Định lý cho phép giải tĩnh điện bài toán cơ bản

18

Một định lý cho phép giải các bài toán tĩnh điện cơ bản bài toán

Được biết, trường tĩnh điện thường được mô tả bằng các đường lực. Chúng ta hãy thử thiết lập mối liên hệ giữa số lượng đường sức $N$ và điện tích $q$, đã tạo ra trường tĩnh điện. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu khái niệm dòng trường tĩnh điện.

Dòng chảy của một trường tĩnh điện qua một bề mặt nhất định sẽ được gọi là tích $ES$, trong đó $S$ là diện tích bề mặt và $E$ là mô hình vectơ chỉ phương của trường tĩnh điện vuông góc với bề mặt này.*) (Khái niệm “dòng chảy” được đưa ra ở đây bằng cách tương tự với dòng chất lỏng chảy qua mặt cắt ngang của một đường ống có diện tích $S$ trên một đơn vị thời gian, như đã biết, là bằng $vS$ (“Vật lý 8”, § 65).)

Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất - một lần sạc chính xác. Hình ảnh các đường sức tạo bởi điểm dương phía sau điện tích $q$ được hiển thị trong Hình 1. Khoảng cách của một quả cầu có bán kính $r$, tâm của nó là chính điện tích $q$ và chúng ta xác định dòng chảy của trường tĩnh điện qua bề mặt của quả cầu này. Các đường sức từ điện tích vuông góc với bề mặt của quả cầu và tại mỗi điểm của quả cầu, chế độ cường độ trường bằng

$$E = \frac{q}{4\pi r^2\varepsilon_0},$$

(1)

trong đó $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ KJ}^2 / (\text{H} \cdot \text{m}^2)$ là hằng số tĩnh điện. Nhưng $4\pi r^2$ là diện tích bề mặt của hình cầu. Ký hiệu nó là $S$, ta có:

$$ES = \frac{q}{\varepsilon_0}.$$

(2)

Từ đó, rõ ràng rằng dòng chảy qua bề mặt quả cầu của trường tĩnh điện được tạo ra tại điểm tích điện không phụ thuộc vào bán kính của quả cầu mà chỉ phụ thuộc vào chính điện tích $q$. Do đó, nếu vẽ một loạt các quả cầu đồng tâm thì dòng điện trường qua các quả cầu này sẽ như nhau. Rõ ràng,

*) Nếu trường tĩnh điện không vuông góc với một bề mặt cho trước thì khi tính từ thông của trường tĩnh điện chỉ xét hình chiếu của vectơ phương pháp tuyến lên bề mặt đó.

1. Cường độ trường tĩnh điện bên trong dây dẫn là bao nhiêu?

Người ta biết rằng vật dẫn điện là một vật trong đó có các điện tích tự do. Những điện tích này thực sự có thể di chuyển tự do trong toàn bộ thể tích của dây dẫn. Sự biến đổi duy nhất cho chuyển động của họ là

19

bề mặt của dây dẫn mà bản thân chúng không thể rời khỏi.

Xét một dây dẫn cách điện được truyền một điện tích. Tất nhiên, một trường tĩnh điện được tạo ra xung quanh vật dẫn như vậy. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng không có trường tĩnh điện bên trong một dây dẫn tích điện, nghĩa là hướng của trường bằng không.

Như đã biết, trong một vật dẫn độc lập, điện tích âm của tất cả các electron hoàn toàn cân bằng với điện tích dương của tất cả các proton và tổng điện tích của chúng bằng không. Nhưng nếu dây dẫn bị tích điện thì sự cân bằng điện tích sẽ bị đảo lộn. Một dây dẫn tạo ra quá nhiều electron tự do nếu nó tích điện âm, hoặc thừa proton (thiếu electron) nếu nó tích điện dương. Trong trường hợp đầu tiên, đẩy nhau, các electron thừa sẽ di chuyển ra xa nhau đến những khoảng cách tối đa có thể, do đó chúng sẽ nằm trên bề mặt của dây dẫn (chúng không thể rời ra). Bên trong dây dẫn, sự cân bằng điện tích sẽ được khôi phục và ở đó tổng điện tích sẽ lại bằng 0.

Trong trường hợp thứ hai, ngược lại, một số electron từ bề mặt dây dẫn do lực hút về phía các điện tích dương sẽ lao vào bên trong dây dẫn và các điện tích dương dư sẽ được cân bằng. Tổng điện tích bên trong dây dẫn sẽ lại bằng 0 và điện tích dương dư sẽ tập trung trên bề mặt của nó.

Hóa ra là điện tích có dấu bất kỳ truyền cho vật dẫn đều nằm trên bề mặt của nó. Bên trong dây dẫn, tức là bên trong bề mặt kín, trong trường hợp này đóng vai trò là bề mặt của chính dây dẫn, điện tích bằng 0 ($q=0$). Nhưng từ định lý Gauss, nó suy ra rằng

$$E = \frac{q}{\varepsilon_0 S} = 0,$$

nghĩa là không có trường bên trong dây dẫn.

2. Các lực tác dụng lên bề mặt vật dẫn tích điện như thế nào?

Bất kỳ electron tự do nào nằm trên bề mặt của dây dẫn tích điện đều chịu tác dụng của lực từ các điện tích bề mặt còn lại (trong thể tích của dây dẫn, tổng điện tích dương và điện tích âm bằng 0). Có khả năng di chuyển tự do dọc theo bề mặt, bản thân các electron sẽ tự sắp xếp sao cho lực tác dụng lên mỗi hạt dọc theo bề mặt trở thành bằng không. Điều này có nghĩa là hình chiếu của hướng trường lên hướng tiếp tuyến với bề mặt dây dẫn tại bất kỳ điểm nào đều bằng không. Và điều này chỉ có thể thực hiện được với điều kiện các đường sức hướng vuông góc với bề mặt của dây dẫn tích điện (Hình 2).

3. Hướng của trường được tạo ra bởi mặt phẳng tích điện là gì?

Hình 3 cho thấy một phần bề mặt tích điện của mặt phẳng với mặt phẳng S, trên đó điện tích q xuất hiện.

Chúng ta biết rằng các đường sức tạo bởi mặt phẳng này luôn vuông góc với nó. Mô hình xác định chiều của điện trường là gì?

Chúng ta hãy bao quanh phần đã chọn của mặt phẳng có bề mặt kín mà qua đó các đường sức đi vuông góc với nó. Ví dụ, đối với mặt phẳng có bề mặt như vậy, một hình bình hành thẳng có các đáy song song với mặt phẳng được sử dụng. Các đường sức từ chỉ vuông góc với các đáy này, bốn mặt còn lại của hình bình hành song song với các mặt phẳng. Diện tích của các căn cứ chung là 2S.

Từ định lý Gauss suy ra rằng

$$E \cdot 2S = \frac{q}{\varepsilon_0},$$

từ đâu $E = \frac{q}{2\varepsilon_0 S}$.

Công thức này được đưa ra trong §45 “Vật lý 9” không có dẫn xuất. Từ công thức, rõ ràng là hướng của trường tại bất kỳ điểm nào không phụ thuộc vào khoảng cách đến mặt phẳng tích điện. Một trường như vậy được gọi là đồng nhất.