Геометрия помогает решать уравнения

22

Математика
8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Где ошиблись Петя и Вова?» предназначаена восмиллассик, «Геометрия помогает решать уравнения» — девятиклассик и трехгранные улыцы — десятиклассик. Это деление в какой-то мере условно, так как каждая из этих заметок может быть полезной не только учащимся указаны классов.

Где ошиблись Петя и Вова?

Два друга, Петя и Вова, решали на оптимальное система уравнений
$$\begin{cases} (x^2 - xy + y^2)(x - y) = 1 + y^3, \\ (x^2 + xy + y^2)(x + y) = 1 - y^3. \end{cases}$$

Петя заменил второе уравнение произведением уравнений:
$$\begin{cases} (x^2 - xy + y^2)(x - y) = 1 + y^3, \\ (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) = 1 - y^6, \end{cases}$$

то есть
$$\begin{cases} (x^2 - xy + y^2)(x - y) = 1 + y^3, \\ x^6 - y^6 = 1 - y^6. \end{cases}$$

Из второго уравнения $x = \pm 1$, открываю он получил ответ: $(1; 0); (-1; -1)$.

Вова заменил первое уравнение произведением уравнений:
$$\begin{cases} x^6 - y^6 = 1 - y^6, \\ (x^2 + xy + y^2)(x + y) = 1 - y^3, \end{cases}$$

откуда
$$\begin{cases} x = \pm 1, \\ (x^2 + xy + y^2)(x + y) = 1 - y^3. \end{cases}$$

Отсюда получается ответ: $(1; 0); (-1; 1)$.

После оlimппады они сверлили ответы и очень удивились. Кто был неправ?
П. П. Горнуша

Геометрия помогает решать уравнения

В некоторых случаях вместо того чтобы преобразовать уравнение можно поступить следующим образом: перевести задачу на геометрический язык, а затем записать полученное геометрическое условие другим способом; в реALEЛЬТЕATE ПОЛУЧАЕТСЯ БОЛЕЕ ПРОСТОЕ УРАВНЕНИЕ. Сейчас мы рассмотрим два таких примера, причем в каждом из них исходное уравнение равносильно условию «некоторые точки лежат на одной прямой»; подходящим образом записав это условие, мы получим более простое уравнение, которое и будем решать.

Задча 1. Решите уравнение $\sqrt{15 - 12\cos x} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}\sin x} = 4$, где $0^\circ < x < 90^\circ$.

Решение. Придадим уравнение вид:
$$\sqrt{(\sqrt{12})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\cos x} + \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot2\cdot\cos(90^\circ - x)} = 4.$$ (1)

На рисунке 1 изображен прямоугольник, в котором $|AC| = \sqrt{12}, |BC| = 2, ACD = x, DCB = 90^\circ - x; |CD| = \sqrt{3}, |AB| = 4$. Первое слагаемое в левой части (1) равно $|AD|$, второе — $|DB|$. Но так как $|AD| + |DB| = |AB|$, значит, $D \in [AB]$. Поэтому данное уравнение можно заменить на уравнение $\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\sin x + \sqrt{3}\cdot2\cdot\sin(90^\circ - x) = 2\cdot\sqrt{12}$ (2)

(так как $S_{ACD} + S_{DCB} = S_{ACB}$), или
$$6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x = 4\sqrt{3},$$

которое решается легче, чем исходное.

Имеем: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = 1$, то есть $\sin(x + 30^\circ) = 1$, откуда $x = 60^\circ$.

Затем инечие. Строю говоря, требуется доказать, что из уравнения (2) следует уравнение (1). Покажем это. Из уравнения (2) следует, что $S_{ACD} + S_{DCB} = S_{ACB}$, поэтому $|AD| + |DB| = |AB|$, а это и записано в уравнение (1).

Рис. 1.
Рис. 2.