó đúng với bố cục của chúng.
IV. Điều này diễn ra từ bài toán 4.

V. Cho đường thẳng m cắt γ tại hai điểm A và B. Trước tiên chúng ta xét trường hợp đặc biệt khi điểm này không khác gì tâm O của đường tròn λ. Khi đó các đường kính (OA) và (OB) là các đường thẳng không cắt nhau τ. Chúng ta hãy nhớ rằng các điểm của đường tròn γ, một phần là các điểm A và B, không phải là “điểm” của “mặt phẳng lobachevsky”. Trường hợp tổng quát được rút gọn thành việc xét trường hợp đặc biệt sử dụng bài toán 3.

Như vậy, các điều khoản chính (I-V) của hình học Lobachevsky đã được chứng minh trong mô hình Poincaré. Đối với những người muốn nghiên cứu sâu hơn về hình học lobachevsky trên mô hình này, chúng tôi cung cấp một số bài toán ở cuối bài viết. Trong lúc chờ đợi, hãy cùng trả lời một trong những câu hỏi nảy sinh ở đầu bài viết.

Nhưng điều gì sẽ xảy ra “ở vô cực”?

Một trong những ưu điểm của mô hình Poincaré là trên đó - theo quan điểm thiên văn của chúng ta - người ta có thể thấy tập hợp tanistic các điểm “ở vô cùng xa” của hình học Lobachevsky.

Chúng ta hãy chứng minh rằng việc coi đường tròn biên γ là “đường tròn ở vô cực” của mặt phẳng Lobachevsky λ là điều tự nhiên. Để làm điều này, chúng ta hãy quay trở lại mặt phẳng được chỉ định trong phép đảo ngược thông thường và xem làm thế nào, bằng cách sử dụng các chuyển động của mặt phẳng nhật thực, chúng ta có thể di chuyển hình đã cho càng xa vị trí đầu tiên của nó càng tốt. Ví dụ, nó có thể được thực hiện như thế này. Ta chọn hai đường thẳng song song không trùng nhau $l_1$, $l_2$ trên mặt phẳng hoàng đạo và phản xạ mặt phẳng đối xứng với đường thẳng