Góc nhị diện và góc tam giác

23

Bài 2. Giải phương trình: $\sqrt{2} - 2\cos x + \sqrt{10} - 6\cos x = \sqrt{10} - 6\cos 2x$, trong đó $x \in [0; \pi/2]$.

Lời giải. Đặt $|CA|=1, |CB|=3, |CD|=1, ACD=DCB=x$ (Hình 2). Sau đó $|AD|=\sqrt{2} - 2\cos x, |DB|=\sqrt{10} - 6\cos x, |AB|=\sqrt{10} - 6\cos 2x$.

Phương trình này có nghĩa là $|AD|+|DB|=|AB|$, do đó $D \in [AB]$.

Do đó, $S_{ACD} + S_{CDB} = S_{ACB}$, tức là $x+3\sin x=3\sin 2x, 4\sin x=6\sin x \cdot \cos x$. Suy ra rằng $\cos x=2/3$, vì $\sin x \neq 0$ (từ điều kiện: $x \in [0; 90^\circ]$).

Đáp số: $x=\arccos 2/3$.

Bình luận. Nếu $x \in [0; \pi/2]$ thì phương trình sẽ có thêm một nghiệm $x=0$.

Đánh bại. Độ mạnh bằng chứng của hai phương trình: $\sqrt{5}-4\cos x + \sqrt{13}-12\sin x=\sqrt{10}$ và $2\sin x + 6\cos x=3$, trong đó $x \in [0; \pi/2]$.

E. Vâng. Yasinov

Các góc thân thiện và ba mặt

Các góc độ khác nhau. Một góc khác là sự kết hợp của hai nửa mặt phẳng có ranh giới chung và một trong các vùng không gian bị giới hạn bởi immi (Hình 1). Gạch chân: không phải mọi góc chéo đều là giao điểm của hai nửa khoảng trống (xem Hình 16).

Giá trị của một góc bên là giá trị của một góc phẳng tạo ra từ phần của góc bên này bởi một mặt phẳng vuông góc với cạnh của nó. Giá trị của góc bên trong Hình 1a nhỏ hơn $\pi$ và giá trị của góc bên trong Hình 16 lớn hơn $\pi$.

Các góc khác là những điểm tương tự về mặt không gian của các góc trên một mặt phẳng: nhiều tính chất của chúng tương tự như các góc mặt phẳng. Ví dụ, bissertor của một góc lồi (còn gọi là nửa mặt phẳng chia góc thành hai góc bằng nhau) có thể được định nghĩa là tập hợp các điểm của góc cách đều các mặt của nó. Theo cách tương tự như mặt phẳng, các góc đứng và góc hỗn hợp được xác định và giá trị của chúng bằng với sự tương ứng giữa $\varphi$ và $\pi-\varphi$, trong đó $\varphi$ là giá trị của góc hỗn hợp ban đầu.

Bây giờ chúng ta sẽ phân tích lời giải hai bài toán, theo nghĩa bóng của nhau theo một nghĩa nào đó.

Bài tập 1. Một góc nhị diện có độ lớn $\varphi$, $0<\varphi<\pi$ cắt một mặt phẳng. Giá trị $\varphi$ của hiệu suất thu được trong mặt cắt có thể nằm trong giới hạn nào?

Nhiệm vụ 2. Giá trị $\varphi$ của góc, là hình chiếu giới hạn của góc của giá trị $\varphi$, $0<\varphi<\pi$, có thể nằm trong giới hạn nào?

Đáp số sang nhiệm vụ 1: $0<\varphi<\pi$. Vì độ lớn của góc kia nhỏ hơn $\pi$ nên nó nằm trên một phía của mặt phẳng bất kỳ mặt nào của nó. Do đó, góc trong tiết diện nằm dọc theo góc có độ lớn $\varphi$. Để làm điều này, cách dễ nhất là chỉ ra hai tia có cùng một đỉnh nằm trên cạnh của góc kia, nằm ở các mặt khác nhau sao cho góc giữa chúng bằng $\alpha$ (và sau đó vẽ một mặt phẳng cắt qua hai tia này).

Chúng ta hãy chọn một tia $OP$ trên cạnh của góc đối diện và vẽ các tia $OA$ và $OB$ trên các mặt của nó ở cùng một góc $\beta$ đến $OP$ (Hình 2a). Khi thay đổi $\beta$, các tia $OA$ và $OB$ sẽ quay và rõ ràng

24

rằng khi β chạy qua tất cả các giá trị từ 0 đến π/2 thì góc AOB=α sẽ thay đổi từ 0 thành φ. Nếu tia OB được thực hiện hợp một góc π-β với OP (Hình 26) thì góc α sẽ thay đổi từ π thành φ (tại 0<β<π/2).

Một phép tính đơn giản cho phép chúng ta chứng minh chặt chẽ lý luận này. Cho một mặt phẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện và đi qua điểm P cắt các tia tại hai điểm A và B, M là trung điểm của đoạn AB (ta sẽ xét trường hợp thứ nhất - Hình 2a). Sau đó

$$\sin(\alpha/2) = \frac{|MA|}{|OA|} = \frac{|PA|\sin(\varphi/2)}{|OA|} = \sin\beta \cdot \sin(\varphi/2),$$

có thể sin(α/2) nhận mọi giá trị trong khoảng ]0 khi β thay đổi từ 0 thành π/2; sin(φ/2)] và bản thân góc α nằm trong khoảng ]0; φ] (vì góc α/2 là góc nhọn).

Chúng tôi sẽ để người đọc tự tính toán trong trường hợp thứ hai và ở đây chúng tôi sẽ chỉ ra cách bạn có thể thực hiện mà không cần chúng. Rõ ràng là trong phần của hai góc nhị diện liền kề bởi bất kỳ mặt phẳng nào (giao nhau với cạnh chung của chúng) các góc phẳng liền kề được hình thành (Hình 3). Nhưng góc trong mặt cắt ngang của một góc nhị diện liền kề với góc đã cho, như hình trên, có thể có bất kỳ giá trị nào từ 0 đến π-φ (π-φ là giá trị của góc liền kề này). Posny, theo các giá trị của góc lưỡng diện ban đầu, sẽ thu được các góc từ π đến φ, đây chính xác là những gì được yêu cầu.

Hãy chuyển sang bài toán 2. Cho góc A1OB1 có độ lớn φ là hình chiếu trực giao của góc AOB có độ lớn α. Góc A1OB1 xác định một góc nhị diện có độ lớn φ, có cạnh vuông góc với mặt phẳng A1OB1 đi qua điểm O và các mặt chứa các tia OA1 và OB1. Rõ ràng góc AOB là một phần của góc nhị diện này. Vì vậy, chúng ta lại rơi vào tình huống bài toán 1, chỉ bây giờ các giá trị α và φ đã cho, 0<α,φ<π, chúng ta có thể giao góc nhị diện của giá trị φ sao cho trong phần này chúng ta có được một góc có giá trị α. Do đó, trong bài toán 2, trong quá trình thiết kế, có thể thu được một góc có giá trị bất kỳ φ, 0<φ<π, bất kể α. Xét rằng φ <π (vì góc AOB nhỏ hơn góc gấp), chúng ta tìm thấy đáp số 0<φ<π.

Các góc tam giác. Cho tam giác ABC và điểm S không nằm trong mặt phẳng của tam giác này. Góc tam diện SABC (lồi) là hợp của tất cả các tia có đỉnh S cắt tam giác ABC. (Đôi khi họ cũng sẽ định nghĩa một góc tam giác không lồi SABC - sự hợp của tất cả các tia với đỉnh S không cắt phần trong của tam giác ABC - chúng ta cũng sẽ không xét các góc tam giác.)

Để ngắn gọn, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu sau cho góc tam giác SABC: Â, Â, Â - giá trị của các góc nhị diện có các cạnh SA, SB, SC của các α, β, γ tương ứng - giá trị của các góc phẳng đối diện với chúng.

Các góc tam diện là một trong những dạng tương tự về mặt không gian của các hình tam giác (một dạng tương tự khác là terrahedra). Tư thế của các tam giác đa hình (trong trường hợp này, góc phẳng tương ứng với các cạnh của tam giác và góc nhị diện tương ứng với các góc của tam giác). Ví dụ, định lý nổi tiếng “mỗi góc của mặt phẳng nhỏ hơn tổng của hai góc còn lại” là một định lý tương tự của bất đẳng thức tam giác. Áp dụng định lý này cho góc tam giác SABC1 (Hình 4), chúng ta thu được một tính chất dương khác của góc tam giác: “tổng các góc phẳng nhỏ hơn 360°”.