Сколько площадей у многоугольника?

Квант 1984, №12 с. 9-12 Тег PFCS

Кандидат физико-mатематических наук
А. Л. ТООМ

В этой статье не изладается общая теория площадей, а просто рассказывается о различных подходах к определению площади многоугольника. В первой части речь идет о совсем простом (но для многих — совершению неожиданным!) вопросе: корректно ли обученное определение площади треугольника и выпуклого многоугольника? Во второй части обсуждается понятие площади «саморесексациях» многоугольников; оно оказывается связанным с двумя совсем разными физическими вопросами.

Площади треугольника и выпуклого многоугольника

Все знают, что площадные площади равна половине произведения длин основания на высоту. Но у треугольника любу это сторону можно принять за основание. Так, треугольник, изображенный на рисунке 1, имеет три площади:

$S_1 = \frac{1}{2} ah_a, \quad S_2 = \frac{1}{2} bh_b, \quad S_3 = \frac{1}{2} ch_c,$

где $h_a, h_b, h_c$ — длины высот, опущенных на стороны с длинами $a, b, c$ соответственно. Вы скажете, что $S_1 = S_2 = S_3$ ? Да, это верно. А почему? Потому что и то и другие и третье — площадные треугольника? Вот этот довод никака не годится. Отто что мы даем одно и то же название «площадь» каким-то треем величины, они не обязательны стать равными. Наоборот, потому мы и можем называть все три написанные величины одним и тем же именем «площадь», что они равны. А что они равны — это надо доказать.

Задача 1. Докажите, что для любого треугольника

$ah_a = bh_b = ch_c.$

Задача 2. Профессор Honсенс предложил рассматривать новую величины — «бульвар» треугольника, равный сумме длиен его основания и высоты, опущенной на это основание. Согласно этому предложению, должны иметь место равенства (см. рис. 1)

$a + h_a = b + h_b = c + h_c.$

Так ли это? Годится ли предложение профессора Honсенса? (Ответ надо обосновать.)

Две приведенные задачи иллюстрируют важное математическое понятие корректности определения. Нередко привчка заменяет понятие и доказательство, и мы наивно думаем, что смысл каждого слова всегда один и тот же. Однако в математике все должны быть строго обосновано, и если результаты двух разных вычислений называются одинаково, то из этого еще не следует, что они равны. Наоборот, надо доказать, что они всегда будут равны, чтобы иметь право одинаково их назвать. Говорят, что определение, формулировка которого допускает несколько различных путей вычисления или построения, корректно, если все эти пути приводят к одинаковому результату. Так, первое определение (площади треугольника) оказывается корректным, а второе («бульвар» профессора Honсенса) — не корректным. Обратите внимание: корректность определения нам пришлось доказать. Это необходимо делать во всех случаях, когда в самом определении имеется неокоторый произволь — неоднозначное построение, свобода выбора какого-то элемента и т.п.

Рассмотрим другой пример. В школь-

ном учебнике девятого класса величины двугранного угла определяется как величина его линейного угла (угол PAQ на рисунке 2). Но линейный угол можно отложить от произвольной точки A на ребре AA’ двугранного угла, рассмотреть, например, угол P’A’Q’. Почему получится та же величина?

Задача 3. Докажите корректность определения двугранного угла.

Задача 4. Вспомните определение угла между скрещивающимся прямыми. В чем произволь в этом определении? Докажите его корректность.

Поговорим теперь о площади четырехугольника. Если это не есть какой-нибудь особенный четырехугольник, например трапеця, то общий рецепт вычисления его площади таков: разрезать четырехугольник по диагонали на два треугольника и взять сумму их площадей. Но ведь выпуклый четырехугольник можно разрезать по диагонали двумя разными способами. Что, если в одном случае получится одно, а в другом — другое? А для многоугольника с большим числом сторон способов разрезания на треугольники еще больше. На каком основании мы уверены (если уверены), что при всех этих разрезаниях сумма площадей получившихся кусков будет одна и та же? Из практики? Но все практические изменения обеспечивают точность лишь с каким-то числом знаков. Показала же теория относительнойности, что общая формула сложения скоростей верна лишь приблизительно, и лишь для скоростей, существенно меньших скоростей света! Может быть, и традиционные представления о площади многоугольников верны лишь приблизительно? Вот, например, чертеж, заимствованный нами из брошюры Я. С. Дубнова*).

Здесть квадрат со стороны 21 см разрезается на части, из которых, как показывает рисунок 3, вроде бы удается сложить прямой угольник со стороны 34 см и 13 см.

Поскольку
$21^2=441\neq 442=34\cdot 13,$
плошадь фигуры меняется от перестановки ее части. А почему бы, собственно, и нет?

Задача 5. Разберитесь, в чем дело на рисунке 3.

Задача 6. Докажите, что, если многоугольник двугранным способами разрезан на треугольник,

*) Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказательствах. М., Гостехидат, 1953, с. 10.

Площади самопересекающих многоугольников

Мы обсуждали корректность школьного определения площади многоугольника и треугольника — их внутреннюю непротиворечность. Но к определению в математике предъявляются не только формульное требование корректности. Определение должно еще «работать». Поясним это на следующем примере, тоже связанном с площадью многоугольника.

Можно ли, и если можно, то как разумно и естественно определить площади самопересекающих многоугольников? Какова, например, площадь пятоконечной звезды (рис. 4)?

Говоря формульно, есть очень много корректных способов приписать каждому самопересекающейемся многоугольнику какое-нибудь число и назвать это число его площадью. Но далеко не каждый такой способ заслуживает чтобы он нем говорить. Вообще, определения в математике формируется относительно не беспринчно, не «с потолка». Во многих (а, может быть, в конечном смете и во всех) случаях математические определения

ления бывают входовлены естественноным. Вспомним, где в физике фирирует площад многоугольника. Вот два случая, которые пришли мне на ум.

В электронномнике важным понятием является поток магнитной индукции (магнитный поток) Ф сквозь участок поверхности, ограниченной проводящим контуром. Пусть контур лежит в плоскости, а вектор $\vec{B}$ магнитной индукции одинаково во всех точках пространства и перепределкульярен плоскости контура. Тогда

$\Phi = BS,$

(1)

где $S$ — площадь фигуры, ограниченной контуром. С физической точки зрения волне уместен вопрос о том, чем равен магнитный поток Ф, если контур имеет вид самопересекающегося многоугольника.

В самом деле, расположим изолированный провод в форме самопересекающегося многоугольника в плоскости, перепределкульяной вектор $\vec{B}$ магнитной индукции одинаково поля (рис. 5), и концы провода присоединим к амператру. Что показет амператр, если начать «шевелить» этот провод? Ведь что-то он показет! Например, отклонится ли стрелка амператра при передвижении треугольника $MNA$ в положение $M'N'A$ ? Положить заштрихованной части не изменяется. Однако провод $MN$ в своем движении пересекает магнитные силовые линии и поэтому возникает ЭДС индукции. Должен потечть ток. И он действительное течение!

Значит, магнитный поток Ф меняется. Поскольку мы хотим, чтобы формула $\Phi = BS$ имела место, то и $S$ должны меняться (в отличие от заштрихованной площади). Так что же такое $S$ — «площадь самопересекающегося многоугольника»?

Легко понять, что в качестве $S$ здесь не годится сумма общих площад ограниченных частей плоскости (заштрихованных на рисунке 5). Как же определять $S$ в общей случае?

В термодинамике работа, которую совершает рабочое тело в произвольном замкнутом процессе, изменяется площадю, ограниченной линейей, изобразяющий этот процесс на $(p-V)$ -диаграмме $(p - \text{dавление}, V - \text{объем})$ . Естественно считать, что это верно и для процесса, изобразяемого на $(p-V)$ -диаграмме самопересекающегося ломаной.

В обихих приведенных физических примерах у нас возникла потребность указывать площад самопересекающих плоских многоугольников. Заметательно то, что в обихих случаях возникнет одно и то же понятие площад, несмотря на то, что примеры эти взяты из различных областей физики. И это понятие площад уже разработано математиками. Оно описано, например, в статье Н. Вагутена*). В ней дается несколько определений этого понятия, эквивалентных между собой; мы останавлиемся на следующем.

Выберем направление обхода нашего многоугольника и обозначим его вершины в том порядке, в каком мы его обходим: $A_1, A_2, ..., A_n$ . Отметим на плоскости произвольную точку $P$ , не лежащую на контуре многоугольника. Будем обходить многоугольник по его контуру: подdem по $A_1A_2$ , потом по $A_2A_3$ и так далее, и вернемся в точку $A_1$ . При этом радиус-вектор, начинающийся в точке $P$ и кончающийся в той точке, где мы находимся, будетвертаться то в плоскительной направлении (то есть против часовой стрелки), то в отрицательном. В конечном случае он поверхности на угол $360^\circ \cdot n$ , где $n$ — целое число, показывающее, сколько раз мы обходим вокруг точки $P$ , или по пути $A_1, A_2, ..., A_n, A_1$ . Так, если точку $P$ взяты в центре пятки конечной звезды (см. рис. 4), то мы получим $n=2$ .

Наш многоугольник делит плоскость на области: одну бесконечную и несколько конечных. Число $n$ постояно в каждой области, причем в бесконечную

ной области $n=0$ (на рисунке 6, а, б расставлены значения $n$ во всех конечных области). Так вот, назовем ориентированной площадью нашего многоугольника сумму

$S_1n_1 + S_2n_2 + \dots + S_kn_k,$

Интересно, что определение, выработанное из чисто математических сообщений, оказалось в согласии с двумя современно различными физическими законами. Подобное не раз проискдило в истории науки, и об этом еще будет написано в «Кванте».

Электрическое сопротивление — квантовое явление

(Начало см. на с. 2)

Выражая часть у из формулы (**) и подставляя ее в выражение для дебаевской температуры — $\theta = \frac{hv}{k}$ , — получим, что

$\theta = \frac{hc}{k} \sqrt[3]{\frac{n}{4\pi}}.$

Итак, мы получили связь между дебаевской температурой $\theta$ и скоростью звука в твердом теле $c$ . С помощью этой формулы и графика, представленного на рисунке 8 (см. с. 8) можно решать задачи, которые мы вам предложим. Они просты и не требуют особой смекалки, но интересны и почительны в двух отношениях. Во-первых, вы убедитесь в существовании неожиданной связи между такимими разными вещеми, как скорость звука и зависимости электрического сопротивления от температуры. Во-вторых, вы познакомитесь с обобщенными кривыми, очень полезными во многих случаях, когда не удается воспользоваться формулами теории. Зависимость $R=f(T)$ у каждой металла свон, но раз их удадость совместить на обобщенной кривой (см. рисунок 8), значит, эти зависимости и выражение их кривые подобны. Подобное имеет здесь более широкий смысл, чем в школьной геометрии: оно означает, что кривые могут быть совмещены путем независимо изменения масштабов по двум осям координат.

А теперь попробуйте решить следующие задачи:

Скорость звука в железе равна 5200 м/с, уделенное сопротивление при минус 100 °C равно 0,592 Ом·мм²/м. Найдите уделенное сопротивление железа при температуре +200 °C.
Пользуясь зависимости сопротивления меди от температуры (см. рисунок 1 на с. 3), определите скорость звука в меди.