Điện trở là một hiện tượng lượng tử

2

Chúng tôi đang xuất bản một bài báo của nhà vật lý nổi tiếng Liên Xô và nhà phổ biến khoa học điện khí hóa D. A. Frank-Kamenetsky (1910-1970). Bài viết này, được xuất bản lần đầu tiên vào năm 1970 trên «Kvant» số 9, vẫn không mất đi tính liên quan và chắc chắn sẽ rất thú vị và hữu ích cho độc giả ngày nay.
(In có chữ viết tắt nhỏ.)

Lý thuyết cổ điển

Trong vật lý hiện đại, cổ điển được gọi là các lý thuyết được tạo ra bởi các tác phẩm kinh điển của khoa học trong nhiều thế kỷ trước, trước khi xuất hiện vật lý lượng tử và lý thuyết phần tương đối. Thông thường, từ “cổ điển” được các nhà vật lý sử dụng là từ trái nghĩa với từ “lượng tử”.

Lý thuyết cổ điển khác ở chỗ nó không liên quan đến lượng tử. Những lý thuyết như vậy rất đơn giản; đối với các nhà vật lý hiện đại thì họ có vẻ hơi ngây thơ. Chúng thường mang lại lợi ích lớn, nhưng theo quy luật, chúng không giải quyết được triệt để vấn đề. Trong lý thuyết cổ điển, luôn có một điều gì đó còn thiếu đối với một nhà vật lý hiện đại.

Trong nhiều cuốn sách, kể cả sách giáo khoa (và thậm chí rất hay), người ta viết rằng điện trở của kim loại xuất phát từ sự va chạm của các electron mang dòng điện với các nguyên tử*) của mạng tinh thể. Sự hiểu biết về sự kháng cự này có đúng không?

Tốt nhất không nên nói “có” hoặc “không”, mà hãy nói rằng nó thể hiện lý thuyết cổ điển về điện trở. Mọi điều chúng ta vừa nói về lý thuyết cổ điển nói chung đều áp dụng được cho nó. Nhưng trong trường hợp này, lý thuyết cổ điển tỏ ra rất yếu: nó không thể giải thích được nhiều đặc điểm cơ bản nhất của điện trở.

Trong lý thuyết cổ điển, có một điều chắc chắn đúng: điện trở xuất phát từ việc các electron truyền một phần năng lượng và động lượng (động lượng) của chúng sang mạng tinh thể. Nhưng chính xác việc chuyển giao này sẽ diễn ra như thế nào không phải là một câu hỏi đơn giản và rất thú vị.

*) Sẽ chính xác hơn nếu nói - với ngựa con, nhưng điều này không tồn tại đối với chúng tôi ở đây.

3

Sự phụ thuộc nhiệt độ

Điện trở của kim loại nguyên chất tăng rất nhiều theo nhiệt độ. Đối với nhiều người trong số họ, nó gần như tỷ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối. Ở nhiệt độ thấp mối quan hệ đơn giản này bị phá vỡ. Điều này có thể thấy rõ trong Hình 1, cho thấy điện trở suất của đồng, chất dẫn điện phổ biến nhất, thay đổi như thế nào theo nhiệt độ. Như có thể thấy từ hình vẽ, ở vùng nhiệt độ cao, sự phụ thuộc của hàng hóa dường như là tuyến tính. Nhưng nếu đường thẳng này được tiếp tục hướng tới nhiệt độ thấp (được biểu thị bằng đường chấm trong hình), thì nó không tiến đến độ không tuyệt đối mà đến nhiệt độ cao hơn một chút - đối với đồng khoảng 60 K. Trên thực tế, ở nhiệt độ thấp, sự phụ thuộc trở nên phức tạp hơn: điện trở thay đổi tỷ lệ với lũy thừa năm của nhiệt độ. Khi độ không tuyệt đối tiến tới, điện trở của kim loại nguyên chất trở nên rất nhỏ. Có một nhóm kim loại trong đó điện trở biến mất hoàn toàn ở nhiệt độ cao hơn độ không tuyệt đối vài độ. Bây giờ chúng ta sẽ không đề cập đến hiện tượng này, được gọi là hiện tượng siêu dẫn. Có thể nói rất nhiều điều thú vị về những điều đơn giản hơn.

Nếu chúng ta giải thích điện trở bằng sự va chạm của electron với nguyên tử, thì sự phụ thuộc nhiệt độ của điện trở của kim loại nguyên chất vẫn hoàn toàn không thể hiểu được. Rốt cuộc, tình huống này giống như thể các electron chỉ va chạm với các nguyên tử đã trải qua chuyển động nhiệt, nhưng với các chuyến bay tự do của các nguyên tử đứng yên. Họ nói như vậy (như thể một electron đi vào nguyên tử đang chuyển động sẽ dễ dàng hơn), nhưng đây là một sai lầm. Điều này cũng giống như suy nghĩ rằng khi bắn mà không nhắm, sẽ dễ bắn trúng nam châm đang xoay hơn là nam châm đứng yên. Vì vậy, lý thuyết cổ điển không thể giải thích được sự phụ thuộc của điện trở vào nhiệt độ.

Điện trở dư

Khi điện trở của kim loại nguyên chất thay đổi ở nhiệt độ rất thấp, người ta phát hiện ra một điều đáng chú ý. Tiếp tục đường cong của Hình 1 đến độ không tuyệt đối, chúng ta nhận được điện trở sẽ được duy trì nếu có thể đạt đến độ không tuyệt đối trong thí nghiệm. Nó được gọi là điện trở dư. Nó chỉ ra rằng nó thay đổi rất nhiều từ mẫu này sang mẫu khác. Điện trở còn lại cực kỳ nhạy cảm với tạp chất thấp, xử lý cơ học và nhiệt. Bằng cách làm sạch cẩn thận kim loại, tạo hình nó sao cho đạt được cấu trúc tinh thể hoàn hảo, điện trở dư có thể giảm xuống và không có giới hạn nào cho mức giảm này. Vì vậy, kinh nghiệm dẫn đến một kết luận đáng kinh ngạc: một tinh thể lý tưởng ở nhiệt độ không tuyệt đối sẽ không có điện trở. Nói cách khác: điện trở của kim loại nguyên chất chỉ đến từ sự xáo trộn trong cấu trúc tinh thể, nguyên nhân là do chuyển động nhiệt, tạp chất và khuyết tật (không đều) của tinh thể lời giải.

Hành lang hạt nhân

Nếu các electron chuyển động theo các định luật cơ học cổ điển, chúng sẽ va chạm với các nguyên tử bất kể các nguyên tử đó có được sắp xếp theo cùng một trật tự hay không. Tất nhiên, có những loại hành lang giữa các hàng nguyên tử đều đặn (Hình 2), nhưng để dẫn một electron dọc theo một hành lang như vậy đòi hỏi sự định hướng chính xác của tinh thể so với điện áp đặt vào. Nhưng thông thường chúng ta đang xử lý không phải một tinh thể mà là sự kết hợp của nhiều tinh thể nhỏ, được định hướng ngẫu nhiên. Leo đúng đơn

4

Hình 2. Chuyển động của các electron và sự lan truyền của sóng electron trong tinh thể (lý tưởng) đều.

thép được gọi là một tinh thể đơn (từ tiếng Hy Lạp “mono” - một), và sự kết hợp của nhiều tinh thể được gọi là tổng hợp đa tinh thể (từ tiếng Hy Lạp “poly” - nhiều). Vì vậy, các phép đo chính xác đã chỉ ra rằng điện trở của cốt liệu đa tinh thể giảm đáng kể khi nhiệt độ giảm. Điều này không thể giải thích được bằng cách nào đó bằng sự chuyển động của một electron dọc theo các hành lang nguyên tử theo các định luật cơ học cổ điển. Khi di chuyển từ tinh thể này sang tinh thể khác, hành lang nguyên tử đột ngột thay đổi hướng (Hình 3). Các electron sẽ va vào “bức tường” để bay đi. Và anh ta có khả năng đi bộ sáu trăm lần qua mê cung nguyên tử, giống như Theseus, người được chỉ hướng bởi sợi chỉ của Aridna. Cái quái gì thế này và làm sao tôi có thể giải thích nó?

Phép lạ không có phép lạ

Thậm chí nhiều sự thật đáng kinh ngạc hơn đã được biết đến từ lâu. Xử lý cơ học và nhiệt ảnh hưởng đáng kể đến điện trở suất của kim loại. Để dễ sử dụng về mặt công nghệ, chúng ta sẽ sử dụng điện trở suất đơn Ohm·mm²/m=10⁻⁴ Ohm·cm=10⁻⁶ Ohm·m. Trong các đơn vị này, điện trở suất của tổng đồng thương mại ở 20 °C được biểu thị bằng 0,0172. Sau khi kéo nguội, điện trở của dây đồng tăng lên 0,0177. Quấn thêm dây xung quanh cuộn dây là đủ để tăng điện trở của nó. Nếu bạn ủ hệ thống dây điện, nghĩa là,

gia nhiệt kéo dài, sau đó làm nguội lại đến 20 ° C, giá trị điện trở trở lại bình thường. Rõ ràng, bản thân nó cảm nhận được sự kháng cự đối với những xáo trộn nhỏ trong cấu trúc tinh thể (những đặc tính như vậy được gọi là cấu trúc nhạy cảm). Một điều đáng chú ý khác là độ nhạy của khả năng chống lại các tạp chất không đáng kể. Làm sạch kỹ lưỡng làm giảm điện trở đồng ở 20°C xuống 0,0169 ohm mm2/m. Tình huống này có tầm quan trọng lớn đối với công nghệ. Rốt cuộc, nếu bạn giảm điện trở của dây dẫn thì tổn thất vô ích của các hạt điện do quá trình đốt nóng của chúng cũng giảm đi. Do đó, đồng dành cho mục đích điện tử phải được tinh chế đặc biệt thông qua quá trình điện tử. Quá trình luyện kim đặc biệt này phần nào chứa đầy sự “đổ từ trống rỗng”. Ở cực dương, đồng bị hòa tan và đồng lắng đọng ở cực âm, độ tinh khiết của nó thay đổi theo “ba số chín” sau dấu thập phân: 99,999%, tức là tạp chất trong đồng điện tử chỉ chiếm một phần nghìn phần trăm.

Bây giờ chúng ta hãy xem lượng tạp chất ảnh hưởng như thế nào đến điện trở của đồng. Chỉ cần thêm 1% mangan vào đồng là đủ để điện trở suất của nó tăng lên 0,048 Ohm mm²/m, tức là gần gấp ba lần! Trong khi đó, điện trở của mangan nguyên chất là 0,05 ohm mm2/m. Vì vậy, 1% mangan trong đồng là đủ để điện trở của nó trở thành điện trở của mangan 100%! Đây không chỉ là vấn đề may rủi. Về giống nhau

5

Các chất phụ gia như sắt, coban, iridium và các chất khác có tác dụng. Nếu điện trở cho phép nhiều electron mới và nguyên tử tạp chất đi qua như vậy thì những tạp chất này sẽ phải có tác động tương đương. Theo quan điểm của lý thuyết cổ điển, tác dụng cắt cổ của những tạp chất nhỏ là một phép lạ thuần túy.

Trong các hợp kim chứa tỷ lệ tạp chất lớn thì điện trở rất cao. Các nhà luyện kim đã phát triển các loại sàng đáng chú ý bằng hợp kim có độ bền cao: niken, magganin, constantan, nichrome và các loại khác. Điện trở của các hợp kim này lớn hơn nhiều lần so với từng bộ phận cấu thành. Do đó, hằng số, bao gồm 60% đồng và 40% niken, có điện trở suất 0,44 Ohm mm2/m, trong khi đối với đồng nguyên chất là 0,017 và đối với niken là 0,072 cùng đơn vị *).

“Vua” của các hợp kim như vậy có thể được gọi là nichrome nổi tiếng, có điện trở suất khoảng 1 Ohm mm2/m. Không phải vô cớ mà nó được ứng dụng rộng rãi như vậy trong các thiết bị sưởi ấm.

Điều đáng chú ý là sự phụ thuộc nhiệt độ của điện trở của hợp kim hoàn toàn khác với kim loại nguyên chất. Điện trở của hầu hết các hợp kim cũng tăng theo nhiệt độ, nhưng ít hơn nhiều. Đặc biệt đối với các dụng cụ khoa học cần có điện trở không đổi, hằng số đã đề cập đã được phát triển, tên của nó có nghĩa là “hằng số”. Trong phạm vi nhiệt độ từ 0 ° đến 400 ° C, điện trở của nó chỉ thay đổi từ 0,441 đến 0,448 Ohm mm²/m.

Theo quan điểm của lý thuyết cổ điển, hằng số điện trở của hợp kim ít được hiểu giống như điện trở suất tỷ lệ với nhiệt độ của kim loại nguyên chất. Theo ý nghĩa của lý thuyết này, điện trở của hợp kim phải được cộng lại từ điện trở của các bộ phận cấu thành của nó theo các quy tắc trộn đơn giản (chẳng hạn như tính đặc hiệu nhiệt). Nếu chúng ta xem xét cẩn thận mọi thứ đã biết về điện trở, thì sẽ thấy rõ rằng ngay cả hiện tượng đơn giản này cũng buộc chúng ta phải chuyển sang lượng tử để hỗ trợ cho khái niệm của nó.

Sóng điện tử và ống dẫn sóng nguyên tử

Mọi thứ sẽ đâu vào đấy nếu chúng ta nhớ rằng, theo các định luật cơ học lượng tử, một electron có các đặc tính đồng thời của hạt và sóng. Chiều rộng của hành lang nguyên tử gần bằng bước sóng của electron nên khi di chuyển dọc theo những hành lang đó, tính chất sóng của electron được thể hiện đầy đủ.

Ống dẫn sóng được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật vô tuyến sóng S. Đây là những ống kim loại có tiết diện tròn hoặc hình chữ nhật. Sóng vô tuyến truyền dọc theo ống dẫn sóng, đi theo tất cả các điểm uốn cong của nó. Ánh sáng cũng là sóng điện từ và nó có thể được giấu trong một ống dẫn ánh sáng - một ống có thành gương *).

Tác dụng của tấm dẫn sáng với vách gương là điều dễ hiểu. Sóng ánh sáng liên tục bị phản xạ từ các bức tường và do đó vẫn tồn tại bên trong ống dẫn ánh sáng. Sóng vô tuyến cũng được phản xạ tốt từ bề mặt kim loại nhẵn. Nếu bề mặt gồ ghề thì sóng dường như vỡ ra khỏi các cạnh lởm chởm và kết quả là bị tán xạ và hấp thụ. Năng lượng của nó biến thành nhiệt.

Trong lý thuyết lượng tử, dòng điện chạy qua kim loại được mô tả là sự truyền sóng điện tử dọc theo hành lang nguyên tử đóng vai trò là ống dẫn sóng. Nếu các nguyên tử nằm trên một mặt phẳng theo thứ tự hoàn hảo, ở khoảng cách bằng nhau, thì mặt phẳng đó phản xạ hoàn toàn sóng điện tử - giống như một tấm gương lý tưởng. Sự tán xạ và hấp thụ sóng điện tử chỉ xảy ra khi trật tự sắp xếp chặt chẽ của các nguyên tử bị vi phạm. Kết luận đáng ngạc nhiên này lần đầu tiên được thu được bằng một phương pháp toán học khá phức tạp từ phương trình của cơ học lượng tử. Nhưng nó cũng có thể được thực hiện trên cơ sở các đặc tính của điện trở được thiết lập bằng thực nghiệm, nếu chúng được xử lý cẩn thận hơn.

Trong một tinh thể đều lý tưởng, các ống dẫn sóng hoàn toàn trơn tru. Bất kỳ sự vi phạm trật tự nguyên tử nào đều gây ra sự gồ ghề của các bức tường sóng.

*) Tất cả các số liệu ở đây được đưa ra ở nhiệt độ 20°C.

8

một trong những bí ẩn về điện trở đã được giải quyết.

Nhưng kết quả này chỉ có giá trị ở nhiệt độ đủ cao. Suy cho cùng, theo ý nghĩa của thuyết lượng tử, số lượng nền không thể ít hơn một. Chúng ta hãy xem nhiệt độ nào nó bằng sự thống nhất. Nhiệt độ này được gọi là nhiệt độ Debye và được ký hiệu bằng tiếng Hy Lạp bằng chữ θ. Đánh đồng $N$ với một, chúng ta tìm thấy: $\theta = \frac{hv}{k}$.

Nhiệt độ Debye (hay nhiệt độ Debye) đóng vai trò rất quan trọng trong vật lý chất rắn. Sử dụng số lượng mà chúng tôi quan tâm này, số lượng hình nền được thể hiện khá đơn giản: $N = \frac{T}{\theta}$. Ở nhiệt độ dưới nhiệt độ Debye, con số này nhỏ hơn một. Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ có thể nói về số lượng nền trung bình và việc tính toán có điều kiện. Nhưng giá trị $\frac{T}{\theta}$ vẫn là thước đo số lượng nền trong chất rắn, và do đó, số lượng electron có nền. Dựa trên những báo cáo này, giả thuyết sau đã được đưa ra: điện trở phụ thuộc vào nhiệt độ của kim loại nguyên chất được biểu thị bằng hàm phổ quát của phép đo số lượng nền $\frac{T}{\theta}$. Về mặt toán học, giả thuyết này trông như sau: $\frac{R}{R_\theta} = F\left(\frac{T}{\theta}\right)$, trong đó $R$ là điện trở ở nhiệt độ $T$, $R_\theta$ ở nhiệt độ $\theta$, và $F$ là một hàm số, dạng của hàm này có thể được tìm thấy từ kinh nghiệm. Điều quan trọng là chức năng $F$ là phổ biến đối với các kim loại nguyên chất khác nhau. Giả thuyết này hoạt động tốt như thế nào?

$$\frac{v}{\leq \frac{c}{a}}.$$

Trong quá trình chuyển động nhiệt, sóng âm thanh (nói cách khác là phonan) với các tần số khác nhau bị kích thích, như người ta nói, toàn bộ phổ tần số. Nhưng phổ phonan có tần số giới hạn. Sóng có tần số cao hơn sẽ không có thời gian để nhảy từ nguyên tử này sang nguyên tử khác và do đó không thể bị kích thích. Các tính toán chi tiết cho thấy nhiệt độ Debye có thể được xác định theo cách tương tự như chúng ta đã làm, nếu chỉ với tần số $v$GBT là tần số giới hạn của phổ nền trong chất rắn. Đây là những gì chúng tôi sẽ làm.

Chúng ta vẫn phải ước tính vật tư tiêu hao giữa các nguyên tử $a$. Nếu số nguyên tử trên một đơn vị thể tích là $n$ thì $n = \frac{1}{a^3}$.

Từ đây và từ công thức (*) hóa ra:

$$\frac{v^3}{c^3} \leq n.$$

Một phép tính chính xác hơn mà chúng tôi không thể trình bày ở đây, được đưa ra bởi đa ô bổ sung $4\pi$. Do đó, chúng ta thu được công thức nối tần số giới hạn $v$ với tốc độ âm thanh $c$:

$$4\pi \frac{v^3}{c^3} = n.$$

(Cuối cùng xem trang 12)