Задачи М896—М900; Ф908—Ф912

32

Задчи

М896 — М900; Ф908 — Ф912
М896. Про выпуклей четырехугольник ABCD известно, что окружность с diamетром AB касается прямой CD. Доказите, что окружность с diamетром CD касается прямой AB тогда и только тогда, когда прямые BC и AD параллельны.

М897. Найдите хотя бы одну пару целых чисел (x, y) такую, что число $(x+y)^7-x^7-y^7$ делится на 7, а число $(x+y)xy$ не делится на 7.

М898*. Для нечетных натуральных чисел $a<b<c<d$ выполнены условия: $ad=bc; a+d=2^k$ и $b+c=2^m$, где $k$ и $m$ — неоторные натуральные числа. Доказите, что a) $a=1$; b) для каждой $m \geqslant 3$ существует, причем только один, набор чисел $a, b, c, d, k$, удовлетворяющий этим условиям.

М899. Наозовем окружением нецелого числа $x$ замену его на одно из двух ближайших целых чисел ([x] или [x]+1).
a) Доказите, что в любом равенстве $x_1+x_2+\ldots+x_m=y_1+y_2+\ldots+y_n$ все нецелые слагаемые можно округлить так, что равенство останется верным.
b) В таблицу из $m$ строк и $n$ строкцов записаны неоторные числа, причем суммы их по строкам $a_1, a_2, \ldots, a_m$ и по строкам $b_1, b_2, \ldots, b_n$ — целые числа. Доказите, что все нецелые числа в таблице можно округлить так, что суммы по строкам и строкам будут округленем соответствующих сумм $a_1, a_2, \ldots, a_m, b_1, b_2, \ldots, b_n$.

А. П. Савин

М900. Можно ли проекция на плоскость выпуклого многогранника с 6 гранями быть a) 8-угольником? b) 9-угольником?
b)* Какое наиболее число сторона может иметь проекция выпуклого многогранника с $n$ гранями?
M. Д. Ковалев

Ф908. Самолеты летят по одной прямой навстречу друг другу с одинаковой скоростью $v$. Предельная дальность обнаружения — $l$. Один самолет после

33

обнаружения другого совершает разворот, не меняя значения скорости, и летит паралельно второму самолету, который продолжает лететь со скоростью $\vec{v}$. Потеряют ли самолеты друг друга из виду после разворота, если ускорение при повороте равно $a$? Спустя какое время после обнаружения надо начинать разворот, чтобы в конце разворота расстояние между самолетами оказалось наименьшим?

И. И. Воробьев

Ф909. На невесомой горке, образованной двумя гладкими плоскостями, каждая из которых составляет угол $\alpha$ с горизонтальной плоскостью (рис. 1), находятся два шарика. Горка может без трения скольить по горизонтальной плоскости. Верхний шарик, масса которого $m_1$, отpusходит. При каком условиях нижний шарик, масса которого $m_2$, начинает после этого «забираться» на горку?

А. И. Буздин

Ф910. На цилиндр радиуса $R$ одeto равномерно растянутое резиновое колюто массы $m$. Длина колюца в нерастранутом состоянии равна $lR$, жесткость резинки — $k$. Цилиндр начинают раскручивать с постоянным угловым ускорением $\beta$. Через какое время колюто начинает просkalывать относительно цилиндра, если коэффициент трения колюца о цилиндр равен $\mu$? Чему будет равна при этом угловая скорость колюца?

А. А. Лапидес

Ф911. На рисунке 2 приведен график изменения давления пороховых газов в столье ружья по мере продвижения пули в столье. Определите скорость сторания пороха (в кг/c) при давлении $p_{\text{max}}$, если скорость пули в этот момент равна $v$. Площадь поперечного сечения стова равна $s$. Температуру пороховых газов считать постоянной. Известно, что пороховые газы, образующие при сторании массы пороха $M$, в объеме $V_0$ создают давление $p_0$.

Л. Г. Маркович

Ф912. В катушке из сверхпроводшего провода создают постоянный ток, подключив ее к источнику тока через ключ $K_1$ (рис. 3). После этого к концам катушки подключают батарею из двух одинаковых конденсаторов, включенных паралельно. Ключ $K_1$ размыкают, после чего ток начинает чече конденсаторов, заряжая их. В момент времени, когда напряжение на конденсаторов максимально, а ток равен нулю, двойной ключ $K_2$ перебрасывают из положения 1 в положение 2, так что конденсаторы оказываются включенными последовательно, а напряжение на катушке удваивается. Поскольку индикативность катушки не изменилась, а напряжение возросло, максимальный ток через катушку, а значит, и запасенная энергия будет больше первогоравнальных. Найдите ошибку в приведенных рассуждениях.

Д. В. Павлов