XXV Международная математическая олимпиада

44

XXV
Международная математическая олимпида

Кандидат физико-mатематических наук
А. П. САВИН

Юбилейная XXV Международная математическая олимпида проходила с 29 июня по 10 июля в столице ЧССР г. Праге. Она собрала рекомендации большая интеграция выставка материалов вnekлассной работы из многих стран. Большим успехом пользовался стенд СССР, на котором шрифто был представлен журнал «Квант», а также библиотека «Квант».

По завершении симплозума жюри, состоящее из научных руководителей команда, присутствило к использованию прямых обязательностей — отбору задачи для совершенствования. Эта работа очень трудна, поскольку нужно учеть различный уровень подготовки у школьников из развития страны и из молодых стран Азии, Африки и Латинской Америки. При этом надо обрабатывать и очень сложные задачи, чтобы можно было выявить победители.

Жюри, возглавляемое профессором Ф. Зитеком, отлично справилось со своим обязанностями. Об этом можно судить как по результатам олимпиды, так и по результатам опроса, проведенного корреспондентом журнала «Квант»: каждому члену жюри было предложено расположить отображенные задачи в порядке возрастания трудности. Хотя меняния отдельных членов жюри сильно расходились, успешный порядок задачи по их трудности совпал с порядком, полученным из анализа работ участников.

Каждую задачу было решено очень быстро и по установившейся традиции проведения соревнования в два дня, предлагая в каждой из дней по 3 задачи на 4,55 часа работы. Таким образом, максимальная сумма очков, которую мог набрать участник, составила 42 очка, как и было в последние 5 лет.

Задачи, по которым проводились соревнования, были таковы.

Первый день
1 (ФРГ). Пусть x, y, z — неотрицательные действительные числа, что x+y+z=1. Докажите, что
$$0 \leq xy+yz+xz-2xyz \leq \frac{7}{27}.$$

2 (Нидерланды). Укажите какую-либо пару натуральных чисел (a, b) такую, что:

1. число ab (a+b) не делится на 7,
2. $(a+b)^7-a^7-b^7$ делится на $7^7$.
   Ответ обосновать.

45

Слева направо: Ф. Назаров, Л. Оридороза, С. Струков, К. Игнатцев, А. Астрелин, Е. Абакумов, педагогический руководитель команды Т. А. Сарычева, научный руководитель команды А. А. Фомин, корреспондент журнала «Квант» А. П. Савин.

3 (СРР). На плоскости даны две различные точки O и A. Для каждой точки X этой плоскости, отличной от точки O, обозначаем через a(X) величины угла AOX, выраженную в радианах (0≤a(x)<2π), где угол a(x) отсчитывается против часовой стрелки от луца OA, а через C(X) — окружность с центром O и радиусом OX+a(X)/OX.

Пусть задан конечный набор цветов, и каждая точка плоскости окружена в один из них. Докажите, что существует точка Y такая, что a(Y)>0 и на окружности C(Y) имеется хотя бы одна точка того же цвета, что и точка Y.

Второй день

4 (СРР). Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD прямая CD касается окружности с диаметром AB. Докажите, что прямая AB касается окружности с диаметром CD тогда и только тогда, когда прямые BC и AD параллельны.

5 (МНР). Пусть d — сумма длины диагоналей, а p — перimeter плоского выпуклого n-угольника (n>3). Докажите, что

$$n-3 < \frac{2d}{p} < \left[ \frac{n}{2} \right] \left[ \frac{n+1}{2} \right] - 2$$

([x] — целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превышает x).

6 (ПНР). Пусть a, b, c, d — нечетные целые числа, удовлетворяющие следующим условиям:

1. 0<a<b<c<d;
2. ad=bc;
3. a+d=2^k, b+c=2^m для некоторых целых чисел k и m. Докажите, что a=1.

(В скобках после номера задачи указана страна, предложившая эту задачу.)

Олимпида ознакомлен крупным успехом команды СССР и команд других социалистических стран. Наша команда набрала 235 очков из 252 возможных, на втором месте команда Болгарии (203 очка), на третьем — Румынии (199), четвертое и пятое места