Двугранные и трёхгранные углы

23

Задание 2. Решите уравнение: $\sqrt{2} - 2\cos x + \sqrt{10} - 6\cos x = \sqrt{10} - 6\cos 2x$, где $x \in [0; \pi/2]$.

Решение. Пусть $|CA|=1, |CB|=3, |CD|=1, ACD=DCB=x$ (рис. 2). Тогда $|AD|=\sqrt{2} - 2\cos x, |DB|=\sqrt{10} - 6\cos x, |AB|=\sqrt{10} - 6\cos 2x$.

Данное уравнение означает, что $|AD|+|DB|=|AB|$, откуда $D \in [AB]$.

Следовательно, $S_{ACD} + S_{CDB} = S_{ACB}$, то есть $x+3\sin x=3\sin 2x, 4\sin x=6\sin x \cdot \cos x$. Отсюда следует, что $\cos x=2/3$, так как $\sin x \neq 0$ (из условия: $x \in [0; 90^\circ]$).

Ответ: $x=\arccos 2/3$.

Замечание. Если $x \in [0; \pi/2]$, то уравнение имело бы еще один корень $x=0$.

Уражение. Доказитеравно-sильность двух уравнений: $\sqrt{5}-4\cos x + \sqrt{13}-12\sin x=\sqrt{10}$ и $2\sin x + 6\cos x=3$, где $x \in [0; \pi/2]$.

Э. Я. Ясиновый

Друганные и трехгранные углы

Друганные углы. Друганным углом называют объединение двух полуплоскостей, имеющих общую границу, и одной из ограниченных имми пространственных области (рис. 1). Подчеркием: не всякий другранный угол есть пересечение двух полупространств (см. рис. 16).

Величиной другранного угла называют величины плоского угла, получающейся в сечении этого другранного угла плоскостью, перpendикулярной его ребру. Величина другранного угла на рисунке 1а меньше $\pi$, а другранного угла на рисунке 16 — больше $\pi$.

Друганные углы — пространственные аналоги углов на плоскости: многие их свойства аналогичны свойством плоских углов. Например, биссертор выпуклого другранного угла (так называют полуплоскость, деляшую другранный угол на два конгрузных другранных угла) можно определить как множество точек другранного угла, равноудаленных от его граней. Так же, как и плоскости, определяются вертикальные и смесный углы, при этом их величины равны соответствению $\varphi$ и $\pi-\varphi$, где $\varphi$ — величина исходного другранного угла.

Сейчас мы разберем решение двух задач, в некоторых смысле образных друг друга.

Задание 1. Двугранный угол величины $\varphi$, $0<\varphi<\pi$, пересечен плоскостью. В каких пределах может лежать величины $\varphi$ уела, получающейся в сечении?

Задание 2. В каких пределах может лежать величины $\varphi$ уела, являющегося отгоранной проекцией угла величины $\varphi$, $0<\varphi<\pi$?

Ответ к задание 1: $0<\varphi<\pi$. Поскольку велиница другранного угла меньше $\pi$, он лежит по одному сторону от плоскости любой из своих граней. Поэтому и угол в сечении лежит по углу величины $\varphi$. Для этого проще всего указать два луча с общей вершиной на ребре другранного угла, лежащие в разных его гранах, такие, что угол между ними равен $\alpha$ (а затем через эти два луча проводится секущую плоскость).

Выберем на ребре другранного угла луч $OP$ и проведем в его гранах лучи $OA$ и $OB$ под одинаковым углом $\beta$ к $OP$ (рис. 2а). При изменении $\beta$ лучи $OA$ и $OB$ будут поворачиваться, и ясно,

24

что когда β пробегает все значения от 0 до π/2, угол AOB=α будет меняться от 0 до φ. Если же луч OB проводить под углом π—β к OP (рис. 26), угол α будет меняться от π до φ (при 0<β<π/2).

Строго обосновать это рассуждение позволяет несложный расчет. Пусть плоскость, перpendикулярная к ребру двугранного угла и проходящая через точку P, пересекает лучи в точках A и B, M — середина отрезка AB (мы рассматриаем первый случай — рис. 2а). Тогда

$$\sin(\alpha/2) = \frac{|MA|}{|OA|} = \frac{|PA|\sin(\varphi/2)}{|OA|} = \sin\beta \cdot \sin(\varphi/2),$$

позному sin(α/2) принимает при изменении β от 0 до π/2 все значения в промежутке ]0; sin(φ/2)], а сам угол α — в промежутке ]0; φ] (поскольку угол α/2 — острый).

Вычисления для второго случая мы оставим читателю, а здесь показем, как можно обойтись без них. Очевидно, что в сечении двух смежных двугранных углов любой плоскостью (пересекающей их общее ребро) образуется смежные плоские углы (рис. 3). Но угол в сечении двугранного угла, смежного к данному, как показано выше, может иметь любую величины от 0 до π—φ (π—φ — величина этого смежного угла). Позному в соответствии со значениями исходного двугранного угла будут получаться углы величиной от π до φ, что как раз и требовалось.

Перейдем к задаче 2. Пусть угол A1OB1 величины φ является ортогональной проекцией угла AOB величины α. Угол A1OB1 определяет двугранный угол величины φ, ребро которого — это перpendикуляр к плоскости A1OB1, проходящий через точку O, а грани содержат лучи OA1 и OB1. Очевидно, угол AOB является сечением этого двугранного угла. Таким образом, мы снова окаазались в ситуации задачи 1, только теперь задана величины α и φ, 0<α,φ<π, можно так пересечь двугранный угол величины φ, чтобы в сечении получился угол величины α. Следовательно, в задаче 2 при проектировании можно получить угол любой величины φ, 0<φ<π, независимо от α. Учитывая, что φ <π (так как угол AOB меньше развернутого), находим ответ 0<φ<π.

Трехгранные углы. Пусть дан треугольник ABC и точка S, не лежащая в плоскости этого треугольника. Трехгранным углом SABC (выпуклим) называют объединение всех лучей с вершиной S, пересекающих треугольник ABC. (Иогда определют и невыпуклый треугольный угол SABC — объединение всех лучей с вершиной S, не пересекающих внутренность треугольника ABC — также треугольные углы мы рассматривать не будем.)

Для краткости мы будем использовать следующие обозначения для треугольного угла SABC: Â, Â, Â — величины двугранных углов с ребрами SA, SB, SC соответствующего α, β, γ — величины противоложих им плоских углов.

Трехгранные углы — один из возможных пространственных аналогов треугольников (другой аналог — терраэдры). Позному многогеометрическим треугольников (при этом плоским углом соответствующим сторонам треугольников, а двугранным углом — углы треугольников). Например, известная теорема «каждый плоский угол меньше суммы двух других» — аналог неравенства треугольника. Применя эту теорему к треугольному углу SABC1 (рис. 4), получаем другое положное свойство треугольных углов: «сумма плоских углов меньше 360°».