Чайнворд

26

найтием полярного (или пополнительного) треггранного угла.

Полярный угол*). Пусть дан треггранный угол $SABC$. Проведем через его вершину $S$ перепределиляр к плоскости $SBC$ и выберем на нем (из двух возможных) луч $SA_1$ так, чтобы угол $ASA_1$ был тупым. Иными словами, точки $A$ и $A_1$ должны лежать по разные стороны от плоскости $SBC$. (Объясните сами, почему угол $ASA_1$ не может быть прямым.) Аналогично выбираются лучи $SB_1$ и $SC_1$: $(SB_1) \perp (SAC), (SC_1) \perp (SAB)$, углы $BSB_1$ и $CSC_1$ — тупые. Треггранный угол $SA_1B_1C_1$ и называют полярным к углу $SABC$.

Многие примения полярных углов основаны на следующих двух интересных свойствах:

1. уелол, полярный к полярному, совпадает с исходным треггранным углом;
2. для взаимно полярных треггранных углов $SABC$ и $SA_1B_1C_1$

$$\alpha_1 = \pi - \hat{A}, \beta_1 = \pi - \hat{B}, \gamma_1 = \pi - \hat{C}, (4)$$

$$\hat{A}_1 = \pi - \alpha, \hat{B}_1 = \pi - \beta, \hat{C}_1 = \pi - \gamma. (5)$$

Докажите эти свойства самостояльно (см. упражнение 5).

Доказательство второй теоремы косинусов. Запишем первую теорему косинусов для угла $SA_1B_1C_1$, полярного к данному углу $SABC$: $$\cos \alpha_1 = \cos \beta_1 \cos \gamma_1 + \sin \beta_1 \sin \gamma_1 \cos \hat{A}_1,$$ и воспользовемся соответствиями (4) и (5). Получим

$$\cos (\pi - \hat{A}) = \cos (\pi - \hat{B}) \cos (\pi - \hat{C}) + \sin (\pi - \hat{B}) \sin (\pi - \hat{C}) \cos (\pi - \alpha),$$

откуда немедленно вытекает (3).

Уражнение

1. Докажите, что биссертор выпуклого двуггранного угла есть множество точек этого угла, равной длиенному от его граней.
2. Дан двуггранный угол и прямая $l$, пересекающая его ребро и проходящая внутри него.
   a) Пусть она не перепределиларна ребру двуггранного угла. Докажите, что через прямую $l$ можно проведить плоскость так, чтобы она была биссертриной полугившегося в сечении угла, и что такая плоскость единственна.
   b) В каких случаях можно проведить плоскость из п. a), если данная прямая перепределиларна ребру?
3. Докажите, что три следущие плоскости имеют общую прямую:
   a) биссерторные плоскости двуггранных углов треггранного угла («биссертрицы»);
   b) плоскости, проходящие через ребра треггранного угла и биссертрицы противолежащих плоских углов («медианы»);
   b) плоскости, проходящие перепределкуриной грамм треггранного угла через их биссертрицы («середанные перепределки»).

(Окончание см. на с. 42)

Чайворд

Заполнительные буквы слов, заданных в списке 1—12 ниже, имея в виду, что последняя буква каждой предыщенного слова является началом следующего. Выписав буквы, стоящие на клетках с нечетными цифрами, вы получите имя выдающегося французского математика первого половины XIX века. Какого именно?

1. Пlockая геометрическая фигура. 2. Выдающийся советский математик начала XX века. 3. Перpendикляр, опущенный из вершины треугольника на противоложную сторону. 4. Высота боковой грани пирамиды. 5. Раздел математики. 6. Французский физик и математик. 7. Отрезок, соединяющий центр с точкой окружности. 8. Математические знаки. 9. Математический знак. 10. Французский математик и механик XIX века. 11. Тригонометрическая функция. 12. Часть кругга, ограниченная дугой окружности и стягивающей ее хордой.

И. И. Картузов