Электрическое сопротивление — квантовое явление

2

Мы публикуем статью крупного советского физика иlectrischeго популяrizатора науки Д. А. Франк-Каменецкого (1910—1970). Эта статья, впервые опубликованная в 1970 году в «Кванте» № 9, не потеряла своей актуальность и, несомненно, будет интересна и полезна сегодня читателю.
(Печатается с небольшими сокращениями.)

Классическая теория

В современной физике классические называются теории, созданные классиками науки прошлых веков, до возникновения квантовой физики и теории относительной части. Чаще всего слово «классический» физики употребляют как противоположное слово «квантовый».

Классическая теория отличается тем, что в ней не участвует квант. Такие теории очень просты, современному физiku они какуется несколько наивными. Они часто приносят большую полезу, но, как правило, решают вопрос не до конца. В классической теории для современного физика всегда чего-то не хватает.

В многих книгах, в том числе и в учебниках (и даже очень хорошо), пишется, что электрическое сопротивление металла проискодит от стольновения электронов, переносящих ток, с атомами*) кристаллический решетки. Правильно ли такое понимание сопротивления?

Лучше всего не говорить ни «да», ни «нет», а сказать, что оно выражает классический теorio электрического сопротивления. К ней относится все, что мы только что говорили о классических теориях вообще. Но в данном случае классическая теория оказывается совсем слабой: она не может обьясить многих самых основных особенностей электрического сопротивления.

В классической теории безусловно верно одно: сопротивление проискодит оттого, что электроны передают часть своей энергии и импульса (количество движения) кристаллической решетке. Но каким именно образом проискодит эта передача — вопрос совсем не простой и очень интересный.

*) Точнее было бы сказать — с понами, но это здесь для нас не существует.

3

Температурная зависимость

Сопротивление чистых металлов сильно возрастает с температурой. Для многих из них оно примерно пропорционально абсолотной температуре. При низких темперарах такая простая зависимость нарушается. Это хорошо видно на рисунке 1, где показано, как меняется с температурой удельное сопротивление меди — самого употребительного проводника электрического тока. Как видно из рисунка, в области высоких температур зависимости хорошего представляется прямой линейной. Но если эту прямую продолжить в сторону низких температур (на рисунке показано пунктиром), она уходит не в абсолотный нуль, а в несколько более высокую температуре — для меди около 60 К. На самом деле при низких темперарах зависимости становится более сложной: сопротивление меняется пропорционально пятой степени температуры. При приближении к абсолотному нуль сопротивление чистых металлов становится очень малим. Есть группа металлов, у которых сопротивлениесовсем исчезает при температуре на несколько градусов выше абсолотного нуль. Это явления, называемого сверхпроводимостью, мы сейчас касаться не будем. Достаточно много интересного можно сказать и о более простых вещех.

Если объяснить электрическое сопротивление стольновениями электров сатомами, то температура зависимость сопротивления чистых металлов остается совершенной непонятной. Ведь дело обстоит так, как если бы электроны сталькиались только сатомами, совершшими тепловое движение, но свободно прополетами mismo неподвижных. Иnorда так и говорят (как будто электрону легче попасть в движущийся atom), но это ошибка. Это все равно что считать, будто, стрелля не целясь, легче попасть в качающийся магнит, чем в неподвижный. Итак, классическая теория не способна объяснить зависимость сопротивления от температуры.

Остаточно сопротивление

Когда изменяют сопротивление чистых металлов при очень низких темперарах, то обнаруживается замечательная веще. Продолжая кривую рисунка 1 к абсолотному нулю, получают сопротивление, которое должно быть остаться, если бы можно было на опите достичь абсолотного нуля. Его так и называют остаточный сопротивлением. Оказывается, что оно сильно меняется от образца к образцу. Ostаточно сопротивление крайне чувствительно к низжным примесям, к механической и термической обработке. Тщательно очищая металл, образытая его так, чтобы добиться безупречного кристаллического строения, можно уменьшить остаточно сопротивление, и нет предела этому уменшению. Итак, опыт наталкивает на удивительный вывод: идеальный кристалл при температуре абсолотного нуля не должен иметь электрического сопротивления. Инными словами: электрическое сопротивление чистых металлов происходит только от нарушений кристаллического строения, которые вызывают тепловым движением, примесями и дефектами (неправильности) кристаллического решения.

Атомные коридоры

Если бы электроны двигались по законам классической механики, они должны быть сталькиться с атомами неависимо от того, расположены ли atoms в стором порядке или нет. Конецно, между правильными рядами atoms есть своего рода коридоры (рисунок 2), но чтобы направить электрон по такому коридору, требовалась бы точная ориентировка кристалла по отношению к приложенном электрическому напряжению. А ведь обычно мы имеем дело не с одним кристаллом, а с сочетанием множества мелких кристаллов, ориентированных случайным образом. Одиночный правильный крип

4

Рис. 2. Движение электронов и распространение электронных волн в правильном (идеальном) кристалле.

сталл называют монокристаллом (от греческого слова «моно» — один), а сочетание многих кристаллов — поликристаллическим агрегатом (от греческого «поли» — много). Так вот, точные измерения показали, что сопротивление поликристаллических агрегатов сильно уменьшается с понжением температуры. Это никак нельзя объяснить движением электрона по atomным коридорам по законам классической механики. При переходе из одного кристалла в другой atomный коридор резко меняет свое направление (рисунок 3). Электрон должен быть с разлету стукнутся о «стенку». А он способно шестистуvet по atomному лабиринту, подобно Тезею, которое указывала направление нить Аридны. Что же это за чертовщина и как это объяснить?

Чудеса без учедес

Давно известны еще более удивительные факты. Механическая и термическая обработка заметно влияют на электронное сопротивление металлов. Воспользовемся для удобства применения в технике единней удельного сопротивления Ом·мм²/м=10⁻⁴ Ом·см=10⁻⁶ Ом·м. В этих единицах удельное сопротивление общей технической меди при 20 °C выражается числом 0,0172. После холодной протяжки сопротивление медной проводки возрастает до 0,0177. Далее наматывания проводки на катушку достаточно, чтобы ее сопротивление возросло. Если же подвергнуть проводку отжигу, то есть

длительному нагреву, а затем охладить ее опять до 20 °C, значение сопротивления возвращается к нормальной величины. Очевидно, сопротивление чувствует himself к небольшим нарушениям кристаллеской структуры (такие свойства называют структуру чувствительными). Еще妒зительное чувствительность сопротивления к ничтожным примесям. Тщательная очистка уменьшает сопротивление меди при температуре 20 °C до 0,0169 Ом·мм²/м. Это обстоятельство имеет большое значение для техники. Ведь если уменьшить сопротивление проводов, то уменьшается и бесполезные потери электрозернии на их нагрев. Поэтому медь, предназначенную на электронное значение нужды, поддерживает специальной очистке посредством электронизма. Этот своеобразный металлургический процесс несколько наполняется «переливание из пустого в порожнее». На аноде медь расторяется, а на катоде осаждается медь, чистота которого изменяется «трея девятками» после запятой: 99,999 %, то есть примеси в электронтической меди составляют всего тысячную долю процента.

Посмотрим теперь, как количество примесей влияет на сопротивление меди. Достаточно добавить к меди 1 % марганца, чтобы удельное сопротивление ее возросло до 0,048 Ом·мм²/м, то есть почти в три раза! Между тем сопротивление чистого марганца составляет 0,05 Ом·мм²/м. Таким образом, достаточно в медь 1 % марганца, чтобы ее сопротивление стало сопротивлением 100 %-го марганца! Это не исключительно случай. Примерно так же

5

действуют добавки железа, кобальта, иридия и другие. Если бы сопротивление пропускило от стольновейный электронов с атомами примесей, эти примеси должны были бы влиять раз в столько. С точки зрения классической теории непомерное действие малых примесей — чистое чудо.

У сплавов, содержащих примеси в большой пропорции, сопротивление очень велико. Металурги разработали замечательные решеты сплавов с высоким сопротивлением: никелин, магганин, константан, нихром и другие. Сопротивление этих сплавов в несколько раз больше, чем у каждой из составных частей. Так, константан, состоящий из 60 % меди и 40 % никеля, имеет удельное сопротивление 0,44 Ом·мм²/м, в то время как у чистой меди оно равно 0,017, а у никеля 0,072 тех же единиц*).

«Королем» подобных сплавов можно назвать всем известный нихром, удельное сопротивление которого около 1 Ом·мм²/м. Недаром он нашел такое широкое применение в нагревательных приборах.

Поразительно, что температура зависитимость сопротивления у сплавов совсем другая, чем у чистых металлов. Сопротивление большинства сплавов тоже возрастает с температурой, но гораздо слабее. Специально для научных прибора, где желательно иметь постоянное сопротивление, разработан уже упоминавшийся константан, названное которого означает «постоянный». В интервале температур от 0 ° до 400 °С его сопротивление меняется всего лишь от 0,441 до 0,448 Ом·мм²/м.

С точки зрения классической теории постоянство сопротивления сплавов столь же мало понятно, как и пропорционально сопротивления температуре для чистых металлов. Сопротивление сплава должно быть по смыслу этой теории складывать из сопротивления его составных частей по простому правилам смешения (как, например, тепломкость). Если вимательно разработаться во всем, что известно об электрическом сопротивлении, то станет ясно, что уже это простое явление вынуждает для своего понятия обратиться за помощью к кванту.

Электронные волны и atomные волноводы

Все становится на свое место, если вспомнить, что по законам квантовой механики электрон имеет одновременное свойства частицы и волны. Ширина atomных коридоров близка к длине волны электрона, и потому при движении по таким коридорам волновые свойства электрона проявляются в полной мере.

В радиотехнике ситметровых волн широкое применение имеет волноводы. Это — металлические трубки круглого или прямогольного сечения. Радиоволны распространяются по волноводу, следуя за всеми его изгибами. Свет — тоже электромагнитные волны, и его можно запрять в световод — трубку с зеркальными стенками*).

Действие световода с зеркальными стенками легко понять. Световые волны все время отражаются от стенок и, таким образом, остаются внутри световода. Радиоволны тоже хорошо отражаются от гладких металлических поверхностей. Если же поверхность шероховатая, то волна как бы разбивается о зазубрины и в результате рассеивается и поглощается. Ее энергия переходит в тепло.

В квантовой теории протекание электрического тока через металл описывается как распространение электронных волн по atomным коридорам, играющим роль волноводов. Если atomы расположены на плоскости в идеальном порядке, на равных расстояниях друг от друга, то такая плоскость полностью отражает электронные волны — наполобие идеального зеркала. Рассение и поглощение электронных волн происходит только при нарушении строого порядка в расположении atomов. Этот удивительный вывод был получен впервые довольно сложным математическим путем из уравнения квантовой механики. Но его можно было бы сделать и на основании установленных опитным путем свойств электрического сопротивления, если бы к ним отнеслись более вимательно.

В идеальном правильном кристалле волноводы совершено гладкие. Всякое нарушение atomного порядка действует как шероховатость стенок волно-

*) Все цифры здесь приведены для температуры 20 °C.

8

разрешается одна из загадок электронного сопротивления.

Но этот результат справедлив только при достаточно высоких температурах. Ведь по смыслу квантовой теории число фоновов не может быть меньше единиц. Посмотрим, при какой температуре оно равно единице. Эту температуру называют температурой Дебая и обозначают греческий буквой θ. Приравняв $N$ единице, находим: $\theta = \frac{hv}{k}$.

Температура Дебая (или дебаевская температура) играет очень важную роль в физике твердого тела. С помощью этой величины интересующей нас число фоновов выражается совсем просто: $N = \frac{T}{\theta}$. При температуре ниже дебаевской это число становится меньше единицей. Это значит, что можно говорить только о среднем числе фоновов, и расчет условийется. Но величины $\frac{T}{\theta}$ по-прежнему остается мерой числа фоновов в твердом теле, а следовательно, и числа стольновейный электронов с фонанами. Исходя из этих сообщений, была высказана следующая гипотеза: температура зависящать электрического сопротивления чистых металлов выражается универсальной функцией от меры числа фоновов $\frac{T}{\theta}$. Математически эта гипотеза запылается так: $\frac{R}{R_\theta} = F\left(\frac{T}{\theta}\right)$, где $R$ — сопротивление при температуре $T$, $R_\theta$ — при температуре $\theta$, а $F$ — функция, вид которой может быть найден из опыта. Важно то, что функция $F$ — общая для разных чистых металлов. Как хорошо эта гипотеза оправдывается на

$$\frac{v}{\leq \frac{c}{a}}.$$

При тепловом движении возбуждатся звуковые волны (инause говоря, фонаны) с разными частотами, как говорят, целый спектр частот. Но у спектра фонанов есть предельная частота. Волны с более высокими частотами не успевали бы перескочить от одного атома к следующему и потому не могут возбудиться. Подробные расчеты показывают, что дебаевскую температуру можно определять так, как мы это делали, если только за частоту $v$GBT предельную частоту фонаного спектра в твердом теле. Так мы и будем поступать.

Нам осталось оценить расходные между атомами $a$. Если число атомов в единице объема равно $n$, то $n = \frac{1}{a^3}$.

Отсюда и из формулы (*) получается:

$$\frac{v^3}{c^3} \leq n.$$

Более точный расчет, который мы здесь приведен не может, дает добавочный многоцеллель $4\pi$. Таким образом, получается формула, связывающая предельную частоту $v$ со скоростью звука $c$:

$$4\pi \frac{v^3}{c^3} = n.$$

(Окончание см. на c. 12)