Теорема, позволяющая решать основные задачи электростатики

18

Teорема, позвольяющая решать основные задачи электростатики

Известно, что электростатическое поле часто изобразают при помощи силовых линий. Попытаемся установить связь между числом силовых линий $N$ и зарядом $q$, создавшим электростатическое поле. Для этого введем понятие потока электростатического поля.

Потоком электростатического поля через некоторую поверхность будем назвать произведение $ES$, где $S$ — площадь поверхности, а $E$ — модель вектора направления электростатического поля, перpendикулярного этой поверхности.*) (Понятие «поток» здесь введено по аналогии с потоком жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы площадью $S$ в единицу времени, который, как известно, равен $vS$ («Физика 8», § 65).)

Начнем с простейшего случая — одного точного заряда. Картина силовых линий поля, созданного положительным точчемзам зарядом $q$, изобразена на рисунке 1. Расстояние сферы радиуса $r$, центром которого служит сам заряд $q$, и определяем поток электростатического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии, выходящие из заряда, перpendикулярные поверхности сферы, и в каждой точке сферы моды напряженности поля равен

$$E = \frac{q}{4\pi r^2\varepsilon_0},$$

(1)

где $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ KJ}^2 / (\text{H} \cdot \text{m}^2)$ — электростатическая постоянная. Но $4\pi r^2$ — это площадь поверхности сферы. Обозначив ее через $S$, получим:

$$ES = \frac{q}{\varepsilon_0}.$$

(2)

Отсюда видно, что поток через поверхности сферы электростатического поля, созданного точчемзам зарядом, не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряд $q$. Поэтому, если проводится ряд концентрических сфера, то поток электростатического поля через эти сферы будет одинаковым. Очевидно,

*) Если электростатическое поле не перpendикулярно данной поверхности, при вычислении потока электростатического поля надо учитывать только проекцию вектора направления нормали к поверхности.

1. Чему равна напряженность электростатического поля внутри проводника?

Известно, что проводник — это такое тело, в котором имеется свободные заряды. Эти заряды действительно свободно могут перемещаться по всему объему проводника. Единственным превращением для их передвижения служит

19

поверхность проводника, которое они сами покинут не могут.

Рассмотрим изолированный проводник, который сообщен электрическим зарядом. Вокруг такого проводника, конечно, создается электростатическое поле. Докажем, что внутри заряженного проводника электростатическое поле отсутствует, то есть направность поля равна нулю.

Как известно, в независимом проводнике отрицательный заряд всех электронов точно сбалансирован положительным зарядом всех протонов, и их суммарный заряд равен нулю. Но если проводник заряжен, то баланс зарядов нарушается. В проводнике создается избыток свободных электронов, если он заряжен отрицательно, или избыток протонов (неодостаток электронов), если он заряжен положительно. В первом случае, взаимно отталкиваясь, избыточные электроны разойдутся друг от друга на максимальное возможные расстояния, вседствие чего они расположятся на поверхности проводника (которую покинут не могут). Внутри же проводника баланс зарядов восстановится, и там суммарный заряд сновастанет равным нулю.

Во втором случае, наоборот, часть электронов с поверхности проводника, вседствие сил притяжения к положительным зарядам, устремится внутри проводника и сбалансируется избыточные положительные заряды. Суммарный заряд внутри проводника сновастанет равным нулю, а избыточный положительный заряд сосредоточится на его поверхности.

Выходит, что заряд любого знака, сообщенный проводнику, располагается на его поверхности. Внутри же проводника, то есть внутри замкнутой поверхности, который в данном случае служит поверхности самого проводника, заряд равен нулю ($q=0$). Но тогда из теоремы Гаусса следует, что

$$E = \frac{q}{\varepsilon_0 S} = 0,$$

то есть внутри проводника поля нет.

2. Как направлены силы у поверхности заряженного проводника?

На любой свободный электрон, находящаяся на поверхности заряженного проводника, действуют силы со стороны остальных зарядов поверхности (в объеме проводника сумма положительных и отрицательных зарядов равна нулю). Имея возможность свободно перемещаться по поверхности, электроны сами расположятся так, чтобы результирующая сила, действующая на каждой из них вдоль поверхности, стала равной нулю. Это означает, что проекция направленности поля на направление касательной к поверхности проводника в любой ее точке равна нулю. А это возможно только при условии, что силовые линии поля направлены перpendикулярно поверхности заряженного проводника (рис. 2).

3. Как направлено поля, созданного заряженной плоскостью?

На рисунке 3 изображен участок заряженной поверхности плоскости с плоскостью S, на котором приходит заряд q.

Мы знаем, что силовые линии поля, созданного этой плоскостью, вседу перpendикулярны к ней. А чему равняется модель направления электрического поля?

Okружим выбранный участок плоскости замкнутой поверхности, через которой силовые линии проходят под прямым углом к ней. Для плоскости такой поверхности служит, например, прямой параллелепид с основаниями, параллельными плоскости. Силовые линии поля перpendикулярны только этим основаниям, остальные четыре грани параллелепида параллельными плоским лицам. Площадь общих оснований равна 2S.

Из теоремы Гаусса следует, что

$$E \cdot 2S = \frac{q}{\varepsilon_0},$$

откуда $E = \frac{q}{2\varepsilon_0 S}$.

Эта формула приведена в §45 «Физика 9» без вывода. Из формулы видно, что направленность поля в любой его точке не зависит от расстояния до заряженной плоскости. Такое поле называют однородным.