Решения задач М881—М883; Ф890, Ф892, Ф893

36

Решения задач

M881. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трех вершин равноведренной трапецii больше расстояния от этой точки до четырёх вершин.

Рис. 1.

Рис. 2.

M882. Сумма трех целых чисел a, b и c равна 0. Докажите, что число $2a^4 + 2b^4 + 2c^4$ — квадрат целого числа.

M883. В какое наименьшее число цветов нужно раскрасть клетки бесконечного листа клетчатой бумаги, чтобы a) любые две клетки на расстоянии б были покрыты в разные цвета? (Расстояние между клетками — наименьшее число линей сетки, горизонтальных и вертикальных, которые должны пересечь ладья на пути из одной клетки в другой.) b) любые четыре клетки, образующие фигуру в форме буквы Γ (рис. 1), были покрыты в четыре разных цвета?

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Пусть, для определения, $MA$ — наиболее из расстояний от точки $M$ до вершин равноведренной трапецii $ABCD$ (рис. 1). По неравенству треугольника $MA \leq AC + MC$ и $BD \leq MB + MD$, причем для любой точки $M$ плоскости хотя бы одно из этих неравенств строое. Складывая неравенства и учитьая, что $AC = BD$, получаем $MA \leq MB + MC + MD$.

Это решение имеет красную геометрическую интерпретацию: прикладывая друг к другу треугольники $AMC$ и $BMD$ так, чтобы их равные стороны $AC$ и $BD$ совместились, мы получаем четырехугольник (рис. 2); утверждение задачи совпится к тому, что каждая его сторона меньше остальных (это утверждение выполняется и в тех случаях, когда один или оба треугольника $AMC$, $BMD$ вырождаются в отрезки).

С. Е. Рукин

◆ Пользовать условием $a + b + c = 0$, получаем, что $a^4 + b^4 + c^4 = a^2(b + c)^2 + b^2(c + a)^2 + c^2(a + b)^2 = 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) + 2abc(a + b + c) = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - a^4 - b^4 - c^4$, откуда $2a^4 + 2b^4 + 2c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2$.

Л. Д. Курляндчик, С. В. Фомин

◆ a) Ответ: в 4 цвета. Пример раскраски клетчатой плоскости в 4 цвета, при которой любые две клетки на расстоянии б оказываны в разные цвета, представлен на рисунке 2.

Чтобы доказать, что меньше числом цветов обойтись нельзя, достаточно рассмотреть 4 клетки, показанные на рисунке 3. Любые две из них расположены на расстоянии б друг от друга и, следовательно, все они должны оказаться в разные цвета.

б) Ответ: в 8 цветов. Схема доказательства повторяет пункт a): надо привести пример 8-цвета

*) Решение задачи Ф891 см. в замете «Электроемкость — свойство проводника» на с. 40.

37

ной раскраски (он показан на рисунке 4) и объяснить, почему семи цветов недостаточно.

Рассмотрим 7-клеточную фигуру на рисунке 5,a. Любые две ее клетки можно покрыть одной «буквой Γ» из четырех клеток, поэтому все ее клетки должны быть разноцветными. Следовательно, в фигуре на рисунке 5,6 клетки, отмеченные звездочками, при 7-цветной раскраске должны быть одного цвета (потому что остальные ее 6 клеток нужно покранить в 6 разных цветов). Тогда, оченьindo, в любой бесконечной решетке с шагом в 3 клетки (рис. 6) все клетки должны быть окрашены одним цветом, а остальные клетки плоскости — другими цветами. Но в таком случае потребуется уже не 7, а 9 цветов (по числу таких решеток, покрывающих плоскость).

А. Г. Печковский, И. В. Итенберг

Ф890. Кристаллы железа при температуре до 910 °C состоит из элематриных ячеек, имеющих форму куба с длиной ребра $a_1=2,87 \cdot 10^{-10}$ м. Ячейка железа располагаются в вершинах куба и в его центре (рис. 1). Такая разновидность элемента — с объемочетрированной кубической решеткой — называется альфа-железом ($Fe_a$). При температуре выше 910 °C ячейки кристалла железа представляют собой граничентрированный куб с длиной ребра $a_2=3,63 \cdot 10^{-10}$ м. Ячейка располагаются в вершинах куба и в центрах его граней (рис. 2). Такая разновидность элемента называется gamma-железом ($Fe_\gamma$). Однакокова ли плотность железа в этих состояниях? Относительная atomная масса железа $μ=55,847$.

Определим сначала, сколько atoms элемента прихождения на каждую ячейку-куб. Если мысленно вырезать один элементарный кубик, то в каждой его вершине будет по 1/8 atoms (каждая вершина — общая для 8 кубков). Таких вершин 8. Следовательно, на ячейку-куб $Fe_a$ прихождения $\frac{1}{8} \cdot 8+1=2$ atoms (с учетом центрального atoms).

На элементарную ячейку $Fe_\gamma$ прихождения $\frac{1}{8} \cdot 8+\frac{1}{2} \cdot 6=4$ atoms, так как на каждую прихождения по $\frac{1}{2}$ atoms, а граней — 6.

На ячейку альфа-железа прихождения объем $V_a=(2,87 \cdot 10^{-10})^3 \text{ m}^3 \approx 23,64 \cdot 10^{-30} \text{ m}^3,$ на ячейку gamma-железа — $V_\gamma=(3,63 \cdot 10^{-10})^3 \text{ m}^3 \approx 47,83 \cdot 10^{-30} \text{ m}^3.$

Масса одного atoms железа—

Рис. 1. Рис. 2.

38

$$m = \frac{55,847 \cdot 10^{-3}}{6,02 \cdot 10^{23}} \text{ кг} \approx 9,28 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$$

(6,02·10²³ моль⁻¹ — постоянная Авогадро). Таким образом, плотности Fe₄ и Fe₇ равны, соответственно,

$$\varrho_a = \frac{2m}{V_a} \approx \frac{2 \cdot 9,28 \cdot 10^{-26}}{23,64 \cdot 10^{-30}} \text{ кг/м}^3 \approx 7850 \text{ кг/м}^3,$$

$$\varrho_\gamma = \frac{4m}{V_\gamma} \approx \frac{4 \cdot 9,28 \cdot 10^{-26}}{47,83 \cdot 10^{-30}} \text{ кг/м}^3 \approx 7760 \text{ кг/м}^3,$$

и $\varrho_a > \varrho_\gamma$.

И. М. Низамов

Ф892. На стеклянный шарик радиуса R падает луч света, направленный вдоль радиуса. На расстоянии r от центра шарика свет рассеивает равномерно по всем направлениям на маленьком воздушном пузырьке, образовавшем при изготовлении шарика. Определить зависимость доли выходящого из шарика света от r. Показатель преломления стека n. Потерями света в стекле пренебречь.

Рис. 1.

Рис. 2.

В результате рассеяния на пузырьке луч отклоняется на угол β от своего начального направления и падает на границу раздела стекло — воздух под углом α (рис. 1). Если при этом оказывается, что $\sin \alpha > \frac{1}{n}$, то на границе проискодит полное внутреннее отражение. Второй раз луч упадет на границу стекло — воздух снова под углом α, снова проискодет полное внутреннее отражение, и т. д. Таким образом, луч, испытавшие после рассеяния полное внутреннее отражение на границе стекло — воздух не выйдет из шарика. Найдем, при каких значениях угла отклонения β это проискодит.

Согласно теореме синусов (см. рис. 1),

$$\frac{r}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin \beta}.$$

Подставляя sin α, находим:

$$\beta_1 = \arcsin \left( \frac{R}{rn} \right),$$

(1)

$$\beta_2 = \pi - \arcsin \left( \frac{R}{rn} \right).$$

Полное внутреннее отражение испытавшего все луч, отклоняющегося при рассеянии на углы β, удовлетворяющие условиям

$$\beta_1 < \beta < \beta_2.$$

Все остальные луч после рассеяния выходит из шарика.

Так как луч рассеяются на пузырьке равномерно по всем направлениям, доля η света, выходящого из шарика, равна отношению площадей двух сферических сегментов (на рисунке 2 они заштрихованы) к полной площади сферы проискодного радиуса, центр которого совпадает с центром пузырька:

$$\eta = \frac{2 \cdot 2 \pi \rho h}{4 \pi \varrho^2} = \frac{h}{\varrho}.$$

Как видно из рисунка 2,

$$h = \varrho (1 - \cos \beta) = \varrho (1 - \sqrt{1 - \sin^2 \beta}) = \varrho \left(1 - \sqrt{1 - \left(\frac{R}{rn}\right)^2}\right).$$

Таким образом,

$$\eta = 1 - \sqrt{1 - \frac{1}{r^2} \left(\frac{R}{rn}\right)^2}.$$

39

При $r < \frac{R}{n}$ выражения (1) — (3) теряют смысл — в этом случае ни один из лучей, рассеяных пузьрьком, не испытывает полного внутреннего отражения, и весь свет выходит из шарика.

А. А. ЛанUDEC

В начальной момент времени вектор $\vec{v}$ скорости шара направлен вертикально. Поскольку скорость ветра вблизи поверхности Земли равну нулю, скорость шара при малых высотах подьема (и при малых $\alpha(t)$) постоянна и равна $\vec{v}$. Следовательно, при малых $\alpha$ зависит $\alpha(t)$ определяется соответствием

$$\text{tg} \alpha(t) \approx \alpha(t) \approx \frac{v t}{L}.$$

Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ угол возвывания изменяется на $\Delta \alpha$. Из (1) следует, что $\Delta \alpha/\Delta t = v/L$, откуда

$$v = L \frac{\Delta \alpha}{\Delta t}.$$

Отношение $\Delta \alpha/\Delta t$ может быть найдено по графику зависимости $\alpha(t)$. Она определяется наклоном касательной к кривой $\alpha(t)$ в точке $\alpha=0$ (см. рис. 1). Выразив $\alpha$ в радианах, найдем из графика значение $\Delta \alpha/\Delta t$ и, подставив его в (2), найдем скорость шаразонда при малых $\alpha$:

$$v = 10^3 \frac{50 \cdot 2\pi}{360 \cdot 3 \cdot 60} \text{ m/c} \approx 4,85 \text{ m/c}.$$

(Точность определения $v$ зависит от точности построения касательной. Для данного на рисунке 1 масштаба значения $v$ лежат в пределах $4,8 \div 5,0 \text{ m/c.})$

За время $t_1=7$ мин=420 с шар поднимается на высоту

$$h = v t_1 \approx 2000 \text{ m}.$$

Как видно из рисунка 1, в этот момент $\alpha(t)$ достигает максимального значения. Это означает, что на высоте $h$ вектор скорости шара направлен вдоль луча зреня, проведенного из точки наблюдания. Следовательно, угол наклона вектора $\vec{v}_h$ к горизонту равен $\alpha(t_1)=60^\circ$. Вертикальная проекция $\vec{v}_h$ равна $v=4,85 \text{ m/c}$, а горизональная — это скорость $u_h$ ветра на высоте $h$. Значит,

$$u_h = v \text{ ctg} 60^\circ \approx \frac{4,85}{\sqrt{3}} \text{ m/c} \approx 2,8 \text{ m/c}.$$

В. В. Можаев